高考数学一轮复习第7章第4课时空间直线、平面的平行学案

这是一份高考数学一轮复习第7章第4课时空间直线、平面的平行学案，共30页。

1．线面平行的判定定理和性质定理
2.面面平行的判定定理和性质定理
[常用结论]
1．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
(2)若α∥β，a⊂α，则a∥β．
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
2．三种平行关系的转化
线线平行 eq \(⥫====⥬,\s\up10(判定定理),\s\d10(性质定理))线面平行 eq \(⥫====⥬,\s\up10(判定定理),\s\d10(性质定理))面面平行性质定理
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( )
(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )
(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第二册P142练习T2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D [若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.]
2．(人教A版必修第二册P139练习T3改编)下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
D [A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]
3．(人教A版必修第二册P143习题8.5T5改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
平行 [如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，
∴EF∥BD1，
又EF⊂平面ACE，
BD1⊄平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.]
4．(人教A版必修第二册P134例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD [(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.]
考点一 与线、面平行相关命题的判定
[典例1] (多选)(2022·广东深圳二模)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有( )
A．F为AA1的中点
B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点
D．F为A1D1的中点
ACD [如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面，由EM∥AC，AC⊂平面ACD1，EM⊄平面ACD1，则EM∥平面ACD1，同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ内相交直线，则得平面EMGHIJ∥平面ACD1，EF∥平面ACD1，则F∈平面EMGHIJ，观察各选项，ACD满足．故选ACD.]
[拓展变式] (多选)本例中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是( )
A．直线A1B B．直线BB1
C．平面A1DC1 D．平面A1BC1
AD [如图，由A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1， 故直线A1B与平面ACD1平行，故A正确；
直线BB1∥DD1，DD1与平面ACD1相交，故直线BB1与平面ACD1相交，故B错误；
由图，显然平面A1DC1与平面ACD1相交，故C错误；
由A1B∥D1C，AC∥A1C1 ，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C＝C，故平面A1BC1与平面ACD1平行，故D正确．故选AD.]
判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
[跟进训练]
1．(1)(多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交
(2)如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱AA1，CC1，C1D1的中点，则下列各选项正确的是( )
A．直线BC1与平面EFG平行，直线BD1与平面EFG相交
B．直线BC1与平面EFG相交，直线BD1与平面EFG平行
C．直线BC1、BD1都与平面EFG平行
D．直线BC1、BD1都与平面EFG相交
(1)CD (2)A [(1)对于A，若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β，所以A错误．
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线，相交直线或平行直线，所以B错误．
对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，C正确．
对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，D正确．
(2)取AB的中点H，则BH∥C1G，BH＝C1G，从而四边形BC1GH为平行四边形，所以BC1∥HG.易知EH∥GF，EH＝GF，则四边形EGFH为平行四边形，
从而GH⊂平面EFG.又BC1⊄平面EFG，所以BC1∥平面EFG.易知BF∥ED1，BF＝ED1，则四边形BFD1E为平行四边形，从而BD1与EF相交，所以直线BD1与平面EFG相交．故选A.]
考点二 直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定
[典例2] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
[四字解题]
[证明] 法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF.
∵E是AB的中点，
∴AE∥CD，且AE＝12CD，
又∵MF∥CD，且MF＝12CD，
∴AE綉FM，∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM.
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
法二(应用面面平行的性质定理)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG.
∵F，G分别为PD，CD的中点，
∴FG∥PC.同理AG∥EC，
又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE.
PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.
又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE.又AF⊂平面AFG，
∴AF∥平面PCE.
线面平行性质定理的应用
[典例3] 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.
证明：FG∥平面AA1B1B.
[证明] 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D.
又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.
而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B.
证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．
(3)面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β.
[跟进训练]
2．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
[解] (1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
考点三 平面与平面平行的判定与性质
[典例4] 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
[拓展变式]
1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．
[解] 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，则A1D1D1C1＝A1OOB＝1.
又由题设A1D1D1C1＝DCAD，
所以DCAD＝1，即ADDC＝1.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
[证明] 如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，
BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
[跟进训练]
3．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.
[证明] (1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
考点四 平行关系的综合应用
[典例5] 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
[解] (1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，
所以EF∥HG.
因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.
又因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
所以EF∥AB.又因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0