高考数学一轮复习第1章1预备知识在高考中的五大创新命题点学案

这是一份高考数学一轮复习第1章1预备知识在高考中的五大创新命题点学案，共5页。
由八省联考开幕的新高考打破了原来数学命题的固有模式，本章预备知识中各题也不再是过去的“送分题”．特别地，2021年新高考Ⅱ卷的第20题第(2)问将三点共线问题与充要条件交汇在一起，2022年北京卷第9题将集合与立体几何动点轨迹问题交汇在一起，2022年新高考Ⅱ卷第17题第(2)问将集合与数列交汇在一起，…….可见各个知识点的考查难易随时会变化，因此，高三复习中要立足数学的本质，重视思维过程，提升自己分析问题和解决问题的能力，全方位、多角度备战新高考．
命题点一 集合中的创新性问题
[典例1] (1)(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则( )
A．M⊆N B．N⊆M
C．M⊆∁RN D．∁RN⊆M
(2)(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56%
C．46% D．42%
(1)D (2)C [(1)由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示，
∴只有∁RN⊆M正确．故选D.
(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.
由Venn图可知，82%－x＋60%＝96%，
解得x＝46%，故选C.]
两道考题与我们日常训练的题目的风格有点不同，尤其是第(1)题过于抽象，倘若不深入思考很难找到解题的切入点； 第(2)题情境化较浓，若对容斥原理(人教A版必修第一册P15阅读与思考)不熟，也难以解答．实际上两道试题均考查Venn图的应用，考查直观想象素养．
命题点二 集合与其他知识的交汇问题
[典例2] (2022·北京高考)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为( )
A．3π4 B．π
C．2π D．3π
B [如图，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，则由题意知，CO＝23，PC＝6，所以PO＝26，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆上及圆内，所以T表示的区域的面积为π.故选B.
]
该题源自人教A版必修第二册P163T5，虽然是空间动态问题，但整体难度不大，解答的关键是发现集合T＝{Q∈S|PQ≤5}的本质，同时抓住正三棱锥顶点P到平面ABC距离(PO)的不变性，借助直角三角形的三边关系寻找圆O的半径．
命题点三 基于数学知识的逻辑推理问题
[典例3] (2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根；
乙：x＝3是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号.
如果只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
A [因为1×3>0，1＋3≠2，又四个命题三真一假，故甲、乙必有一个是假命题，由甲为假命题易知，符合题意，由乙为假命题推出矛盾. 故选A. ]
此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化、生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查.
命题点四 不等式与基本不等式问题
[典例4] (多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥12 B．2a－b>12
C．lg2a＋lg2b≥－2 D．a+b≤2
ABD [对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥12，A正确；对于选项B，易知0