人教版2023-2024学年六年级数学上册第五单元圆的面积提高篇（原卷版+答案解析）

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亲爱的同学，在做练习的时候一定要认真审题，完成题目后，记得养成认真检查的好习惯。祝你轻松完成本次练习！
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本专题是第五单元圆的面积提高篇。本部分内容考察与圆有关的阴影部分图形面积，包括八种常见求阴影部分面积方法，题目综合性强，难度非常大，建议根据学生掌握情况，选择性进行讲解部分考点，一共划分为九个考点，欢迎使用。
【考点一】圆的面积与羊吃草问题。
【方法点拨】
该题型关键是画出羊吃草的范围图，较复杂的问题是由多个不同部分的图形组成，需要分开计算面积。
【典型例题1】
在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长2米．这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？
【典型例题2】
草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？
【典型例题3】
墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？
【对应练习1】
如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？
【对应练习2】
一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？
【对应练习3】
一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一颗树，树上各栓着一只羊，栓羊的绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？
【考点二】求阴影部分的面积：S阴影=S1+S2。
【方法点拨】
加法分割思路是把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。
【典型例题】
如图，求阴影部分的面积。（单位：cm）
【对应练习1】
求下面图形的面积。（单位：米）
【对应练习2】
计算如图的面积。
【对应练习3】
计算下图的周长和面积（单位：m）。
【考点三】求阴影部分的面积：S阴影=S整体-S空白。
【方法点拨】
减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。
【典型例题1】
求图中阴影部分的面积。（单位：cm）
【典型例题2】
如图，直角三角形ABC的面积为12平方厘米，半圆以BC为直径，求阴影部分的面积。
【对应练习1】
求阴影部分的面积。（单位：cm）
【对应练习2】
计算下面图形中阴影部分的面积。
【对应练习3】
计算下面图形中阴影部分的面积。
【对应练习4】
求阴影部分面积。（单位：cm）
【考点四】求阴影部分的面积：拼接法。
【方法点拨】
在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。
【典型例题1】
三个扇形的半径均为6cm，π取3.14，求下图中阴影部分的面积。

【典型例题2】
求如图中阴影部分的面积。（单位：）
【对应练习1】
如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位：厘米)
【对应练习2】
如图，三个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位：厘米)
【对应练习3】
如图，图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。
【对应练习4】
计算阴影部分面积。（取3.14）
【考点五】求阴影部分的面积：割补法。
【方法点拨】
移拼、割补的思路是把不规则的阴影面积通过学习割补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。
【典型例题1】
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【典型例题2】
如图，外侧大正方形的边长是10厘米，图中阴影部分的面积是27.5平方厘米，那么圆内大正方形面积是小正方形面积的（ ）倍。
【对应练习1】
求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【对应练习2】
求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
【对应练习3】
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【对应练习4】
计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。
【对应练习5】
求阴影部分的面积。（单位：）
【考点六】求阴影部分的面积：圆与长方形、正方形、三角形的结合。
【方法点拨】
注意分析长方形、正方形面积公式与圆的面积的相同之处。
【典型例题1】圆与正方形的结合。
如图，以圆的半径为边长的正方形面积是10平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。
【对应练习1】
下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多少平方米？
【对应练习2】
已知下图正方形的面积是50平方分米，圆的面积是( )平方分米。
解析：157
【对应练习3】
如图，已知正方形的面积是9 cm2，这个圆的面积是( )cm2．
【对应练习4】
如图中正方形的面积是16平方厘米，圆形的面积是（ ）平方厘米。
【典型例题2】圆与长方形的结合。
如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是3cm，长方形的长是( )cm。
【对应练习1】
如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？
【对应练习2】
如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的周长是多少厘米？
【对应练习3】
如图，长方形面积和圆面积相等．已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积和周长。
【典型例题3】圆与三角形的结合。
如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是12平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。
【对应练习1】
下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是20平方厘米，图中空白部分的面积是多少平方厘米？
【对应练习2】
图中，三角形的面积是8平方厘米，求涂色部分的面积。
【对应练习3】
如图，已知三角形OAB的面积是18平方厘米，求阴影部分的面积。
【考点七】求阴影部分的面积：辅助线法。
【方法点拨】
在通常手段无法求出阴影部分面积时，尝试使用添加辅助线的方法解决。
【典型例题】
如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）
【对应练习】
求图中阴影部分的周长和面积。（π取3.14）
【考点八】求阴影部分的面积：容斥原理。
【方法点拨】
重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。
【典型例题】
求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【对应练习1】
求阴影部分的面积．（单位：厘米）
【对应练习2】
如图所示，长方形的长是6厘米，宽是5厘米，求阴影部分的面积。
【对应练习3】
求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【考点九】求阴影部分的面积：差不变原理。
【方法点拨】
差不变思想，即利用等式的性质来求面积：
如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。
【典型例题1】
如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？
【典型例题2】
如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。
【典型例题3】
如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是8厘米，求AB长是多少厘米？（本题π取值为3）
【对应练习1】
下图中，涂色部分甲比乙的面积大。求的长。
【对应练习2】
如图，三角形ABC是直角三角形，AB长20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积大37平方厘米，求BC的长。
【对应练习3】
如图，已知：S1比S2多28平方厘米，求BC长多少厘米？
【对应练习4】
如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小23平方厘米。求BC的长度。
2023-2024学年六年级数学上册
第五单元圆的面积提高篇（解析版）
本专题是第五单元圆的面积提高篇。本部分内容考察与圆有关的阴影部分图形面积，包括八种常见求阴影部分面积方法，题目综合性强，难度非常大，建议根据学生掌握情况，选择性进行讲解部分考点，一共划分为九个考点，欢迎使用。
【考点一】圆的面积与羊吃草问题。
【方法点拨】
该题型关键是画出羊吃草的范围图，较复杂的问题是由多个不同部分的图形组成，需要分开计算面积。
【典型例题1】
在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长2米．这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？
解析：
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
答：这只羊最多可以吃到的草地的面积是12.56平方米。
【典型例题2】
草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？
解析：羊活动的范围受到绳长的影响，从图中可以分析得到，羊活动的范围由四分之三个半径为30米的圆的面积、四分之一个半径为20米的圆、四分之一个半径为10米的圆的面积组成。
【典型例题3】
墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？
解析：
先画出羊吃草的范围（如图），可见羊吃草的面积是由三部组成的：一部分是半径为4m的圆的；另两部分都是半径为2m的圆的，这两部分合起来正好是半径为2m的半圆。
3.14×42÷4＋3.14×22÷2
＝12.56＋6.28
＝18.84（m2）
答：这只羊能吃到草的面积最多是18.84平方米。
【对应练习1】
如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？
解析：
600厘米=6米
20×2=40（米）
20-6=14（米） 14×2=28（米）
20-6-6=8（米） 8×2=16（米）
20-6-6-6=2（米） 2×2=4（米）
×3.14×(40＋28＋16＋4)＝×3.14×88＝69.08(米)
【对应练习2】
一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？
解析：
根据所画图形可知，两只羊都能吃到的草的面积＝（圆的面积的 －正方形面积的一半）×2，其中圆的半径是3米，据此解答。
（3.14×32×－3×3÷2）×2
＝（7.065－4.5）×2
＝2.565×2
＝5.13（平方米）
答：这两只羊都能吃到的草的面积有5.13平方米。
【对应练习3】
一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一颗树，树上各栓着一只羊，栓羊的绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？
解析：
3.14×4×4÷2－4×4
＝25.12－16
＝9.12（平方米）
答：两只羊都能吃到草的草地的面积是9.12平方米。
【考点二】求阴影部分的面积：S阴影=S1+S2。
【方法点拨】
加法分割思路是把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。
【典型例题】
如图，求阴影部分的面积。（单位：cm）
解析：S阴影=S半圆+S三角形
3.14×（6÷2）2÷2+6×6÷2=28.26+18=46.26（平方厘米）
【对应练习1】
求下面图形的面积。（单位：米）
解析：3.14×12+2×2.5=8.14（平方米）
【对应练习2】
计算如图的面积。
解析：3.14×（10÷2）2+10×20=78.5+200=278.5（平方米）
【对应练习3】
计算下图的周长和面积（单位：m）。
解析：
3.14×20＋50×2
＝62.8＋100
＝162.8（m）
3.14×（20÷2）2＋50×20
＝3.14×102＋1000
＝3.14×100＋1000
＝314＋1000
＝1314（m2）
【考点三】求阴影部分的面积：S阴影=S整体-S空白。
【方法点拨】
减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。
【典型例题1】
求图中阴影部分的面积。（单位：cm）
解析：
3.14×82÷2﹣（8+8）×8÷2
=3.14×64÷2﹣16×8÷2
=100.48﹣64
=36.48（平方厘米）
答：阴影部分的面积是36.48平方厘米。
【典型例题2】
如图，直角三角形ABC的面积为12平方厘米，半圆以BC为直径，求阴影部分的面积。
解析：
观察图形可知，直角三角形也是等腰三角形，所以BC＝AC＝半圆的直径d＝2r；根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出半径的平方，代入圆的面积公式S＝πr2，再除以2，即是半圆的面积；根据阴影部分的面积＝半圆的面积－直角三角形ABC面积的一半，代入数据计算即可。
解：设半圆的半径为r厘米。
2r×2r÷2＝12
4r2÷2＝12
2r2＝12
r2＝12÷2
r2＝6
阴影部分的面积：
3.14×6÷2－12÷2
＝18.84÷2－6
＝9.42－6
＝3.42（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.42平方厘米。
【对应练习1】
求阴影部分的面积。（单位：cm）
解析：
8÷2=4（厘米）
（8+12）×4÷2﹣3.14×42÷2
=40﹣25.12
=14.88（平方厘米）
答：阴影部分的面积是14.88平方厘米。
【对应练习2】
计算下面图形中阴影部分的面积。
解析：
×3.14× [（2＋4）÷2]2－×3.14×（2÷2）2－×3.14×（4÷2）2
＝×3.14×9－×3.14×1－×3.14×4
＝×3.14×（9－1－4）
＝×3.14×4
＝6.28（cm2）
【对应练习3】
计算下面图形中阴影部分的面积。
解析：
6×6－3.14×（6÷2）2
＝36－3.14×32
＝36－3.14×9
＝36－28.26
＝7.74（m2）
【对应练习4】
求阴影部分面积。（单位：cm）
解析：
3.14×÷2﹣[6×6÷2﹣×3.14×62]
=14.13﹣[18﹣14.13]
=14.13﹣3.87
=10.26(平方厘米)
答：阴影部分的面积是10.26平方厘米。
【考点四】求阴影部分的面积：拼接法。
【方法点拨】
在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。
【典型例题1】
三个扇形的半径均为6cm，π取3.14，求下图中阴影部分的面积。

解析：3.14×62÷2=56.52（cm2）。
【典型例题2】
求如图中阴影部分的面积。（单位：）
解析：
3.14×（4÷2）2×2
＝3.14×4×2
＝25.12（平方厘米）
【对应练习1】
如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位：厘米)
解析：四边形的内角和为360°，四个扇形正好可以拼成一个圆。
S阴影=S梯形-S圆
（4+7）×4÷2-3.14×（4÷2）2=22-12.56=9.44（平方厘米）
【对应练习2】
如图，三个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位：厘米)
解析：3.14×32÷2=14.13（平方厘米）
【对应练习3】
如图，图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。
解析：50.24÷3.14÷2=8（厘米）
3.14×82=200.96（平方厘米）
【对应练习4】
计算阴影部分面积。（取3.14）
解析：
3.14×42×
＝3.14×16×
＝12.56（平方厘米）
【考点五】求阴影部分的面积：割补法。
【方法点拨】
移拼、割补的思路是把不规则的阴影面积通过学习割补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。
【典型例题1】
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
解析：如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积
解：62×3.14×＝28.26（平方厘米）
答：阴影部分的面积为 28.26 平方厘米
【典型例题2】
如图，外侧大正方形的边长是10厘米，图中阴影部分的面积是27.5平方厘米，那么圆内大正方形面积是小正方形面积的（ ）倍。
解析：
10×10＝100（平方厘米）
27.5－100÷4＝2.5（平方厘米）
2.5×4＝10（平方厘米）
（10÷2）×（10÷2）÷2×4＝50（平方厘米）
50÷10＝5
圆内大正方形面积是小正方形面积的5倍。
【对应练习1】
求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
解析：6×6÷2=18（平方厘米）
【对应练习2】
求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
解析：10×10÷2=50（平方厘米）
【对应练习3】
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
解析：
4÷2=2（厘米）
3.14×42÷4-4×2÷2=8.56（平方厘米）
【对应练习4】
计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。
解析：4×4÷2=8
【对应练习5】
求阴影部分的面积。（单位：）
解析：
由题知：
。
【考点六】求阴影部分的面积：圆与长方形、正方形、三角形的结合。
【方法点拨】
注意分析长方形、正方形面积公式与圆的面积的相同之处。
【典型例题1】圆与正方形的结合。
如图，以圆的半径为边长的正方形面积是10平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。
解析：
3.14×10＝31.4（平方厘米）
【对应练习1】
下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多少平方米？
解析：
（m2）
答：草坪的面积是529.875平方米。
【对应练习2】
已知下图正方形的面积是50平方分米，圆的面积是( )平方分米。
解析：157
【对应练习3】
如图，已知正方形的面积是9 cm2，这个圆的面积是( )cm2．
解析：28.26
【对应练习4】
如图中正方形的面积是16平方厘米，圆形的面积是（ ）平方厘米。
解析：50.24
【典型例题2】圆与长方形的结合。
如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是3cm，长方形的长是( )cm。
解析：
长方形的长：3×3.14＝9.42（cm）
【对应练习1】
如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？
解析：
2×3.14×6÷2
＝3.14×6
＝18.84（厘米）
（18.84＋6）×2
＝24.84×2
＝49.68（厘米）
答：长方形的周长是49.68平方厘米。
【对应练习2】
如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的周长是多少厘米？
解析：
阴影的周长=πr+πr-r+r+（18.84÷4）=2πr+4.71=18.84+4.71=23.55（厘米）
答：阴影部分的周长是23.55厘米
【对应练习3】
如图，长方形面积和圆面积相等．已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积和周长。
解析：
面积：×3.14×32＝21.195(平方厘米)
周长：3.14×32÷3＝9.42(厘米)
9．42×2＋×3.14×3×2＝23.55(厘米)
【典型例题3】圆与三角形的结合。
如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是12平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。
解析：
解：设圆的半径是r厘米，
所以，r2=12，则：r2=24，把它代入圆的面积公式可得：
3.14×24=75.36（平方厘米）
答：圆的面积是75.36平方厘米。
【对应练习1】
下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是20平方厘米，图中空白部分的面积是多少平方厘米？
解析：
三角形面积＝底×高÷2，三角形面积×2＝r²，根据圆的面积＝πr²，求出圆的面积，圆的面积－三角形面积＝空白部分面积，据此分析。
3.14×（20×2）－20
＝3.14×40－20
＝125.6－20
＝105.6（平方厘米）
答：图中空白部分的面积是105.6平方厘米。
【对应练习2】
图中，三角形的面积是8平方厘米，求涂色部分的面积。
解析：
半径的平方：（平方厘米）
圆的面积：（平方厘米）
涂色部分的面积：（平方厘米）
答：涂色部分的面积是37.68平方厘米。
【对应练习3】
如图，已知三角形OAB的面积是18平方厘米，求阴影部分的面积。
解析：
S三角形＝r2
18＝r2
r2＝36
S阴影＝r2－πr2＝36－×3.14×36＝7.74（平方厘米）
【考点七】求阴影部分的面积：辅助线法。
【方法点拨】
在通常手段无法求出阴影部分面积时，尝试使用添加辅助线的方法解决。
【典型例题】
如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）
解析：
先作辅助线，如图所示。即可得出：阴影部分的面积＝（直径为10厘米的半圆的面积＋边长为10厘米的正方形的面积－等腰三角形AED的面积）÷2。圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2。代入数值计算。
10÷2＝5（厘米）
3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米）
10×10＝100（平方厘米）
10＋5＝15（厘米）
10×15÷2＝75（平方厘米）
39.25＋100－75＝64.25（平方厘米）
64.25÷2＝32.125（平方厘米）
答：阴影部分的面积是32.125平方厘米。
【对应练习】
求图中阴影部分的周长和面积。（π取3.14）
解析：
加两条辅助线，如图：
阴影部分的周长为：
3.14×（4÷2）×2＋3.14×4÷2
＝3.14×2×2＋3.14×4÷2
＝12.56＋6.28
＝18.84（厘米）
阴影部分的面积为：
[3.14×（4÷2）2÷4－（4÷2）×（4÷2）÷2]×2
＝[3.14×4÷4－2×2÷2]×2
＝[3.14－2]×2
＝1.14×2
＝2.28（平方厘米）
【考点八】求阴影部分的面积：容斥原理。
【方法点拨】
重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。
【典型例题】
求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
解析：
由图意可知：阴影部分的面积=以4为直径的2个半圆的面积（1个圆的面积）﹣三角形ABC的面积，据此即可求解。
解：3.14×（4÷2）2﹣4×4÷2
=3.14×4﹣8
=12.56﹣8
=4.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。
【对应练习1】
求阴影部分的面积．（单位：厘米）
解析：3.14×102×－10×10÷2＝78.5－50=28.5（平方厘米）
【对应练习2】
如图所示，长方形的长是6厘米，宽是5厘米，求阴影部分的面积。
解析：
第一部阴影的面积：
3.14×62×﹣6×6×
=28.26﹣18
=10.26（平方厘米）
第二部分阴影的面积：
3.14×52×﹣5×5×
=19.625﹣12.5
=7.125（平方厘米）
第三部分阴影的面积：1×1÷2=0.5（平方厘米）
阴影的面积：10.26+7.125+0.5=17.885（平方厘米）
答：阴影部分面积17.885平方厘米。
【对应练习3】
求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
解析：
两个圆的面积：3.14×（8÷2）2×2=100.48（平方厘米）
正方形的面积：82=64（平方厘米）
阴影部分的面积：100.48﹣64=36.48（平方厘米）
答：阴影部分的面积是36.48平方厘米。
【考点九】求阴影部分的面积：差不变原理。
【方法点拨】
差不变思想，即利用等式的性质来求面积：
如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。
【典型例题1】
如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？
解析：甲、乙两部分同时加上空白扇形，就相当于圆-三角形。
3.14×42×-4×4÷2=4.56（平方厘米）
【典型例题2】
如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。
解析：
根据题意可知，乙的面积－甲的面积＝1.25平方厘米，给甲、乙分别补上空白部分，它们的面积差不变，即（乙的面积＋空白部分的面积）－（甲的面积＋空白部分的面积）＝1.25平方厘米，可以得出：直角三角形ABO的面积－半圆的面积＝1.25平方厘米；
根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，然后除以2，即是半圆的面积，再加上1.25，求出直角三角形ABO的面积；已知直角三角形ABO的面积和高，根据三角形的底＝面积×2÷高，即可求出直角三角形ABO的边OA的长。
半圆的面积：
3.14×（10÷2）2÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方厘米）
直角三角形的面积：
39.25＋1.25＝40.5（平方厘米）
OA的长：
40.5×2÷10
＝81÷10
＝8.1（厘米）
答：直角三角形ABO的边OA的长是8.1厘米。
【典型例题3】
如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是8厘米，求AB长是多少厘米？（本题π取值为3）
解析：
已知甲乙两个阴影部分面积相等，S甲＝S乙，根据等式的性质有S甲＋S空白部分＝S乙＋S空白部分，即S直角三角形＝S半圆；又知直径BC＝8厘米，可先结合圆的面积公式求得半圆的面积，因为BC是三角形的底，AB是三角形的高，再逆用三角形的面积公式，求得AB的长。
S半圆＝3×（8÷2）2÷2
＝3×16÷2
＝48÷2
＝24（平方厘米）
S直角三角形＝24（平方厘米）
24×2÷8
＝48÷8
＝6（厘米）
答：AB的长是6厘米。
【对应练习1】
下图中，涂色部分甲比乙的面积大。求的长。
解析：
根据分析，列式如下：
[3.14×（10÷2）2÷2－11.25]×2÷10
＝[39.25－11.25]×2÷10
＝28×2÷10
＝5.6（厘米）
答：的长是5.6厘米。
【对应练习2】
如图，三角形ABC是直角三角形，AB长20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积大37平方厘米，求BC的长。
解析：
20÷2＝10（厘米）
3.14×102÷2－37
＝157－37
＝120（平方厘米）
120×2÷20
＝240÷20
＝12（厘米）
答：求BC的长是12厘米。
【对应练习3】
如图，已知：S1比S2多28平方厘米，求BC长多少厘米？
解析：
解：设BC长x厘米。
（40÷2）²×3.14÷2－40x÷2＝28
628－20x＝28
20x＝600
x＝30；
答：BC长30厘米。
【对应练习4】
如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小23平方厘米。求BC的长度。
解：设BC长x厘米。
20x÷2－3.14×（20÷2）²÷2＝23
10x－3.14×100÷2＝23
10x－157＋157＝23＋157
10x÷10＝180÷10
x＝18