高考数学一轮复习第7章解答题模板构建4高考中的数列问题学案

设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．

[规范解答]

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)．

依题意，得解得 3分

故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n．

所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n． 5分

(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n

＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)

＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)

  8分

＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．

记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①

则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②

②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n＋1＝．               11分

所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn

＝3n2＋3×

＝(n∈N*)．  12分

类型一　等差数列与等比数列综合

1．已知正项等比数列{an}满足a4＝2a3＋3a2，Sn为其前n项和，且S4＝40．

(1)求an；

(2)等差数列{bn}满足：b1＝a1，b4＝a1＋a3．

①证明：当n＝1时，是{bn}中的项，并指出是第几项；

②求出所有的n，使得是{bn}中的项．

(1)解：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)．

由a4＝2a3＋3a2，可得a2q2＝2a2q＋3a2，

得q2－2q－3＝0，

解得q＝3或－1(舍)．

由S4＝＝＝40，解得a1＝1，

所以an＝3n－1．

(2)由b1＝a1＝1，b4＝a1＋a3＝1＋9＝10，所以公差d＝＝3，所以bn＝b1＋(n－1)d＝3n－2．

①证明：当n＝1时，＝＝28＝b10，

即当n＝1时，是{bn}中的第10项．

②解：设是{bn}中的第m项，

则＝bm，

即＝3m－2，

得m＝＝＝n＋．

由1≤3－<3，m，n∈N*，可得当且仅当3－＝1时，m＝n＋成立，

即仅有n＝1时，是{bn}中的项．

2．已知函数f(x)＝cos πx－sin πx(x∈R)的所有正的零点构成递增数列{an}(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

解：(1)f(x)＝cos πx－sin πx＝2cos，

由题意令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)．

又函数f(x)的所有正的零点构成递增数列{an}，所以{an}是以为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n－(n∈N*)．

类型二　数列求和

1．在①a4是a3与a5－8的等差中项；②S2，S3＋4，S4成等差数列中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若________．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(n＋1)log2an，求数列的前n项和Tn．

解：(1)选①：因为a3，a4，a5－8成等差数列，

所以2a4＝a3＋a5－8，

所以16a1＝4a1＋16a1－8，解得a1＝2，

所以an＝2n．

选②：因为S2，S3＋4，S4成等差数列，

所以2(S3＋4)＝S2＋S4，即2＝＋，所以14a1＋8＝18a1，

解得a1＝2，所以an＝2n．

(2)因为an＝2n，

所以bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)，

所以＝＝－，

所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－＝．

2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝|()－1 000|，求数列{bn}的前15项和T15(用具体数值作答)．

解：(1)因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以an＋1－an＝an－an－1，所以{an}为等差数列．设公差为d，因为a1＝2，a2＋a3＋a4＝18，所以3a1＋6d＝18，所以d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，即an＝2n．

(2)因为bn＝|()－1 000|，所以bn＝|()2n－1 000|＝|2n－1 000|，

所以bn＝

所以T15＝(1 000－21)＋(1 000－22)＋…＋(1 000－29)＋(210－1 000)＋(211－1 000)＋…＋(215－1 000)＝3×1 000－(21＋22＋…＋29)＋(210＋211＋…＋215)＝3×1 000－＋＝3 000－(210－2)＋210(26－1)＝66 490．