高考数学一轮复习第6章第1课时数列的概念与简单表示法学案

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第1课时 数列的概念与简单表示法
[考试要求]
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3．数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项 an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
(2)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
4．数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n=1， Sn-Sn-1，n≥2.
提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
[常用结论]
在数列{an}中，若an最大，则an≥an-1，an≥an+1； 若an最小，则an≤an-1，an≤an+1.

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同数列．( )
(2)数列0，2，4，6，8，…可记作{2n}．( )
(3)任何一个数列都有唯一的通项公式．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )
A．an＝±1n B．an＝(－1)n·1n
C．an＝(－1)n+1·1n D．an＝1n
B [由a1＝－1，代入检验可知选B.]
2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1an，则a5＝( )
A．2 B．32
C．53 D．85
D [由题意得，令n＝1，可得a2＝1＋1a1＝2；
令n＝2，可得a3＝1＋1a2＝1＋12＝32；
令n＝3，可得a4＝1＋1a3＝1＋132＝53；
令n＝4，可得a5＝1＋1a4＝1＋153＝85.
故选D.]
3．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
2，n=1， 2n-1，n≥2，n∈N* [当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.
显然当n＝1时，不满足上式，
故an＝2，n=1， 2n-1，n≥2，n∈N*.]
4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________．
n2 [由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形数量减少1个，直至减少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1，
所以an＝n＋2·1+n-1n-12＝n2.]
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
[典例1] (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
(1)4n－5 (2)2，n=1， 2n-1n，n≥2，n∈N* [(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)当n＝1时， a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②
由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝2n-1n(n≥2，n∈N*)．
显然当n＝1时不满足上式，∴an＝2，n=1， 2n-1n，n≥2，n∈N*.]
【教师备选题】
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足lg2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________．
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1(n≥2)，则Sn＝________，an＝________．
(1)3，n=1， 2n，n≥2，n∈N* (2)1n 1，n=1，-1nn-1，n≥2 [(1)由题意知Sn＋1＝2n+1，所以Sn＝2n+1－1.当n＝1时，a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
因为a1＝3不满足此等式，所以an＝3，n=1， 2n，n≥2，n∈N*.
(2)依题意得Sn－1－Sn＝Sn－1·Sn(n≥2)，整理得1Sn-1Sn-1＝1，又1S1＝1a1＝1，则数列1Sn是以1为首项，1为公差的等差数列，因此1Sn＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝1n.
∴当n≥2时，an＝－Sn·Sn－1＝－1nn-1.
又当n＝1时，a1＝1，
∴an＝1，n=1， -1nn-1，n≥2.]
已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1.
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.
[跟进训练]
1．(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是( )
A．an＝1nn-1 B．an＝-1，n=1，1nn-1，n≥2
C．Sn＝－1n D．数列1Sn是等差数列
(2)已知数列{an}，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
(1)BCD (2)－2n-1 [(1)∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得1Sn+1-1Sn＝－1.
∴1Sn是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
即1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－1n+1n-1＝1nn-1，
又a1＝－1不适合上式，∴an＝-1，n=1，1nn-1，n≥2.故选BCD.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列．
∴an＝a1·qn-1＝－2n-1.]
考点二 由数列的递推关系求通项公式
累加法
[典例2] 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
an＝n2+n2 [由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝n-12+n2＝n2+n-22.
∵a1＝1，∴an＝n2+n2(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2+n2.]
累乘法
[典例3] 在数列{an}中，a1＝1，an＝n-1nan－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
an＝1n [∵an＝n-1nan－1(n≥2)，
∴an－1＝n-2n-1an－2，an－2＝n-3n-2an－3，…，a2＝12a1.
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1·12·23·…·n-1n＝a1n＝1n.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，
∴an＝1n.]
构造法
[典例4] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
an＝2·3n-1－1 [∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an+1+1an+1＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，
∴an＝2·3n-1－1.]
取倒数法
[典例5] 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2anan+2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
2n [∵an＋1＝2anan+2，a1＝2，∴an≠0，
∴1an+1＝1an+12，即1an+1-1an＝12，
又a1＝2，则1a1＝12，
∴1an是以12为首项，12为公差的等差数列．
∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2，∴an＝2n.]
由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[跟进训练]
2．(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．
(1)4－1n (2)2n2-n+22 (3)n-12·2n [(1)∵an＋1－an＝1nn+1＝1n-1n+1，
∴当n≥2时，an－an－1＝1n-1-1n，
an－1－an－2＝1n-2-1n-1，
…，
a2－a1＝1－12，
∴以上各式相加得，an－a1＝1－1n，又a1＝3，
∴an＝4－1n(n≥2)，a1＝3适合上式，∴an＝4－1n.
(2)∵an+1an＝2n，
∴当n≥2时，anan-1＝2n-1，an-1an-2＝2n-2，
…，
a3a2＝22，a2a1＝2，
∴an＝anan-1·an-1an-2·…·a3a2·a2a1·a1
＝2n-1·2n-2·…·22·2·2
＝21+2+3+…＋(n-1)·2
＝2(n-1)·n2+1=2n2-n+22，
又a1＝2满足上式，
∴an＝2n2-n+22．
(3)∵an＋1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1，
得an+12n+1＝an2n＋1.
又a1＝1，
∴an2n是首项为12，公差为1的等差数列，
∴an2n＝12＋(n－1)×1＝n－12，
即an＝n-12·2n.]
考点三 数列的函数特性
数列的周期性
[典例6] (2022·广东汕头三模)已知数列{an}中，a1＝－14，当n>1时，an＝1－1an-1，则a2 022＝( )
A．－14 B．45
C．5 D．－45
B [由题意得a2＝1－1a1＝5，a3＝1－1a2＝45，a4＝1－1a3＝－14，
则数列an的周期为3，则a2 022＝a674×3＝a3＝45.故选B.]
数列的单调性
[典例7] 已知数列{an}的通项公式为an＝3n+k2n，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
D [因为an＋1－an＝3n+3+k2n+1-3n+k2n
＝3-3n-k2n+1，由数列{an}为递减数列知，
对任意n∈N*，an＋1－an＝3-3n-k2n+13－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．]
数列的最值
[典例8] 已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·1011n，则数列{an}的最大项为( )
A．a8或a9 B．a9或a10
C．a10或a11 D．a11或a12
B [结合f(x)＝(x＋1)1011x的单调性，
设数列{an}的最大项为an，所以an≥an+1，an≥an-1，
所以(n+1)·1011n≥(n+2)·1011n+1，n+1·1011n≥n·1011n-1，
解不等式组可得9≤n≤10.
所以数列{an}的最大项为a9或a10.]
【教师备选题】
若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．
2n－11(n∈N*) 3 [∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝114，但n∈N*，
∴当n＝3时，f(n)取最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]
1．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性判断．
(2)利用不等式组an≥an-1an≥an+1或an≤an-1an≤an+1求出n的值，进而求得an的最值．
[跟进训练]
3．(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1+an1-an，则a2 023的值为( )
A．2 B．－3
C．－12 D．13
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ0，
∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，
即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
于是有λ0，错误；
对于C，由anan+1＝an＋1－1且n∈N*可知，
当1