山东省济南市莱芜区汶源学校2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题

这是一份山东省济南市莱芜区汶源学校2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题，共34页。
1．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B．C． D．
2．（4分）若反比例函数的图象经过点A（a，b），则下列结论中不正确的是（ ）
A．点A位于第二或四象限 B．图象一定经过（﹣a，﹣b）
C．在每个象限内，y随x的增大而减小 D．图象一定经过（﹣b，﹣a）
3．（4分）一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高），观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，测出与旗杆地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）连续掷三枚质地均与的硬币，三枚硬币都是正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）若⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
6．（4分）如图，抛物线和抛物线，我们可对其中一条抛物线通过平移和对称得到另一条抛物线．则以下变换方式中，错误的是（ ）
A．将抛物线C1向右平移2个单位后再关于x轴进行轴对称变换得到抛物线C2
B．将抛物线C2向左平移2个单位后再关于x轴进行轴对称变换得到抛物线C1
C．将抛物线C1关于x轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线C2
D．将抛物线C2关于x轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线C1
1. 6. 7.
7．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，过点A作AD⊥BC于点D，．若E，F分别为AB、BC的中点，则EF的长为（ ）
A．2B．C．D．4
8．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与（其中m，n是常数，mn≠0）的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）已知：如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，半径OA＝3，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，连接OD，则扇形AOD的面积为（ ）
9. 10.
A．B．2πC．πD．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
12．（4分）如果二次函数y＝（2m﹣4）x2+10x+m2﹣4的图象经过原点，那么m＝ ．
13．（4分）掷一枚骰子，出现骰子点数大于4的可能性大小是 ．
14．（4分）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶100海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为 海里．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接OA，过点A作AB⊥x轴于点B，反比例函数的图象分别与OA、AB交于点M、N，连接MN，若M为OA的中点，且四边形OMNB的面积为，则k的值为 ．
14. 15. 16.
16．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数的函数交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点C，使△ABC的周长最小，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（6分）三晋名刹双塔寺，本名“永祚寺”，位于山西省太原市城区东南方向，距市中心4公里左右的郝庄村南之向山脚畔．这里绿树红墙，宝塔梵殿，碑碣栉比，花卉溢香，松柏凝翠，古香古色．数学兴趣小组在周末时间参观了双塔寺，对寺内“舍利塔”的高度做了测量，如图所示，点A为塔底中心点，观测者小明在点D测得塔顶B的仰角为30°，沿着DA向前走40米到达点C，此时测得塔顶B的仰角为45°，测量时点A，C，D在同一水平直线上，且与点B在同一竖直平面内，根据该小组所获得的数据，请你求出塔AB高度是多少？（结果精确到整数，参考数据，， ）
、
20．（8分）如图，直线PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP于点C，OP与⊙O相交于点D．∠APO＝30°，OP＝4．
（1）求弦AB的长；
（2）求阴影部分的周长．
21．（8分）如图，两个可自由转动的转盘A，B分别被分成4等份、3等份，每份内标有数字．小王和小刘用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘A，B；
②两个转盘停止转动后，将指针所指区域的数相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）；
③如果和为0，那么小王获胜；否则，小刘获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求小王获胜的概率．
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
22．（8分）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进，某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A．B位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为41.6m，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6m，CD＝50m（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求仰角α的正切值；
（2）求A，B两点之间的距离．（结果精确到1m，）
23．（10分）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件，设销售价为每件x元（50≤x≤60），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．
25．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）在x轴上是否存在一点P，平面坐标系内是否存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF垂直x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P为抛物线对称轴上一点，且使得|PA﹣PC|的值最大，请直接写出点P的坐标．
九年级数学答题卡
一、选择题（4*10=40）
二、填空题（4*6=24）
11、 12、 13、
15、 16、
三、解答题
17．（6分）计算：

18．（6分）
19．（6分）

20．（8分）
21．（8分）

22．（8分）
23．（10分）

24．（10分）
25．（12分）
26．（12分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
模拟答案
11. y1＞y3＞y2 ．12. ﹣2 ．13. ．
14.（50+50）15. 2 ．16. π﹣1 .
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．（6分）计算：
．
解：原式＝1+（﹣2）+﹣4×
＝1﹣2+3﹣﹣
＝2﹣．
18．（6分）
解：（1）把点A（﹣2，b）代入y＝﹣中得：
b＝﹣，
解得b＝4，
即A（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5中得：
﹣2k+5＝4，
解得k＝，
∴一次函数的解析式为y＝x+5；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点C，点C即为所求，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣8，1），A（﹣2，4），
∴A′（﹣2，﹣4），
设直线A′B为y＝ax+b，
∴，
解得y＝，
当y＝0时，x＝﹣，
∴C（﹣，0）．
19．（6分）
【解答】解：由题意得：BA⊥AD，CD＝40米，
设AC＝x米，
∴AD＝AC+CD＝（x+40）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝AC•tan45°＝x（米），
在Rt△ABD中，∠D＝30°，
∴AB＝AD•tan30°＝（x+40）米，
∴x＝（x+40），
解得：x＝20+20，
∴AB＝20+20≈55（米），
∴塔AB高度约为55米．
20．（8分）
【解答】解：（1）∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠APO＝30°，OP＝4，
∴∠AOP＝60°，OA＝2，
∵AB⊥OP，
∴∠ACO＝90°，AB＝2AC，
∴∠OAC＝30°，
∴OC＝1，
∴AC＝＝，
∴AB＝2AC＝2；
（2）在Rt△AOP中，AP＝＝＝2（cm），
∴PD＝OP﹣OD＝2cm，
的长为：＝πcm，
∴阴影部分的周长＝（2+2+π）cm．
21．（8分）
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果情况，其中和为0的有3种，
所以小王获胜，即和为0的概率为＝；
（2）由（1）得，
小刘获胜的概率为1﹣＝，
由于＞，
所以不公平．
22．（8分）
【解答】解：（1）如图所示，作CE⊥AB交AB于点E，作DF⊥CE交CE于点F，
∵无人机的飞行高度为41.6m，
∴CE＝41.6m，
由题意可得，四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝1.6m，
∴CF＝CE﹣EF＝40m，
∵DF⊥CE，CD＝50m，
∴，
∴；
（2）∵四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝30m，
∵无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，
∴∠CBE＝60°，
∴，
即，
解得BE≈24，
∴AB＝AE+BE＝30+24＝54m，
∴A，B两点之间的距离54m．
23．（10分）
【解答】解：（1）由题意得：
y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，
w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；
∴y与x的函数解析式和w与x的函数解析式分别为：y＝1000﹣10x，w＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（2）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000
＝﹣10（x﹣70）2+9000，
当50≤x≤60时，w随x的增大而增大
∴当x＝60时，w取最大值8000，
∴销售价定为每件60元时会获得最大利润8000元．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AC＝AB，
∴CD＝BD，
∵AC＝2CD，
∴AB＝2BD，
∵∠BDF+∠1＝∠ADO+∠1＝90°，
∴∠BDF＝∠ADO，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠BDF＝∠DAF，
∵∠F＝∠F，
∴△ADF∽△DBF，
∴，
∵tan∠FDB＝，
∴tan∠DAB＝，
∴，
∴DF＝4，BF＝2，
∴AF＝8，
∵AB＝AC＝AF﹣BF＝6，
∴AC＝6．
25．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）在x轴上是否存在一点P，平面坐标系内是否存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵B（8，﹣1）两点在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝8×（﹣1）＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴A（2，﹣4），
∵A，B在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，
解得，，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣5；
（2）存在，理由：
设点P（x，0）、Q（m，n），
当AB是对角线时，由中点坐标公式和AB＝PQ得：
，
解得：x＝5，
即点P（5，0）或（5﹣，0）；
当AQ或AP是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BP或AP＝BQ得：
或，
解得：x＝0或7.5，
故点P的坐标为：（0，0）或（7.5，0）；
综上，点P的坐标为：（0，0）或（7.5，0）或（5，0）或（5﹣，0）．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF垂直x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P为抛物线对称轴上一点，且使得|PA﹣PC|的值最大，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能，理由：
由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，点D的坐标为（，）或（，）；
（3）连接AC交抛物线对称轴于点P，则此时|PA﹣PC|的值最大，
理由：|PA﹣PC|＝AC为最大，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝5x+5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，
当x＝2时，y＝5x+5＝15，即点P（2，15）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
A
D
A
C
C
C
2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，
根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
2．（4分）若反比例函数的图象经过点A（a，b），则下列结论中不正确的是（ ）
A．点A位于第二或四象限
B．图象一定经过（﹣a，﹣b）
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．图象一定经过（﹣b，﹣a）
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（a，b），
∴ab＝﹣6，
∵k＝﹣6＜0，
∴图象位于第二、四象限，故选项A正确，不符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项C不正确，符合题意．
∵ab＝﹣6，
∴图象一定经过（﹣a，﹣b）和（﹣b，﹣a）故选项B、D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
3．（4分）一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高），观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，测出与旗杆地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过A作AE⊥BC于E，在Rt△ACE中，已知了CE的长，可利用俯角∠CAE的正切函数求出AE的值；进而在Rt△ABE中，利用仰角∠BAE的正切函数求出BE的长；BC＝BE+CE．
【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE＝AD＝h．
∵在Rt△ACE中，CE＝h，∠CAE＝60°，
∴AE＝＝h．
∵在Rt△AEB中，AE＝h，∠BAE＝30°，
∴BE＝AE•tan30°＝h•＝h．
∴BC＝BE+CE＝h+h＝h．
即旗杆的高度为h．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．
4．（4分）连续掷三枚质地均与的硬币，三枚硬币都是正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三枚硬币的投掷结果都是正面朝上的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，三枚硬币的投掷结果都是正面朝上的只有1种情况，
∴3次抛掷的结果都是正面朝上的概率是，
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（4分）若⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为6，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
6．（4分）如图，抛物线和抛物线，我们可对其中一条抛物线通过平移和对称得到另一条抛物线．则以下变换方式中，错误的是（ ）
A．将抛物线C1向右平移2个单位后再关于x轴进行轴对称变换得到抛物线C2
B．将抛物线C2向左平移2个单位后再关于x轴进行轴对称变换得到抛物线C1
C．将抛物线C1关于x轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线C2
D．将抛物线C2关于x轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线C1
【分析】观察图象即可判断．
【解答】解：观察图象，
将抛物线C1向右平移2个单位后再关于x轴进行轴对称变换得到抛物线C2，故A正确；
将抛物线C2向左平移2个单位后再关于x轴进行轴对称变换得到抛物线C1，故B正确；
将抛物线C1关于x轴进行轴对称变换后再向右平移2个单位得到抛物线C2，故C正确；
将抛物线C2关于x轴进行轴对称变换后再向左平移2个单位得到抛物线C1，故D错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，过点A作AD⊥BC于点D，．若E，F分别为AB、BC的中点，则EF的长为（ ）
A．2B．C．D．4
【分析】由等腰直角三角形的性质求出AD＝AB＝2，由锐角的正弦求出AC＝4，由三角形中位线定理求出EF＝AC＝2．
【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝×2＝2，
∵sinC＝＝，
∴AC＝4，
∵E，F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC＝2．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，关键是由等腰直角三角形的性质求出AD的长，由锐角的正弦求出AC的长．
8．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与（其中m，n是常数，mn≠0）的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据m和n的符号，根据一次函数和反比例函数的图象，可以判断各个选项中的图象是否正确．
【解答】解：当m＞0，n＞0时，＞0，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限，的图象在第一、三象限，
当m＜0，n＞0时，＜0，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，的图象在第二、四象限，
当m＞0，n＜0时，＜0，函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，的图象在第二、四象限，
当m＜0，n＜0时，＞0，函数y＝mx+n的图象经过第二、三、四象限，的图象在第一、三象限，故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（4分）已知：如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，半径OA＝3，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，连接OD，则扇形AOD的面积为（ ）
A．B．2πC．πD．
【分析】根据翻折的性质以及等边三角形的判定得出△BOD是等边三角形，进而求出扇形圆心角度数，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：由翻折的性质可知，BO＝BD，
∵BO＝OD，
∴BO＝BD＝OD，
∴△BOD是正三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝100°﹣60°＝40°，
∴S阴影部分＝＝π．
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式以及正三角形的判定和性质是正确解答的前提．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的开口方向可判定a的符号；结合抛物线的对称轴b的符号可判断①；通过x＝﹣1和x＝3的对称性判断②；将不等式的两边加上c，进而判断出③；将b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可推出④．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＝0，
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，
∵b＝﹣2a＞0，
∴a+c＞0，
故②正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0，
故③正确，
∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0），
∴a+b＞am2+bm，
故④正确，
∴②③④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象的性质．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＞y3＞y2 ．
【分析】先由k＝﹣6＜0得到函数在第二象限和第四象限内的函数值随x的增大而增大，然后得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例系数k＝﹣6＜0，
∴函数在第二象限和第四象限内的函数值随x的增大而增大，
∵﹣1＜0＜2＜3，
∴y1＞0＞y3＞y2，
故答案为：y1＞y3＞y2．
【点评】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟知反比例函数的增减性和反比例系数的关系，本题也可以将点的坐标代入函数解析式求得y1，y2，y3的具体取值，然后比较大小．
12．（4分）如果二次函数y＝（2m﹣4）x2+10x+m2﹣4的图象经过原点，那么m＝ ﹣2 ．
【分析】由y＝（2m﹣4）x2+10x+m2﹣4的图象经过原点，代入得0＝m2﹣4，解得m＝2或﹣2，由2m﹣4≠0，解得m≠2即可．
【解答】解：由y＝（2m﹣4）x2+10x+m2﹣4的图象经过原点，
得0＝m2﹣4，
解得m＝2或﹣2，
由2m﹣4≠0，
解得m≠2，
故m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数的表达式，解题关键是根据二次函数的定义正确解题．
13．（4分）掷一枚骰子，出现骰子点数大于4的可能性大小是 ．
【分析】骰子共有六个点数即1，2，3，4，5，6其中大于4为5，6，所以有古典概型的概率计算公式可得出答案．
【解答】解：设事件A表示点数大于4，则事件A包含的基本事件为5，6，所以k＝2．
样本空间S的基本事件总数为n＝6．
则事件A的概率p（A）＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶100海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为 （50+50） 海里．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：∠ABD＝30°，∠CAB＝105°，从而利用三角形内角和定理可得∠C＝45°，然后在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AD和BD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算 即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠CAB＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝45°，
在Rt△ADB中，AB＝100海里，
∴AD＝AB＝50（海里），BD＝AD＝50（海里），
在Rt△ACD中，CD＝＝50（海里），
∴BC＝BD+CD＝（50+50）海里，
∴轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（50+50）海里，
故答案为：（50+50）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接OA，过点A作AB⊥x轴于点B，反比例函数的图象分别与OA、AB交于点M、N，连接MN，若M为OA的中点，且四边形OMNB的面积为，则k的值为 2 ．
【分析】作MC⊥OB于C，连接ON，证明△OMC与△OAB相似，由相似比1：2，得到面积比1：4，设S△OBN＝S△OMC＝S，表示出S△OAB＝4S，再根据四边形OMNB的面积为，列出方程即可．
【解答】解：如图，作MC⊥OB于C，连接ON，
∵M为OA的中点，
∴OM：OA＝1：2，
∵AB⊥OB，
∴△OMC∽△OAB，
∴S△OMC：S△OAB＝1：4，
设S△OMC为S，
∴S△OAB＝4S，
∵M为OA的中点，
∴S△OMN＝S△AMN，
由几何意义得，
S△OBN＝S△OMC＝S，
∵四边形OMNB的面积为，
∴S△OMN＝﹣S，
∴2（﹣S）+S＝4S，
∴S＝1，
∴＝1，
∵k＞0，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及性质的应用，几何意义及相似的性质是解题关键．
16．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 π﹣1 .（结果保留π）
【分析】证明阴影部分的面积＝（S圆O﹣S正方形ABCD），可得结论．
【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，
∴图中阴影部分的面积＝（4π﹣4）＝π﹣1．
故答案为：π﹣1．
【点评】本题考查正方形是性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用全等图形解决问题．
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．（6分）计算：．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意（π﹣3.14）0＝1，（﹣）﹣1＝﹣2．
【解答】解：原式＝1+（﹣2）+﹣4×
＝1﹣2+3﹣﹣
＝2﹣．
【点评】本题考查的知识点是：任何不等于0的数的0次幂是1，a﹣p＝．
18．（6分）如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数的函数交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点C，使△ABC的周长最小，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A（﹣2，b）代入y＝﹣中求出b＝4，即A（﹣2，4），代入y＝kx+5中求出k即可；
（2）求出点B，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点C，求出点C即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，b）代入y＝﹣中得：
b＝﹣，
解得b＝4，
即A（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5中得：
﹣2k+5＝4，
解得k＝，
∴一次函数的解析式为y＝x+5；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交于点C，点C即为所求，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣8，1），A（﹣2，4），
∴A′（﹣2，﹣4），
设直线A′B为y＝ax+b，
∴，
解得y＝，
当y＝0时，x＝﹣，
∴C（﹣，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
19．（6分）三晋名刹双塔寺，本名“永祚寺”，位于山西省太原市城区东南方向，距市中心4公里左右的郝庄村南之向山脚畔．这里绿树红墙，宝塔梵殿，碑碣栉比，花卉溢香，松柏凝翠，古香古色．数学兴趣小组在周末时间参观了双塔寺，对寺内“舍利塔”的高度做了测量，如图所示，点A为塔底中心点，观测者小明在点D测得塔顶B的仰角为30°，沿着DA向前走40米到达点C，此时测得塔顶B的仰角为45°，测量时点A，C，D在同一水平直线上，且与点B在同一竖直平面内，根据该小组所获得的数据，请你求出塔AB高度是多少？（结果精确到整数，参考数据，， ）
【分析】根据题意可得：BA⊥AD，CD＝40米，然后设AC＝x米，则AD＝（x+40）米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：BA⊥AD，CD＝40米，
设AC＝x米，
∴AD＝AC+CD＝（x+40）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝AC•tan45°＝x（米），
在Rt△ABD中，∠D＝30°，
∴AB＝AD•tan30°＝（x+40）米，
∴x＝（x+40），
解得：x＝20+20，
∴AB＝20+20≈55（米），
∴塔AB高度约为55米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（8分）如图，直线PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP于点C，OP与⊙O相交于点D．∠APO＝30°，OP＝4．
（1）求弦AB的长；
（2）求阴影部分的周长．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据垂径定理得到AB＝2AC，根据勾股定理计算，得到答案；
（2）根据勾股定理求出AP，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠APO＝30°，OP＝4，
∴∠AOP＝60°，OA＝2，
∵AB⊥OP，
∴∠ACO＝90°，AB＝2AC，
∴∠OAC＝30°，
∴OC＝1，
∴AC＝＝，
∴AB＝2AC＝2；
（2）在Rt△AOP中，AP＝＝＝2（cm），
∴PD＝OP﹣OD＝2cm，
的长为：＝πcm，
∴阴影部分的周长＝（2+2+π）cm．
【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
21．（8分）如图，两个可自由转动的转盘A，B分别被分成4等份、3等份，每份内标有数字．小王和小刘用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘A，B；
②两个转盘停止转动后，将指针所指区域的数相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）；
③如果和为0，那么小王获胜；否则，小刘获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求小王获胜的概率．
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）用列表法或树状图列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可；
（2）根据获胜概率的大小判断即可．
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果情况，其中和为0的有3种，
所以小王获胜，即和为0的概率为＝；
（2）由（1）得，
小刘获胜的概率为1﹣＝，
由于＞，
所以不公平．
【点评】本题考查列表法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
22．（8分）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进，某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A．B位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为41.6m，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6m，CD＝50m（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求仰角α的正切值；
（2）求A，B两点之间的距离．（结果精确到1m，）
【分析】（1）作CE⊥AB交AB于点E，作DF⊥CE交CE于点F，首先根据题意得到四边形AEFD是矩形，然后求出CF＝CE﹣EF＝40m，利用勾股定理得到，然后即可求解；
（2）首先根据矩形的性质得到AE＝DF＝30m，然后在Rt△CEB中利用60°角的正切值求出BE≈24，进而求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，作CE⊥AB交AB于点E，作DF⊥CE交CE于点F，
∵无人机的飞行高度为41.6m，
∴CE＝41.6m，
由题意可得，四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝1.6m，
∴CF＝CE﹣EF＝40m，
∵DF⊥CE，CD＝50m，
∴，
∴；
（2）∵四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝30m，
∵无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，
∴∠CBE＝60°，
∴，
即，
解得BE≈24，
∴AB＝AE+BE＝30+24＝54m，
∴A，B两点之间的距离54m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
23．（10分）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件，设销售价为每件x元（50≤x≤60），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【分析】（1）根据月销售量y等于500减去10（x﹣50）、月销售利润w等于每件的利润乘以月销售量列出函数关系式并化简即可；
（2）将（1）中所得的利润函数写成顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义可求得答案．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，
w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；
∴y与x的函数解析式和w与x的函数解析式分别为：y＝1000﹣10x，w＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（2）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000
＝﹣10（x﹣70）2+9000，
当50≤x≤60时，w随x的增大而增大
∴当x＝60时，w取最大值8000，
∴销售价定为每件60元时会获得最大利润8000元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的性质是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．
【分析】（1）首先连接OD，由在△ABC中，AB＝AC，易证得OD∥AC，又由过点D作EF⊥AC于点E，即可得OD⊥EF，证得EF是⊙O的切线；
（2）根据△ADF∽△DBF即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AC＝AB，
∴CD＝BD，
∵AC＝2CD，
∴AB＝2BD，
∵∠BDF+∠1＝∠ADO+∠1＝90°，
∴∠BDF＝∠ADO，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠BDF＝∠DAF，
∵∠F＝∠F，
∴△ADF∽△DBF，
∴，
∵tan∠FDB＝，
∴tan∠DAB＝，
∴，
∴DF＝4，BF＝2，
∴AF＝8，
∵AB＝AC＝AF﹣BF＝6，
∴AC＝6．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键
25．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）在x轴上是否存在一点P，平面坐标系内是否存在一点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当AB是对角线时，由中点坐标公式和AB＝PQ，列出方程组即可求解；当AQ或AP是对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）∵B（8，﹣1）两点在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝8×（﹣1）＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴A（2，﹣4），
∵A，B在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，
解得，，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣5；
（2）存在，理由：
设点P（x，0）、Q（m，n），
当AB是对角线时，由中点坐标公式和AB＝PQ得：
，
解得：x＝5，
即点P（5，0）或（5﹣，0）；
当AQ或AP是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BP或AP＝BQ得：
或，
解得：x＝0或7.5，
故点P的坐标为：（0，0）或（7.5，0）；
综上，点P的坐标为：（0，0）或（7.5，0）或（5，0）或（5﹣，0）．
【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的相知、矩形的性质、勾股定理等知识，分类求解是本题解题的关键．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF垂直x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P为抛物线对称轴上一点，且使得|PA﹣PC|的值最大，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）连接AC交抛物线对称轴于点P，则此时|PA﹣PC|的值最大，即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能，理由：
由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，点D的坐标为（，）或（，）；
（3）连接AC交抛物线对称轴于点P，则此时|PA﹣PC|的值最大，
理由：|PA﹣PC|＝AC为最大，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝5x+5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，
当x＝2时，y＝5x+5＝15，
即点P（2，15）．
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能用三点共线的方法求最值；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/11 16:44:37；用户：jinyu；邮箱：jinyu008@126.cm；学号：1770628