高考数学统考一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和学案

　等差数列及其前n项和

[考试要求]　1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系

(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．

(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数．

4．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.

(5)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.

(6)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则

①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

②S偶－S奇＝nd，＝.

(7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.

(8)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则

①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.                (　　)

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.  (　　)

(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、教材习题衍生

1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　)

A．　　 　B．　　 　C．2　　 　D．－

A　[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，

又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故选A．]

2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)

A．31    B．32    C．33    D．34

B　[设数列{an}的公差为d，

法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，

又a6＝2，

∴S8＝＝

＝＝32.

法二：由得

∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]

3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为        ．

487　[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.]

4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为        ．

820　[设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820.]

考点一　等差数列基本量的运算            

1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)

A．an＝2n－5   B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n   D．Sn＝n2－2n

A　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

由题知，

解得∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选A．]

2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)

A．－12    B．－10    C．10    D．12

B　[设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，

得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，

故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．]

3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　)

A．23    B．32    C．35    D．38

C　[由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝35，故选C．]

点评：涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项a1和公差d的等量关系．

考点二　等差数列的判定与证明               

　等差数列的判定与证明的方法

[典例1]　若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，

因为Sn≠0，所以－＝2，

又＝＝2，

故是首项为2，公差为2的等差数列．

(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝.

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.

当n＝1时，a1＝不适合上式．

故an＝

点评：证明成等差数列的关键是－为与n无关的常数，同时注意求数列{an}的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n＝1的情形．

已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.

(1)求a2，a3；

(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．

[解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4，

则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.

由2a3－3a2＝12，

得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.

(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，

得＝2，即－＝2，

所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．

则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.

考点三　等差数列性质的应用             

　等差数列项的性质

[典例2－1]　(1)已知数列{an}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝(　　)

A．84    B．70    C．49    D．42

(2)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2·2·…·2)＝(　　)

A．10    B．20    C．40    D．2＋log25

(3)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)

A．0    B．37    C．100    D．－37

(1)D　(2)B　(3)C　[(1)因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝＝7(a6＋a9)＝42.故选D．

(2)log2(2·2·…·2)＝log22＋log22＋…＋log22＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.

故选B．

(3)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.]

点评：一般地am＋an≠am＋n，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.

　等差数列前n项和的性质

[典例2－2]　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)

A．35    B．42    C．49    D．63

(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 021＝        .

(1)B　(2)4 042　[(1)由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，

即7,14，S15－21成等差数列，

∴S15－21＋7＝28，

∴S15＝42，故选B．

(2)由等差数列的性质可得也为等差数列，

设其公差为d，则－＝6d＝6，

∴d＝1，

∴＝＋2 020d＝－2 018＋2 020＝2，

∴S2 021＝4 042.]

点评：本例(2)，也可以根据条件先求出a1，d，再求结果，但运算量大，易出错．

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)

A．39    B．20    C．19    D．10

B　[数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，

则m＝20.故选B．]

2．等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　)

A．20    B．22    C．24    D．8

C　[因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，

所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.]

3．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，

∴＋＝＝＝＝＝＝.故选C．]

考点四　等差数列的前n项和及其最值       

[典例3]　等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)

A．5    B．6     C．7    D．8

C　[法一：(邻项变号法)由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．

法二：(函数法)由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．

法三：(图象法)根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．]

[母题变迁]

将本例中“a1＝13，S3＝S11”改为“a1＝20，S10＝S15”，则Sn最大时，n为何值？

[解]　因为a1＝20，S10＝S15，

所以10×20＋d＝15×20＋d，

所以d＝－.

法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0.

即当n≤12时，an>0，当n≥14时，an<0.

所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值．

法二：Sn＝20n＋·

＝－n2＋n

＝－＋.

因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值．

法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.

所以5a13＝0，即a13＝0.

所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值．

点评：本例用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图象及性质给予解答，三种方法各有优点，灵活运用是解答此类问题的关键．

1．设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为(　　)

A．5    B．6    C．5或6    D．11

C　[由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．]

2．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

[解]　(1)∵{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．

∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，

∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2，

∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2n－2＝2n－12.

(2)法一：(函数法)由a1＝－10，d＝2，

得Sn＝－10n＋×2＝n2－11n＝－，

∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值－30.

法二：(邻项变号法)由(1)知，an＝2n－12.

所以，当n≥7时，an＞0；当n≤6时，an≤0.

所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.