高考数学一轮复习第3章第3课时函数的极值与最大(小)值学案

这是一份高考数学一轮复习第3章第3课时函数的极值与最大(小)值学案，共22页。

2．会用导数求函数的极大值、极小值.
3．会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
提醒：对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[常用结论]
若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值不一定比极小值大．( )
(2)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( )
(3)函数的极大值一定是函数的最大值．( )
(4)函数在某区间上的极大值是唯一的．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4) ×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编) f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f(x)在x＝－1左减右增，f(x)在x＝－1处取得极小值．故选A.]
2．(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极大值是( )
A．1e B．2e
C．e D．e2
C [f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f′(x)＝0，得x＝e.当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0．所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.]
3．(人教A版选择性必修第二册P104T9改编)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( )
A．4 B．2或6
C．2 D．6
C [函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2.
由题意知，f(x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6.
又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正．当c＝2时，f(x)＝x(x－2)2的导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，即在x＝2处有极小值．而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值．故c＝2.]
4．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
4 [f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.]
考点一 利用导数研究函数的极值
根据函数的图象判断函数的极值
[典例1] (多选)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则( )
A．函数f(x)有极大值f(2)
B．函数f(x)有极大值f(－2)
C．函数f(x)有极小值f(－2)
D．函数f(x)有极小值f(2)
BD [由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0．由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]
求已知函数的极值
[典例2] 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝12时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
[解] (1)当a＝12时，f(x)＝ln x－12x，定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1x-12＝2-x2x.
令f′(x)＝0，解得x＝2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1-axx.
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；
当a>0，x∈0，1a时，f′(x)>0，
当x∈1a，+∞时，f′(x)<0，
故函数f(x)在x＝1a处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；
当a>0时，函数f(x)有一个极大值点，且为x＝1a.
已知函数的极值(点)求参数
[典例3] (1)(易错题)(2023·广雅中学模拟)若x＝1是函数f(x)＝13x3＋(a＋1)x2－a2+a-3x的极值点，则a的值为( )
A．－2 B．3
C．－2或3 D．－3或2
(2)设函数g(x)＝ln x－mx＋mx，若g(x)存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围．
(1)B [fx＝13x3＋a+1x2－a2+a-3x⇒f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－a2+a-3，由题意可知，f′(1)＝0⇒f′1＝1＋2a+1-a2+a-3＝0⇒a＝3或a＝－2.
当a＝3时，f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－a2+a-3＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)，
当x>1或x<－9时，f′(x)>0，函数单调递增；当－9当a＝－2时，f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－a2+a-3＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函数是R上的增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.]
(2)[解] ∵g(x)＝ln x－mx＋mx，x＞0，
∴g′(x)＝1x－m－mx2＝x-mx2-mx2＝－mx2-x+mx2，令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，
则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.
∵12m＞0，∴h(0)＝m＞0，
故只需满足h0＞0，12m＞0，h12m＜0，即可，解得0＜m＜12.
故m的取值范围为0，12.
【教师备选题】
函数f(x)＝ln x＋12x2－ax(x>0)在12，3上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．52，103 B．52，103
C．52，103 D．2，103
B [∵f(x)＝ln x＋12x2－ax(x>0)，
∴f′(x)＝1x＋x－a，
∵函数f(x)＝ln x＋12x2－ax(x>0)在12，3上有且仅有一个极值点，∴y＝f′(x)在12，3上只有一个变号零点．
令f′(x)＝1x＋x－a＝0，得a＝1x＋x.
设g(x)＝1x＋x，则g(x)在12，1上单调递减，在[1，3]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝2，又g12＝52，g(3)＝103，
∴当52≤a<103时，y＝f′(x)在12，3上只有一个变号零点．
∴实数a的取值范围为52，103.]
与函数极值相关的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f′(x)．
③解方程f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有根．
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
[跟进训练]
1．(1)已知x＝2是f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为________．
(2)设函数f(x)＝exx－a(x－1)，其中a∈R.若函数f(x)在(－2，－1)上有极大值，求实数a的取值范围．
(1)18 [函数f(x)＝x3－3ax＋2的导数f′(x)＝3x2－3a，
由题意得，f′(2)＝0，即12－3a＝0，解得a＝4.
∴f(x)＝x3－12x＋2，∴f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，由f′(x)＞0，得x＞2或x＜－2，即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增；
由f′(x)＜0，得－2＜x＜2，函数f(x)在(－2，2)上单调递减；
故f(x)在x＝2处取极小值，x＝－2处取极大值，
且f(－2)＝－8＋24＋2＝18.即f(x)极大值＝18.]
(2)[解] f′(x)＝exx-1x2－a，令g(x)＝exx-1x2－a，则g′(x)＝exx2-2x+2x3.因为对于∀x∈(－2，－1)，g′(x)＝exx-12+1x3<0恒成立，所以g(x)在(－2，－1)上单调递减．即f′(x)在(－2，－1)上单调递减，因为f(x)在(－2，－1)上有极大值，所以y＝f′(x)在(－2，－1)上存在“左正右负”变号零点．由零点存在定理只需f'-2>0，f'-1<0，即-34e2-a>0，-2e-a<0， 所以－2e考点二 利用导数研究函数的最值
[典例4] 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
[解] (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋1x＝1-xx，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋1x，x∈(0，e]，1x∈1e，+∞.
①若a≥－1e，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
②若a<－1e，令f′(x)>0得a＋1x>0，结合x∈(0，e]，解得0令f′(x)<0得a＋1x<0，结合x∈(0，e]，解得－1a从而f(x)在0，-1a上单调递增，在-1a，e上单调递减，
∴f(x)max＝f-1a＝－1＋ln -1a.
令－1＋ln -1a＝－3，即a＝－e2.
∵－e2<－1e，∴a＝－e2.
【教师备选题】
已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0＜a＜3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3.
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪a3，+∞时，f′(x)＞0，
当x∈0，a3时，f′(x)＜0，
故f(x)在(－∞，0)，a3，+∞上单调递增，在0，a3上单调递减；
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a＜0，则当x∈-∞，a3∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
当x∈a3，0时，f′(x)＜0，
故f(x)在-∞，a3，(0，＋∞)上单调递增，在a3，0上单调递减．
(2)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在0，a3上单调递减，在a3，1上单调递增，所以f(x)在[0，1]的最小值为fa3＝－a327＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.
于是m＝－a327＋2，M＝4-a，0＜a＜2，2，2≤a＜3.
所以M－m＝2-a+a327，0＜a＜2，a327，2≤a＜3.
当0＜a＜2时，可知y＝2－a＋a327单调递减，
所以M－m的取值范围是827，2；
当2≤a＜3时，y＝a327单调递增，
所以M－m的取值范围是827，1.
综上，M－m的取值范围是827，2.
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
[跟进训练]
2．(1)若函数f(x)＝2x3－ax2(a＜0)在a2，a+63上有最大值，则a的取值范围为________．
(2)(2022·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值．求实数a的值．
(1)(－∞，－4] [令f′(x)＝2x(3x－a)＝0，解得x1＝0，x2＝a3(a＜0)，当a3＜x＜0时，f′(x)＜0；当x＜a3或x＞0时，f′(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为-∞，a3，(0，＋∞)，单调递减区间为a3，0，从而f(x)在x＝a3处取得极大值fa3＝－a327，令f(x)＝－a327，得x-a32·2x+a3＝0，解得x＝a3或x＝－a6，又f(x)在a2，a+63上有最大值，所以a3＜a+63≤－a6，解得a≤－4.]
(2)[解] f(x)＝ex－ax的定义域为R，而f′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f′(x)＞0，此时f(x)无最小值，故a＞0.
当x＜ln a时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
当x＞ln a时，f′(x)＞0，故f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(ln a)＝a－a ln a.
g(x)＝ax－ln x的定义域为(0，＋∞)，而g′(x)＝a－1x＝ax-1x.
当0＜x＜1a时，g′(x)＜0，故g(x)在0，1a上单调递减，
当x＞1a时，g′(x)＞0，故g(x)在1a，+∞上单调递增，
故g(x)min＝g1a＝1－ln 1a.
因为f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值，
故1－ln 1a＝a－a ln a，整理得到a-11+a＝ln a，其中a＞0，
设m(a)＝a-11+a－ln a，a＞0，则m′(a)＝21+a2-1a＝-a2-1a1+a2＜0，
故m(a)在(0，＋∞)上单调递减，而m(1)＝0，
故m(a)＝0的唯一解为a＝1，故a-11+a＝ln a的解为a＝1.
综上，a＝1．
课时分层作业(十七) 函数的极值与最大(小)值
一、选择题
1．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋bx取得最大值－2，则f′(2)＝( )
A．－1 B．－12
C．12 D．1
B [因为函数fx定义域为0，+∞，所以依题可知，f1＝－2，f′1＝0，而f′x＝ax-bx2，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′x＝－2x+2x2，因此函数fx在0，1上单调递增，在1，+∞上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意，即有f′2＝－1＋12＝－12.
故选B.]
2．(2022·全国乙卷)函数fx＝cs x＋x+1sin x＋1在区间0，2π的最小值、最大值分别为( )
A．－π2，π2 B．－3π2，π2
C．－π2，π2＋2 D．－3π2，π2＋2
D [f′x＝－sin x＋sin x＋x+1cs x＝x+1cs x，
所以fx在区间0，π2和3π2，2π上f′x>0，即fx单调递增；
在区间π2，3π2上f′x<0，即fx单调递减．
又f0＝f2π＝2，fπ2＝π2＋2，f3π2＝－3π2，
所以fx在区间0，2π上的最小值为－3π2，最大值为π2＋2.
故选D.]
3．已知函数fx＝13x3－12ax2＋x在区间12，3上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是( )
A．2，+∞ B．2，+∞
C．2，52 D．2，103
C [函数fx＝13x3－12ax2＋x，导函数f′x＝x2－ax＋1．因为fx在12，3上既有极大值又有极小值，所以f′x＝0在12，3内应有两个不同的实数根．
f'12>0，f'3>0，12实数a的取值范围为2，52.
故选C.]
4．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，则a，b的值为( )
A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2
C．a＝2，b＝3 D．以上都不对
C [函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
因为a>0，所以由f′(x)<0，得0由f′(x)>0，得x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，
即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，
则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，
f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，
则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，
计算得出a＝2，b＝3.]
5．(多选)已知函数f(x)＝13x3－4x＋2，下列说法中正确的有( )
A．函数f(x)的极大值为223，极小值为－103
B．当x∈[3，4]时，f(x)的最大值为223，最小值为－103
C．函数f(x)的单调递减区间为[－2，2]
D．曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝－4x＋2
ACD [f(x)的定义域为R，f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，得x＝－2或2，所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，故C正确．f(x)极大值＝f(－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋2＝223，f(x)极小值＝f(2)＝83－8＋2＝－103，故A正确．因为f(3)＝－1，f(4)＝223，所以当x∈[3，4]时，f(x)的最大值为223，最小值为－1，故B不正确．因为f′(0)＝－4，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y－2＝－4(x－0)，即y＝－4x＋2，故D正确．]
6．(多选)对于函数f(x)＝lnxx，下列说法正确的有( )
A．f(x)在x＝e处取得极大值1e
B．f(x)有两个不同的零点
C．f(2)＜f(π)＜f(3)
D．若f(x)＜k－1x在(0，＋∞)上恒成立，则k＞1
ACD [f′(x)＝1-lnxx2，x＞0．令f′(x)＝0，得x＝e，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x＞e时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数，则当x＝e时，函数取得极大值，且极大值为f(e)＝1e，故A正确；由f(x)＝0，得ln x＝0，得x＝1，即函数f(x)只有一个零点，故B错误；因为f(4)＝ln44＝ln22＝f(2)，所以f(3)＞f(π)＞f(4)，即f(2)＜f(π)＜f(3)成立，故C正确；若f(x)＜k－1x在(0，＋∞)上恒成立，则k＞lnxx+1x.设h(x)＝lnxx+1x，x＞0，则h′(x)＝－lnxx2，当0＜x＜1时，h′(x)＞0；当x＞1时，h′(x)＜0，故当x＝1时，函数h(x)取得极大值也是最大值h(1)＝1，所以k＞1．故D正确．]
二、填空题
7．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________．
11 [f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
由题意得f'-1=0，f-1=0，
解得a=1，b=3，或a=2，b=9，
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，
∴a＝1，b＝3不符合题意，
当a＝2，b＝9时，经检验满足题意．
∴a＋b＝11.]
8．已知函数f(x)＝ln x－x，则f(x)的最大值为________．
－1 [法一：由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1＝1-xx，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在x＝1时取得极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1.
法二：由常用结论ln x≤x－1(x＝1时取等号)，可知当x＝1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)＝－1.]
9．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数c的取值范围为________．
-∞，-32∪32，+∞ [若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不相等的实根，
故Δ＝(－4c)2－12>0，
解得c>32或c<－32.
所以实数c的取值范围为-∞，-32∪32，+∞.]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ex cs x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f(x)＝ex cs x－x，
所以f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cs x－sin x)－1，
设h(x)＝ex(cs x－sin x)－1，则
h′(x)＝ex(cs x－sin x－sin x－cs x)＝－2ex sin x．
当x∈0，π2时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间0，π2上单调递减，
所以对任意x∈0，π2有h(x)＜h(0)＝0，
即f′(x)＜0，
所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减．
因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，最小值为fπ2＝－π2.
11．(链接常用结论)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解] (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，
∴蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
由题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，
∴h＝15r(300－4r2)．
从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．
由h>0，且r>0，可得0故函数V(r)的定义域为(0，53)．
(2)由(1)知V(r)＝π5(300r－4r3)，
故V′(r)＝π5(300－12r2)，
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上单调递增；
当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上单调递减．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
12．若直线x＝a(a＞0)分别与直线y＝2x＋1，曲线y＝x＋ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 D．3
B [由题可得A(a，2a＋1)，B(a，a＋ln a)，所以|AB|＝|2a＋1－(a＋ln a)|＝|a＋1－ln a|.
令f(x)＝x＋1－ln x(x＞0)，则f′(x)＝1－1x，当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值，最小值为2＞0，所以|AB|＝|a＋1－ln a|＝a＋1－ln a，其最小值为2.]
13. (多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
AC [由题意知，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＞0得x＞33或x＜－33，
令f′(x)＜0得－33＜x＜33，
所以f(x)在-33，33上单调递减，在-∞，-33，33，+∞上单调递增，
所以x＝±33是极值点，故A正确；
因f-33＝1＋2 39＞0，f33＝1－2 39＞0，f(－2)＝－5＜0，
所以函数f(x)在-∞，-33上有一个零点，
当x≥33时，f(x)≥f33＞0，即函数f(x)在33，+∞上无零点，
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，
则h(x)是奇函数，点(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；
令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，
当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，
故D错误．
故选AC.]
14．(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
1 [函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
①当x＞12时，
f(x)＝2x－1－2ln x，所以f′(x)＝2－2x＝2x-1x，当12＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
②当0＜x≤12时，f(x)＝1－2x－2ln x在0，12单调递减，
所以f(x)min＝f12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1.
综上，f(x)min＝1.]
15．已知函数f(x)＝x33-a+12x2＋ax＋1(a∈R)．
(1)若x＝2是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；
(2)当a<2时，∀x1，x2∈[0，2]，|f(x1)－f(x2)|≤23恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1) 由函数解析式知f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a，由题意，得f′(2)＝4－2(a＋1)＋a＝0，故a＝2．经检验，a＝2满足题意．
(2)由已知，当a<2时，只需x∈[0，2]，f(x)max－f(x)min≤23.f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
①当a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．所以f(x)min＝f(1)＝56+a2，而f(0)＝1，f(2)＝53，故f(x)max＝53.所以f(x)max－
f(x)min＝53-56-a2≤23，解得a≥13(舍去)．
②当0即(a+1)(a2-4a+4)≥0，a≥13， 所以13≤a<1.
③当a＝1时，f′(x)＝(x－1)2≥0，f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(0)＝23，满足题意．
④当1综上，a∈13，53.
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
ln 2－1
单调递减