高考数学一轮复习第3章第2课时导数与函数的单调性学案

这是一份高考数学一轮复习第3章第2课时导数与函数的单调性学案，共23页。
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．函数的单调性与导数的关系
2．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
[常用结论]
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P103T3改编) f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
A B C D
C [由f′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，
∴f(x)单调递增；
当x∈(0，x1)时，f′(x)0，
∴f(x)单调递增．]
2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cs x－x在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
D [因为f′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立，
所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.]
3．(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T1改编)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．
(0，1) [函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－1x＜0，得0＜x＜1，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)．]
4．(人教A版选择性必修第二册P87 例3改编)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________．
3 [f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，
又因为x∈[1，＋∞ )，所以a≤3，即a的最大值是3.]
考点一 不含参数的函数的单调性
[典例1] 已知函数f(x)＝lnx+kex(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1) 求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解] (1)由题意知f′(x)＝1x-lnx-kex(x＞0)，
又f′(1)＝1-ke＝0，所以k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝1x-lnx-1ex(x＞0)．
设h(x)＝1x－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－1x2-1x＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，
所以f′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)0，所以函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>33或x0，得00，
x∈(ln 2，a)时，g′(x)32，
∴原不等式的解集为32，+∞.]
9．若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．
(－1，＋∞) [f′(x)＝1x－ax－2＝1-ax2-2xx，由题意知f′(x)＜0有实数解，
∵x＞0，
∴ax2＋2x－1＞0有实数解．
当a≥0时，显然满足；
当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0，
∴－1＜a＜0.
综上知a＞－1.]
三、解答题
10．函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解] (1)f′(x)＝(2x＋a)e－x－(x2＋ax＋b)·e－x＝[－x2＋(2－a)x＋a－b]e－x，
∴f′(0)＝a－b，
又f(0)＝b，
∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－b＝(a－b)x，
即(a－b)x－y＋b＝0，
∴a-b=6，b=-5， 解得a=1，b=-5.
(2)∵f(x)＝(x2＋x－5)e－x，x∈R，
∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x
＝－(x＋2)(x－3)e－x，
当x3时，f′(x)