高考数学一轮复习第1章第1课时集合学案

这是一份高考数学一轮复习第1章第1课时集合学案，共19页。学案主要包含了教师备选资源，教师备选题等内容，欢迎下载使用。

第1课时 集合
[考试要求]
1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3．会求两个集合的并集、交集与补集.
4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，用符号∈表示；不属于，用符号∉表示．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)常见数集的记法
2．集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
[常用结论]
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A．
3．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
4．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1．( )
(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P13练习T1改编)已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|x>4}，则∁UA＝( )
A．{x|0C．{x|x≤0} D．{x|x≤4}
A [全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|x>4}，则∁UA＝{x|02．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是( )
A．22∉A B．8⊆A
C．{4}∈A D．{0}⊆A
[答案] AD
3．(多选)(人教A版必修第一册P13练习T3改编)图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A．B∩(A∪C) B．∁UB∩(A∪C)
C．B∩∁U(A∪C) D．(A∩B)∪(B∩C)
AD [在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，故阴影部分所表示的集合为B∩(A∪C)或(A∩B)∪(B∩C)．故选AD.]
4．(人教A版必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________．
{x|x≤2或x≥10} {x|2所以A∪B＝{x|2所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
(∁RA)∩B＝{x|2考点一 集合的概念
[典例1] (1)(2022·秦皇岛三模)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)(易错题)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
(3)(举例问题)非空有限数集S 满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S.则满足条件且含有两个元素的数集S＝________．(写出一个即可)
(1)C (2)－32 (3){0，1}(或{－1，1}) [(1)因为A＝{1，2，3}，
所以B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，1)}，B中含6个元素．故选C.
(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－32.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－32.
(3)由题意，不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，
所以a2，ab，b2 必有两个是相等的，
若a2＝b2，则a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a，
所以a＝0(舍去)或a＝1 或a＝－1，此时S＝{－1，1}；
若a2＝ab，则a＝0，此时b2＝b，故b＝1，此时S＝{0，1}，
若b2＝ab，则b＝0，此时a2＝a，故a＝1，此时S＝{0，1}，
综上，S＝{0，1}，或S＝{－1，1}．]
解决集合含义问题的注意点
一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
[跟进训练]
1．(1)已知集合A＝x∈N4x-2∈Z，则集合A中的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)若集合A＝{x|kx2＋x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k的取值集合是________．
(1)C (2)0，14 [(1)∵4x-2∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1，1，2，4，∴x的值分别为－2，0，1，3，4，6，
又x∈N，故x的值为0，1，3，4，6.
故集合A中有5个元素．
(2)依题意知，方程kx2＋x＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k＝0或k≠0， Δ=1-4k=0，
∴k＝0或k＝14，∴k的取值集合为0，14.]
考点二 集合间的基本关系
[典例2] (1)设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是( )
A．M＝P B．P∈M
C．MP D．PM
(2)设m，n∈R，集合{1，m，m＋n}＝0，n，nm，则m－n＝________．
(3)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
(1)D (2)－2 (3)[－1，＋∞) [(1)因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以PM.
(2)∵{1，m，m＋n}＝0，n，nm，且m≠0，
∴m＋n＝0，即m＝－n，于是nm＝－1.
∴由两集合相等，得m＝－1，n＝1，
∴m－n＝－2.
(3)∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，
②当B≠∅时，2m-1≤m+1，2m-1≥-3， m+1≤4， 解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]
【教师备选题】
在本例(3)中，若把B⊆A改为BA，则实数m的取值范围是________．
[－1，＋∞) [①当B＝∅时，2m－1>m＋1，∴m>2；
②当B≠∅时，2m-1≤m+1，2m-1≥-3， m+1<4， 或2m-1≤m+1， 2m-1>-3， m+1≤4，
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
[跟进训练]
2．(1)(链接常用结论1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为( )
A．4 B．6
C．7 D．8
(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________．
(1)C (2)0，±1 [(1)法一：∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且AC⊆B，∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
法二：由题意知，{1，2}C⊆{1，2，3，4，5}，
∴集合C中必有除1，2外的3，4，5中至少一个元素，故共有23－1＝7个集合C.故选C.
(2)∵M＝{－1，1}，且M∩N＝N，∴N⊆M.
若N＝∅，则a＝0；
若N≠∅，则N＝1a，
∴1a＝1或1a＝－1，∴a＝±1.
综上有a＝±1或a＝0.]
考点三 集合的基本运算
集合的运算
[典例3] (1)(2023·武汉模拟)已知全集U＝0，1，2，3，4，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁UB)∪A＝( )
A．1，3 B．2，3，4
C．0，1，2，3 D．0，2，3，4
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|x＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝( )
A．{x|0≤x＜2} B．x13≤x＜2
C．{x|3≤x＜16} D．x13≤x＜16
(1)C (2)D [(1)法一：因为全集U＝0，1，2，3，4，集合A＝1，2，3，B＝2，4，所以∁UB＝0，1，3，∁UB∪A＝0，1，2，3.故选C.
法二：依据题意画出相应关系的Venn图如图所示，
则(∁UB)∪A＝{0，1，2，3}．故选C.
(2)M＝{x|0≤x＜16}，N＝xx≥13，故M∩N＝x13≤x＜16，故选D.]
【教师备选题】
(2021·全国乙卷理)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A．∅ B．S
C．T D．Z
C [法一：在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.
法二：S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.]
利用集合的运算求参数
[典例4] (链接常用结论2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
D [集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤-a2，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图．
可知－a2≥2，即a≤－4.]
解决集合运算问题的三个注意点
(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．
(2)对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了．
(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
[跟进训练]
3．(1)(2022·北京高考)已知全集U＝{x|－3A．(－2，1] B．(－3，－2)∪[1，3)
C．[－2，1) D．(－3，－2]∪(1，3)
(2)(2023·苏州大学附中模拟)已知集合A＝{1，b}，B＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，若A∩B＝A，则b的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
(1)D (2)C [(1)易得∁UA＝(－3，－2]∪(1，3)．故选D.
(2)由x2－3x<0，解得0因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以b＝2.
故选C.]
考点四 Venn图的应用
[典例5] (1)(2022·沈阳实验中学二模)已知非空集合A，B，C满足：(A∩B)⊆C，(A∩C)⊆B，则( )
A．B＝C B．A⊆(B∪C)
C．(B∩C)⊆A D．A∩B＝A∩C
(2)(链接常用结论3)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
(1)D (2)8 [(1)因为非空集合A，B，C满足：(A∩B)⊆C，(A∩C)⊆B，作出符合题意的三个集合之间关系的Venn图，如图所示，
所以A∩B＝A∩C.故选D.
(2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．]
Venn图具有形象直观的特征，应用该特征可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算或判断集合间的关系问题．
[跟进训练]
4．(1)(2023·厦门模拟)设U＝R，已知两个非空集合P，Q满足(∁UP)∪Q＝R，则( )
A．P∩Q＝∅ B．P⊆Q
C．Q⊆P D．P∪Q＝R
(2)(2023·湖南师大附中模拟)向50名学生调查对A，B 两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B 都不赞成的学生人数比对A，B 都赞成的学生人数的三分之一多1，则对A，B 都赞成的学生人数为( )
A．18 B．19
C．20 D．21
(1)B (2)D [(1)如图所示P，Q，
满足(∁UP)∪Q＝R，即P⊆Q，故选B.
(2)记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素．
设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合∁U(A∪B)的元素个数为x3＋1，如图，
由Venn图可知，(30－x)＋(33－x)＋x＋x3+1＝50，
即14－2x3＝0，解得x＝21，
所以对A，B都赞成的学生有21人．故选D.]
课时分层作业(一) 集合
一、选择题
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4∉M D．5∉M
A [由题意知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误，故选A.]
2．(易错题)(2023·南通模拟)设集合A＝{(x，y)|2x－y＝0}，B＝{y|y＝x2－2x＋3}，则A∩B＝( )
A．1，3 B．1，2，3，6
C．yy≥2 D．∅
D [因为集合A为点集，集合B为数集，所以A∩B＝∅，故选D.]
3．(多选)(2022·武汉二模)已知集合A＝1，4，a，B＝1，2，3，若A∪B＝1，2，3，4，则a的取值可以是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
AB [因为A∪B＝1，2，3，4，所以1，4，a{1，2，3，4}，所以a＝2或a＝3.
故选AB.]
4．已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于( )
A．1 B．2
C．3 D．6
C [集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，
则所有非空真子集的元素之和为a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a1＋a2＋a3＝3.]
5．集合M＝xx=n2+1，n∈Z，N＝{y|y=m+12，m∈Z}，则两集合M，N的关系为( )
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．M⊆N D．N⊆M
D [由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋12(k∈Z)，
∴N⊆M，故选D.]
6．(2022·烟台三模)若集合A＝xx≥2，B＝xx2-2x<3，则∁RA∩B＝( )
A．x2≤x<3 B．x-1C．x2B [由x2－2x<3，即x-3x+1<0，
解得－1所以B＝{x|x2－2x<3}＝{x|－1所以∁RA＝xx<2，
所以∁RA∩B＝x-17．(多选)对于集合A，B，我们把集合{├x|x∈A┤，且x∉B叫做集合A与B的差集，记作A－B.据此，下列说法中正确的是( )
A．若A⊆B，则A－B＝∅
B．若B⊆A，则A－B＝A
C．若A∩B＝∅，则A－B＝A
D．若A∩B＝C，则A－B＝A－C
ACD [由差集的定义可知，对于选项A，若A⊆B，则A中的元素均在B中，则A－B＝∅，故选项A正确；
对于选项B，若B⊆A，则B中的元素均在A中，则A－B＝∁AB≠A，故选项B错误；
对于选项C，若A∩B＝∅，则A，B无公共元素，则A－B＝A，故选项C正确；
对于选项D，若A∩B＝C，则A－B＝∁AC＝A－C，故选项D正确．故选ACD.]
8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是( )
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．(∁UB)∪A＝A
CD [令U＝{1，2，3，4}，A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，
满足(∁UA)∪B＝B，
但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B，
∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，
由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，
∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确．]
二、填空题
9．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________．
{1，2，3，5，8，9} [由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示．
由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．]
10．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则集合B的子集有________个．
8 [∵集合A＝{1，2，3}，平面内以(x，y)为坐标的点集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}, ∴B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，∴B的子集个数为23＝8.]
11．(2023·北京师大附中模拟)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系式：(1)a≠1；(2)b＝1；(3)c≠2有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
120 [当b＝1时，a≠1显然是正确的，由题意，则b≠1；
当a≠1时，由b≠1，则c＝1，而c≠2显然正确，由题意，则a＝1；
故c≠2是正确的，易知b＝2，c＝0，
故100a＋10b＋c＝100×1＋10×2＋0＝120.]
12．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的小学生共有________人．
120 [如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A，B，C表示，则card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24，
不妨设总人数为n，Venn图中三块区域的人数分别为x，y，z，即
card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46，由Venn图可知，n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(24＋y)－(24＋z)＋24，解得n＝120.]
13. (多选)当一个非空数集F满足条件“若对任意a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，ab∈F”时，称F为一个数域．以下四个关于数域的命题中，真命题为( )
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则2 024∈
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
ABD [若a∈F，则a－a＝0∈F，A正确；
若a∈F且a≠0，则1＝aa∈F，由此2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依次类推2 024∈F，B正确；
P＝{x|x＝3k，k∈Z}，3∈P，6∈P，但36∉P，所以P不是数域，C错误；
若a，b是任意两个有理数，则a＋b，a－b，ab，ab(b≠0)都是有理数，所以有理数集是数域，D正确．故选ABD.]
14．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．
27 [不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，
当A1＝∅时，A2＝{1，2，3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，
当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，
同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，
当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．考查形式
本章在高考中一般考查1～2个小题，分值占5～10分．
2．考查内容
(1)集合主要考查集合的概念及表示、集合的基本运算．
(2)常用逻辑用语主要考查充分、必要条件的判断和全称量词与存在量词命题及其否定．
(3)不等式主要考查一元二次不等式的解法、不等式恒成立及基本不等式．
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
并集
交集
补集
图形
表示
集合
表示
A∪B＝
{x|x∈A，x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝
{x|x∈U，且x∉A}
运算
性质
A∪A＝A，
A∪∅＝A
A∩A＝A，
A∩∅＝∅
A∩(∁UA)＝∅，
A∪(∁UA)＝U