2023-2024学年浙江省杭州市六县九校联盟高一年级第一学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市六县九校联盟高一年级第一学期期中联考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2}，B={-2,-1,0,1}，则A∩B=
( )
A. {1}B. {-2,-1,2}C. {-2,-1,0,1,2}D. {0,1}
2.命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0”的否定是
( )
A. ∀x∈R，均有x2+3x+2≤0B. ∀x∈R，均有x2+3x+2≥0
C. ∃x∈R，有x2+3x+2>0D. ∃x∈R，有x2+3x+2≤0
3.若a,b,c∈R且a>b，则下列不等式成立的是
( )
A. a2>b2B. 1a<1bC. ac>bcD. ac2+1>bc2+1
4.在R上定义运算⊗:a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗(x-2)<0的实数x的取值范围
( )
A. {x|0C. {x|x<-2或x>1}D. {x|-15.设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，若f(9)=6，则f(3 3)等于
( )
A. 32B. 2C. 94D. 92
6.若a，b∈R，记max{a,b}={a,a>bb,a⩽b，则函数f(x)=max|3x|,-x2+4的最小值为
( )
A. 0B. 1C. 3D. 12
7.已知函数f(x)=x3+ax+bx-3，且f(-2023)=2023，那么f(2023)的值为
( )
A. 2025B. 2017C. -2029D. -2023
8.已知函数fx=x2-2ax+2,x≤1x+16x-3a,x>1的最小值为f1，则a的取值范围是
( )
A. 1,5B. 5,+∞
C. 0,5D. -∞,1∪5,+∞
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是
( )
A. 若x2>y2，则x>yB. 若x>5，则x>10
C. 若ac=bc，则a=bD. 若2x+1=2y+1，则x=y
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3( )
A. a<0
B. a+b+c>0
C. 不等式bx+c>0的解集为{x|x>6}
D. 不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|-1311.若函数f(x)=x2+(2+b)x-1,x<0(2b-1)x+b-2,x≥0在R上为单调减函数，则实数b的值可以为( )
A. 0B. -1C. -2D. -52
12.定义在R上的函数f(x)，对任意的x1,x2∈(-∞,2]，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)] >0，且函数y=f(x+2)为偶函数，则下列说法正确的是
( )
A. y=f(x-2)关于直线x=4对称
B. y=f(x)在x∈(2,+∞)上单调递增
C. f(1)>f(π)
D. 若f(0)=0，则(x-1)f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,4)
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知集合A={x∈Z|114.已知函数f(x)=ax2+(b-3)x+3，x∈[a2-2,a]是偶函数，则a+b= ．
15.已知函数f(x)= kx2-4x+3的定义域为R，求实数k的取值范围_____．
16.已知幂函数f(x)=xm-3m∈N*的图象关于y轴对称，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，求满足f(a+1-m)四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=x|x2-4x-5≥0，集合B=x|2a≤x≤a+2．
(1)若a=-1，求A∩B和A∪B；
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知f(x+1)的定义域为[-2,3]，求f(1-2x)的定义域．
(2)已知f( x-2)=2x+3，求函数f(x)的解析式．
19.(本小题12分)
(1)已知正数x,y满足xy=x+y+3，求xy的最小值及相应的x,y的值;
(2)已知正数x,y满足x+y=1，求1x+41+y的最小值．
20.(本小题12分)
已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=ax-bx2+1，且f(13)=310.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)解不等式f(2t)+f(3t-1)<0.
21.(本小题12分)
中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本c(x)(万元)，当年产量不足80台时c(x)=12x2+40x(万元)；当年产量不少于80台时c(x)=101x+8100x-2180(万元).若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
( I)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；
( II)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2-(a+2)x+4(a∈R)
(1)解关于x的不等式f(x)≤4-2a；
(2)若对任意的x∈[1,4]，f(x)+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知gx=mx+5-2m，当a=2时，若对任意的x1∈1,4，总存在x2∈1,4，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】
解：因为A= {0,1,2}，B={-2,-1,0,1}，
所以A∩B={1,0}．
2.【答案】B
【解析】【分析】
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查．
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃x∈R，使得x2+3x+2<0”的否定是：∀x∈R，均有x2+3x+2≥0．
故选B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
解决问题的关键是根据各个选项结合不等式的性质逐一分析判断即可．
【解答】
解：对于A，a2-b2=a+ba-b，a-b>0，a+b正负不确定，所以不正确；
对于B，1a-1b=b-aab，b-a<0，ab正负不确定，所以不正确；
对于C，c可能为0，所以有可能a|c|=b|c|，所以不正确；
对于D，ac2+1>bc2+1⇔a-bc2+1>0 ，正确．
故选D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题属于以新定义为平台，考查了一元二次不等式的解法，是一道基础题．
根据题中已知得新定义，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围．
【解答】
解：∵x⊗(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0，
∴x2+x-2<0，即(x-1)(x+2)<0，解得-2故选B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数及其应用，抽象函数的有关命题，常采用赋值法求解，属于中档题．
函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若f(xy)=f(x)+f(y)，f(9)=6，令x=3，y=3，即可求得f(3)的值，再令x=y= 3，可求出f( 3)的值，即可求解．
【解答】
解：∵f(xy)=f(x)+f(y)，f(9)=6，
∴令x=3，y=3，则f(9)=f(3)+f(3)=6，
所以f3=3，
令x=y= 3，则f(3)=f( 3)+f( 3)=2f( 3)=3，
∴f( 3)=32，
令x=3，y= 3，
则f(3 3)=f( 3)+f3=32+3=92．
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数新概念题，考查分段函数的图象和最值，属于中档题．
根据新定义作出函数图象，结合图象即可得答案．
【解答】
解：根据题意，作出函数f(x)=max|3x|,-x2+4的图象，
如图所示：
当x>0时，由|3x|=-x2+4，解得x=1，
当x<0时，由|3x|=-x2+4，解得x=-1，
所以由函数图像可知，
当x=1或-1时，函数f(x)取得最小值为3．
故选C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．
根据题意，由函数的解析式可得f(-x)=-(x3+ax+bx)-3，由此可得f(x)+f(-x)=-6，分析可得答案．
【解答】解：函数f(x)=x3+ax+bx-3，则f(-x)=-(x3+ax+bx)-3，
则f(x)+f(-x)=-6，
若f(-2023)=2023，则f(2023)=-6-f(-2023)=-2029，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数的最值，考查基本不等式的应用，属于基础题．
分析可知函数fx在-∞,1上单调递减，利用基本不等式求出fx在1,+∞上的最小值，进而可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围．
【解答】
解：因为函数fx的最小值为f1，则函数fx在-∞,1上单调递减，则a≥1，且f1=3-2a，
当x>1时，由基本不等式可得fx=x+16x-3a≥2 x⋅16x-3a=8-3a，
当且仅当x=4时，等号成立，
由题意可得3-2a≤8-3a，解得a≤5．
综上，1≤a≤5．
故选A．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查必要条件的判断，属于基础题．
根据必要条件的判定逐一分析各选项即可．
【解答】
解：对于A，若x>y，当0>x>y时， x2对于B，当x>10时可得x>5，p是q的必要条件，故B正确；
对于C，当a=b时可得ac=bc，p是q的必要条件，故C正确；
对于D，若x=y，则2x+1=2y+1，p是q的必要条件，故D正确；
故选BCD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
由题意结合三个二次的关系可得a、b、c的关系，再结合选项逐个验证即可．
【解答】
解：由已知可得-3，2是方程ax2+bx+c=0的两根，
则由韦达定理可得：-3+2=-ba-3×2=ca，且a<0，解得c=-6a，b=a，所以A正确，
选项B：a+b+c=a+a-6a=-4a>0，B正确，
选项C：bx+c>0化简为x-6<0，解得x<6，C错误，
选项D：cx2+bx+a<0化简为：6x2-x-1<0，解得-1311.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
由分段函数的单调性可得关于b的不等式组，求出b的取值范围结合选项即可解．
【解答】
解：因为函数f(x)=x2+(2+b)x-1,x<0(2b-1)x+b-2,x≥0在R上为单调减函数，
所以-2+b2≥02b-1<0-1≥b-2，解得b≤-2，
由选项可知，b可以为-2，-52．
故选：CD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性和单调性以及对称性，属于中档题．
根据函数的对称性和单调性逐一分析各选项即可．
【解答】
解：因为y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x+2)关于y轴对称，
故y=f(x)关于x=2对称，y=f(x-2)关于直线x=4对称，故A正确；
对任意的x1,x2∈(-∞,2]，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，
所以函数f(x)在(-∞,2]上单调递增，
又因为f(x)关于x=2对称，所以函数f(x)在2,+∞上单调递减，故B错误；
根据对称性可知f(π)=f(4-π)，所以f(3)=f(1)>f(4-π)=f(π)，故C正确；
若f(0)=0，则f(4)=0，当00，当x<0或x>4时，f(x)<0，
则(x-1)f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,4)，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了集合的真子集问题，是一道基础题．
求出集合A，求出A的子集即可．
【解答】
解：集合A={x∈Z|1则它的真子集有⌀，{2}，{3}共3个，
故答案为：3．
14.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查偶函数的定义和性质，注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点，属于基础题．
利用偶函数的定义及图象关于y轴对称的特点，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于a，b的方程，即可求出a+b的值．
【解答】
解：∵函数f(x)=ax2+(b-3)x+3，x∈[a2-2,a]是偶函数，
∴a2-2+a=0，∴a=-2或1，
∵a2-2∵偶函数的图象关于y轴对称，
∴-b-32a=0，∴b=3．
∴a+b=4．
故答案为4．
15.【答案】k⩾43
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．
把函数f(x)= kx2-4x+3的定义域为R转化为kx2-4x+3≥0对任意x∈R恒成立，然后对k分类讨论得答案．
【解答】
解：∵函数f(x)= kx2-4x+3的定义域为R，
∴kx2-4x+3≥0对任意x∈R恒成立，
当k=0时，不等式化为-4x+3≥0，不满足题意；
当k≠0时，则k>0Δ=16-12k≤0，解得k⩾43．
综上，实数k的取值范围是k⩾43．
16.【答案】(23,1)∪( 1,2)
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，属于中档题．
根据幂函数f(x)的图象与性质求出m的值，然后根据函数的奇偶性和单调性求出a的取值范围．
【解答】解： ∵幂函数f(x)=xm-3在(0,+∞)上单调递减，
∴m-3<0，解得m<3，
∵m∈N*，∴m=1或m=2，
又∵幂函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)为偶函数，∴m-3是偶数，∴m=1，f(x)=x-2，
由f(a+1-m)即f(|a|)得a>2-2a>0，
解得23故实数a的取值范围为(23,1)∪( 1,2)．
故答案为：(23,1)∪( 1,2)..
17.【答案】解：(1)当a=-1时，集合A={x|x2-4x-5≥0}={x|x≤-1或x≥5}，
集合B={x|2a≤x≤a+2}={x|-2≤x≤1}，
∴A∩B={x|-2≤x≤-1}，
A∪B={x|x≤1或x≥5}，
(2)∵A∩B=B，∴B⊆A，
当B=⌀时，则2a>a+2，解得a>2；
当B≠⌀时，则a≤2a+2≤-1或a≤22a≥5，解得a≤-3，
综上所述，a>2或a≤-3．
即实数a的取值范围是(-∞,-3]∪(2，+∞)．

【解析】本题主要考查了交集、并集的运算，考查了集合间的包含关系等，属于中档题．
(1)求出集合A={x|x≤-1或x≥5}，B={x|-2≤x≤1}，从而能求出A∩B和A∪B；
(2)由A∩B=B，得B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．
18.【答案】解：(1)函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，
可得-2⩽x⩽3，
则-1⩽x+1⩽4
则f(1-2x)中：-1⩽1-2x⩽4，
解得 -32⩽x⩽1，
可得f(1-2x)的定义域为[-32,1]；
(2)令 x-2=tt⩾-2，则x=t+22，
则ft=2t+22+3=2t2+8t+11，t⩾-2，
所以函数f(x)的解析式为fx=2x2+8x+11,x⩾-2．
【解析】 本题考查复合函数的定义域及函数解析式的求法，属于基础题．
(1)由题意得f(x+1)中-2⩽x⩽3， 则-1⩽x+1⩽4，即有-1⩽1-2x⩽4，解得 -32⩽x⩽1，可得f(1-2x)的定义域．
(2)由换元法求解，令 x-2=tt⩾-2，则x=t+22，则ft=2t+22+3=2t2+8t+11，t⩾-2，从而得函数解析式．
19.【答案】(1)解：由xy=x+y+3，得xy-3=x+y≥2 xy，
解得( xy+1)( xy-3)≥0，
解得 xy≥3，xy≥9，当且仅当x=y=3时，取得最小值，
故xy的最小值为9，此时x=y=3；
(2)解：∵正数x,y满足x+y=1，
所以x+(1+y)=2，
则2(1x+41+y)=[x+(1+y)](1x+41+y)
=4x1+y+1+yx+5≥2 4x1+y⋅1+yx+5=9，
所以1x+41+y≥92，
当且仅当4x1+y=1+yx,x+y=1即x=23y=13时，等号成立，
因此，1x+41+y的最小值为92．
【解析】(1)本题考查由基本不等式求最值，属于一般题．
利用xy-3=x+y≥2 xy，解不等式，即可求出结果；
(2)本题考查由基本不等式求最值，属于一般题．
2(1x+41+y)=[x+(1+y)](1x+41+y)=4x1+y+1+yx+5，利用基本不等式，即可求出结果．
20.【答案】解：(1)定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=ax-bx2+1，则f(0)=0，即-b=0，解得b=0，
又f(13)=310，即13a19+1=310，解得a=1，
∴f(x)=xx2+1;
(2)当x∈(-1,1)时，函数f(x)为增函数，
证明如下：设-1f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x2x22+1=-(x1x2-1)(x1-x2)(x12+1)(x22+1)，
又由-1即f(x1)(3)由(1)得f(x)=xx2+1，f(x)在(-1,1)上单调递增，
∵f(2t)+f(3t-1)<0，f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，
∴f(2t)<-f(3t-1)=f(1-3t)，
∴-1<2t<1-1<1-3t<12t<1-3t，解得0∴不等式的解集为(0,15).
【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性以及利用函数单调性解不等式，属于中档题．
(1)根据奇函数的性质求出b的值，再由f(13)=310，求出a的值，即可求解；
(2)利用定义法进行证明；
(3)根据函数的奇偶性和单调性进行求解即可．
21.【答案】解：(Ⅰ)当0y=100x-(12x2+40x)-500=-12x2+60x-500，
当x≥80时，y=100x-(101x+8100x-2180)-500
=1680-(x+8100x)，
于是y=-12x2+60x-500,0(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当0y=-12(x-60)2+1300，
此时当x=60时y取得最大值为1300(万元)，
当x≥80时，y=1680-(x+8100x)
≤1680-2 x⋅8100x=1500，
当且仅当x=8100x即x=90时y取最大值为1500(万元)，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．
【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．
(Ⅰ)通过利润=销售收入-成本，分0(Ⅱ)通过(Ⅰ)配方可知当022.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x2-(a+2)x+4(a∈R)，
所以f(x)⩽4-2a即为x2-(a+2)x+2a⩽0，
所以(x-a)(x-2)⩽0，
当a<2时，解得a⩽x⩽2，
当a=2时，解得x=2，
当a>2时，解得2⩽x⩽a，
综上：当a<2时，不等式的解集为x|a≤x≤2，
当a=2时，不等式的解集为x|x=2，
当a>2时，不等式的解集为x|2≤x≤a，
(2)因为对任意的x∈[1,4]，f(x)+a+1⩾0恒成立，
所以对任意的x∈[1,4]，a(x-1)⩽x2-2x+5恒成立，
当x=1时，0⩽4恒成立，
所以对任意的x∈(1,4]时，a⩽x-1+4x-1恒成立，
令t=x-1+4x-1⩾2 (x-1)⋅4x-1=4，当且仅当x-1=4x-1，即x=3时取等号， 所以a⩽4，
所以实数a的取值范围是(-∞,4]．
(3)当a=2时，f(x)=x2-4x+4，
因为x∈[1,4]，所以函数f(x)的值域是0,4，
因为对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，
所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
当m>0时，g(x)∈[-m+5,2m+5]， 则-m+5⩽02m+5⩾4，解得m⩾5，
当m<0时，g(x)∈[2m+5,-m+5]，
则-m+5⩾42m+5⩽0，解得m⩽-52， 当m=0时，g(x)∈5}，不成立；
综上：实数m的取值范围(-∞,-52]∪[5,+∞)．

【解析】本题考查一元二次不等式求解，考查一元二次不等式恒成立求参数的取值范围及存在性问题，属于较难题．
(1)由题意可得(x-a)(x-2)⩽0，对a进行分类讨论得出不等式的解集即可；
(2)由不等式恒成立，对x进行分类讨论分离参数转化任意的x∈(1,4]时，a⩽x-1+4x-1恒成立，进行求解即可；
(3)求出f(x)的值域，由对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，可知f(x)的值域为g(x)的值域的子集，求出m的取值范围即可．