高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和学案

第二讲　等差数列及其前n项和

知识梳理·双基自测

知识点一　等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__.

(2)等差中项

如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝__.

(3)通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝_a1＋(n－1)d__＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(4)前n项和公式：Sn＝_na1＋d__＝___.

知识点二　等差数列的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

(1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__.

(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__.

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(4)为等差数列．

(5)n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝___a中，

S偶＝___a中，∴S奇－S偶＝_a中__.

n为偶数时，S偶－S奇＝.

(6)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.

1．等差数列前n项和公式的推证方法_倒序相加法__.

2．d＝.

3．等差数列与函数的关系

(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列．

(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.显然当d<0时，Sn有最大值，d>0时，Sn有最小值．

4．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a＋2d.

题组一　走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)

(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　)

(4)若{an}是等差数列，公差为d，则数列{a3n}也是等差数列．(　√　)

(5)若{an}，{bn}都是等差数列，则数列{pan＋qbn}也是等差数列．(　√　)

[解析]　(1)同一个常数．

(2)因为在等差数列{an}中，当公差d>0时，该数列是递增数列，当公差d<0时，该数列是递减数列，当公差d＝0时，该数列是常数数列，所以命题正确．

(3)常数列的前n项和公式为一次函数．

(4)因为{an}是等差数列，公差为d，所以a3(n＋1)－a3n＝3d(与n值无关的常数)，所以数列{a3n}也是等差数列．

(5)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则pan＋1＋qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与n值无关的常数)，即数列{pan＋qbn}．也是等差数列．

题组二　走进教材

2．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为_487__

[解析]　依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.

3．(必修5P46A组T5改编)已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝_(75n－5n2)__.

[解析]　由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)．

4．(必修5P41T2改编)设a≠b，且数列a，x1，x2，b和a，y1，y2，y3，y4，b分别是等差数列，则＝(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　x2－x1＝(b－a)，y4－y3＝(b－a)，∴＝＝.故选A．

题组三　走向高考

5．(2020·课标Ⅱ，14,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝_25__.

[解析]　设等差数列{an}的公差为d，

则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，

因为a2＋a6＝2，所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，解得d＝1，

所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25.

6．(2020·新高考Ⅰ，14,5分)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为_3n2－2n__.

[解析]　∵数列{2n－1}的项为1,3,5,7,9,11,13，…，

数列{3n－2}的项为1,4,7,10,13，…，

∴数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列，

∴an＝1＋(n－1)×6＝6n－5，

∴数列{an}的前n项和Sn＝＝3n2－2n.

考点突破·互动探究

考点一　等差数列的基本运算——自主练透

例1 (1)(2018·北京，9)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为_an＝6n－3__；

(2)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝_100__；

(3)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝_4__；

(4)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则(　A　)

A．an＝2n－5　　 B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n　　 D．Sn＝n2－2n

[解析]　(1)本题主要考查等差数列的通项公式．设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n－1)＝6n－3.

(2)解法一：设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得所以S10＝10×1＋×2＝100.

解法二：由题意，得公差d＝(a7－a3)＝2，所以a4＝a3＋d＝7，所以S10＝＝5(a4＋a7)＝100.

(3)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以＝＝＝＝4.

(4)解法一：设等差数列{an}的公差为d，

∵∴解得

∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，

Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A．

解法二：设等差数列{an}的公差为d，

∵∴解得

选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B；a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝－2＝－，排除D，选A．

名师点拨

等差数列基本量的求法

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

考点二　等差数列的判定与证明——师生共研

例2 (2021·日照模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．

[解析]　∵bn＋1－bn＝－

＝－＝－＝2，

∴数列{bn}是公差为2的等差数列，

又b1＝＝2，∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n ，

∴2n＝，解得an＝.

名师点拨

等差数列的判定方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．

(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．

(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.

(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.

提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法证明，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项an，an＋1，an＋2使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可．

各项不同号的等差数列各项的绝对值不构成等差数列，但其前n项和可用等差数列前n项和公式分段求解，分段的关键是找出原等差数列中变号的项．

〔变式训练1〕

(2021·南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1)求证：是等差数列；

(2)求an的表达式．

[解析]　(1)因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，

又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.

因此－＝2(n≥2)．故由等差数列的定义知{}是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．

(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，

即Sn＝.

由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－，

又因为a1＝，不适合上式．

所以an＝

考点三　等差数列性质的应用——多维探究

角度1　等差数列项的性质

例3 (1)(2021·江西联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝6，则3a2＋a16的值为(　D　)

A．24　　 B．18　　

C．16　　 D．12

(2)(2020·吉林百校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a11＝a9＋7，则S25＝(　D　)

A．　　 B．145　　

C．　　 D．175

(3)(2021·江西九江一中月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　A　)

A．1　　 B．－1　　

C．2　　 D．

[分析]　由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a1与d的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q求解(注意项数不变，脚标和不变)．

[解析]　(1)由题意知3a2＋a16＝2(a3＋a8)＝12.故选D．

(2)∵2a11＝a9＋a13＝a9＋7，∴a13＝7，

∴S25＝＝25a13＝175.故选D．

(3)＝＝，∵＝，∴＝1.故选A．

另解：＝⇒＝⇒2a1＝－13d，

∴＝＝＝＝1.

名师点拨

(1)等差数列中最常用的性质：①d＝，②am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank⇔m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk.特别地若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.

(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮．

角度2　等差数列前n项和性质

例4 (1)(2021·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(　B　)

A．7　　 B．8　　

C．9　　 D．10

(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 019，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 019＝(　A　)

A．－2 019　　 B．－2 018　　

C．－2 017　　 D．－2 016

[分析]　思路1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1、d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；

思路2：设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A、B，从而得Sn，进而得S40；

思路3：利用等差数列前n项和性质S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，由前三项求得S20，从而得此数列的公差，进而求得S40－S30，得S40；

思路4：利用是等差数列，由、可求出公差，从而可得，进而求得S40.

[解析]　(1)解法一：设等差数列{an}的公差为d，

则解得

∴S40＝×40＋×＝8.故选B．

解法二：设等差数列前n项和为Sn＝An2＋Bn，

由题意知解得

∴Sn＝＋，∴S40＝8.故选B．

解法三：由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋＝1＋＝.∴d＝(S20－S10)－S10＝，∴S40－5＝1＋3×＝3，∴S40＝8.故选B．

解法四：由等差数列的性质知是等差数列，

∴，，，，即，，，成等差数列，

∴＝＋＝，∴S40＝8.故选B．

(2)由题意知，数列为等差数列，其公差为1，

所以＝＋(2 019－1)×1＝－2 019＋2 018＝－1.

所以S2 019＝－2 019.故选A．

名师点拨

比较本例的四种解法可知，解法2、解法4运算简便适用所有公差d≠0的等差数列．务必熟记：①等差数列前n项和Sn＝n2＋n；②是等差数列．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)(2021·山东师大附中模拟)在等差数列{an}中，a9＝a12＋3，则数列{an}的前11项和S11＝(　C　)

A．21　　 B．48　　

C．66　　 D．132

(2)(角度2)若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足＝，则的值为(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

(3)(角度2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝_114__.

[解析]　(1)由题意知2a9＝a12＋6，即a12＋a6＝a12＋6，∴a6＝6，∴S11＝＝11a6＝66.故选C．

(2)＝＝×＝×＝×＝.故选C．

(3)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.

名师讲坛·素养提升

与等差数列前n项和Sn有关的最值问题

例5 (1)(2021·吉林市调研)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝(　B　)

A．6　　 B．7　　

C．10　　 D．9

(2)(2021·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{an}为等差数列，若<－1，且其前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(　B　)

A．11　　 B．19　　

C．20　　 D．21

[分析]　(1)由S5＝S9可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；

(2)利用Sn>0⇔a1＋an>0求解．

[解析]　(1)解法一：由S5＝S9得a6＋a7＋a8＋a9＝0，

即a7＋a8＝0，∴2a1＋13d＝0，又a1>0，∴d<0.

∴a7>0，a8<0，∴a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，

∴Sn最大时，n＝7，故选B．

解法二：Sn是关于n的二次函数，Sn＝n2＋n，且d<0，(n，Sn)所在抛物线开口向下 ，又S5＝S9，∴抛物线对称轴为n＝7.即n＝7时，Sn最大，故选B．

解法三：由解法一知d＝－a1，

∴Sn＝na1＋d＝n2＋n＝－n2＋a1n＝－(n－7)2＋a1，

∵a1>0，∴－<0，∴当n＝7时，Sn最大．

解法四：由解法一可知，d＝－a1.

∵a1>0，∴d<0.

令得

解得≤n≤.

∵n∈N*，∴当n＝7时，Sn最大．

(2)∵Sn＝n2＋n有最大值，∴d<0，又<－1，∴a10>0，a11<0，∴a10＋a11<0，即a1＋a20<0，∴S20＝10(a1＋a20)<0，又S19＝＝19a10>0，∴使Sn>0的n的最大值为19.故选B．

[引申]①本例(1)中若将“S5＝S9”改为“S5＝S10”，则当Sn取最大值时n＝_7或8__；

②本例(1)中，使Sn<0的n的最小值为_15__；

③本例(2)中，使Sn取最大值时n＝_10__.

[解析]　①若S5＝S10，则Sn＝n2＋n的对称轴为n＝7.5，但n∈N*，故使Sn最大的n的值为7或8.

②由a7＋a8＝a1＋a14＝0知S14＝0，又a8<0，∴2a8＝a1＋a15<0，即S15<0，∴使Sn<0的n的最小值为15.

名师点拨

求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：

〔变式训练3〕

(1)(2021·长春市模拟)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　C　)

A．6　　 B．7　　

C．8　　 D．9

(2)(2019·北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝_0__，Sn的最小值为_－10__.

[解析]　(1)∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11，

∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，

∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…，

∴使Sn取最小值的n的值为8.故选C．

(2)设等差数列{an}的公差为d，

∵即

∴可得∴a5＝a1＋4d＝0.

∵Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，

∴当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.