人教B版高考数学一轮总复习第1章第1节集合学案

这是一份人教B版高考数学一轮总复习第1章第1节集合学案，共12页。
课程标准命题解读1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系，能够用符号语言刻画集合．2．理解集合之间包含与相等的含义．3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能求两个集合的并集、交集及补集．4．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系．5．理解全称量词与存在量词的意义．6．理解等式和不等式的概念与性质，能用均值不等式解决简单的求最大值或最小值的问题．7．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式.考查形式：一般为一个选择题或两个选择题．考查内容：集合的概念及集合的运算、充分必要条件的判定、一元二次不等式的解法．备考策略：(1)熟练掌握集合的基本运算，以及相关不等式的解法．(2)重视基础知识的复习，熟悉在不同知识背景下对充分必要条件的判定．(3)注意对利用均值不等式求最值方法的总结和归纳．核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.第1节　集合一、教材概念·结论·性质重现1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、维恩图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言维恩图子集集合A中的任意一个元素都是集合B的元素A⊆B(或B⊇A)真子集　集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB(或BA)集合相等组成集合A与组成集合B的元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B与子集有关的性质(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.3．集合的基本运算运算自然语言符号语言维恩图交集给定两个集合A，B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}并集给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}补集如果集合A是全集U的一个子集，则由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝∅∪A＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅∩A＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或1.( × )(3)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( × )(4)含有n个元素的集合有2n个真子集．( √ )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )(6)若a属于集合A，则可用符号表示为a⊆A.( × )2．(2020·潍坊市高三上期中)已知U＝{2,4,6,8,10}，A＝{4,6,8}，B＝{6,10}，则下列结论正确的是(　　)A．B⊆A B．A∪B＝{6}C．A∩B＝{4,8,10} D．∁UA＝{2,10}D　解析：由于A，B没有包含关系，故A错；A∪B＝{4,6,8,10}，A∩B＝{6}，故B，C错；∁UA＝{2,10}，故D正确．3．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD　解析：因为2不是自然数，所以a∉A.4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝(　　)A．[－1,4] B．(0,3]C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪[1,4]A　解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．5．若{x|ax＋1＝0}⊆{x|x2－1＝0}，则实数a的值为________．0或－1或1　解析：{x|x2－1＝0}＝{－1,1}．当a＝0时，{x|ax＋1＝0}＝∅，满足{x|ax＋1＝0}⊆{x|x2－1＝0}．当a≠0时，{x|ax＋1＝0}＝.由题意知，－＝1或－1，此时a＝－1或1.综上所述，a的值为0或－1或1.考点1　集合的概念——基础性1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)A．   B．  C．0 D．0或D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.故选D.2．(2020·长沙市长郡中学高三)集合中含有的元素个数为(　　)A．4 B．6C．8 D．12B　解析：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，所以集合中的元素为1,2,3,4,6,12.故选B.3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)A．1 B．－1  C．2 D．－2C　解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.4．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}．若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．(5,6]　解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为(5,6]．与集合中的元素有关问题的求解思路(1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集．(2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性．考点2　集合的基本关系——综合性(1)设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　)(2)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．(1)A　解析：因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A.(2)(－∞，1]　解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m>0时，A＝{x|－1<x<3}，若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0<m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．1．若本例(1)中M不变，则满足NM的集合N的个数为(　　)A．2　　　 B．3　　　C．7　　　 D．8C　解析：因为M＝{0,1,2}，NM，所以N＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，∅，共7个．2．若本例(2)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．[3，＋∞)　解析：若A⊆B，由得m≥3，所以m的取值范围为[3，＋∞)．1．判断两集合关系的方法(1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需对表达式变形、化简，再寻求两个集合间的关系．2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到．1．(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝(　　)A．∅ B．M  C．N D．RB　解析：因为∁RM⊆N，所以M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.2．(2020·哈尔滨市高三调研)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为(　　)A．4 B．3  C．2 D．1A　解析：由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况．故选A.3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．[－2,2)　解析：若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意．若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．考点3　集合的运算——应用性考向1　集合的运算(1)(2020·泰安一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是(　　)A．[－1,1]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)D．(－3，－1)D　解析：阴影部分表示M∩∁UN.由U＝R，N＝{x||x|≤1}，可得∁UN＝{x|x<－1或x>1}．又M＝{x|－3<x<1}，所以M∩∁UN＝{x|－3<x<－1}．故选D.(2)若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(∁RA)∪B＝________.　[0，＋∞)　解析：因为A＝{x＝，所以∁RA＝.又B＝{y|y≥2}，所以A∩B＝，(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为(　　)A．{3}　　　　　　　　　　 B．{7}C．{3,7}　　　　　　　　　 D．{1,3,5}B　解析：由题图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由并集的概念知，A∪B＝{1,3,5}．又U＝{1,3,5,7}，于是∁U(A∪B)＝{7}．故选B.集合基本运算的方法技巧考向2　集合运算的应用(1)(2020·岳阳市高三质量检测)已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则实数a的值不可以为(　　)A．2  　　 B．1  　　C．0  　　 D．－2A　解析：因为A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}且A∪B＝R，所以a≤1, 所以a的值不可以为2.故选A.(2)(2020·南昌适应性测试)已知集合M＝{x|0<x<5}，N＝{x|m<x<6}．若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于(　　)A．9  　　 B．8  　　C．7  　　 D．6B　解析：因为M∩N＝{x|0<x<5}∩{x|m<x<6}＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝5.因此m＋n＝8.故选B.根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．设集合A＝{x∈N|5－x≥0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则∁AB＝(　　)A．{0,3,4} B．{0,3,4,5}C．{3,4} D．{3,4,5}B　解析：因为集合A＝{x∈N|5－x≥0}＝{x∈N|x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，所以∁AB＝{0,3,4,5}．故选B.2．(2021·潍坊一中月考)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，则A∩(∁RB)＝(　　)A．(2,4) B．(－2,4)  C．(－2,2) D．(－2,2]D　解析：B＝{x|y＝lg(x－2)}＝{x|x>2}，所以∁RB＝{x|x≤2}．所以A∩(∁RB)＝{x|－2<x≤2}＝(－2,2]．故选D.3．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．2 B．3  C．4 D．6C　解析：由题意，A∩B中的元素满足且x，y∈N*.由x＋y＝8≥2x，得x≤4，所以满足x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.4．(多选题)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则(　　)A．M∩N＝N B．M∩(∁UN)≠∅C．M∪N＝U D．M⊆∁UNAB　解析：由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又∁UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁UN)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M⃘(∁UN)．故选AB.全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，则集合A＝________，B＝________.[四字程序]读想算思求集合A，B解有限集问题常用什么方法？集合间的运算转化与化归集合A，B为有限集，且与已知全集U及集合间的运算关系有限集问题可利用维恩图法或集合运算含义求解1.利用维恩图表示集合；2．利用集合的运算求解1.维恩图；2．集合的交、并、补运算思路参考：将集合用维恩图表示出来，进行观察，写出集合A，B.{1,3,9}　{2,3,5,8}　解析：根据题意作出维恩图，如图所示，由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．思路参考：直接根据集合运算的含义分析求解．{1,3,9}　{2,3,5,8}　解析：因为(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，所以∁UB＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以B＝{2,3,5,8}．因为(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，所以A＝{1,3,9}．1．有限集的混合运算涉及交、并、补及其关系问题，常用维恩图法处理．2．涉及有交叉集合的元素个数问题往往用维恩图法处理较为方便．3．基于新课程标准，对于集合问题，要熟练掌握基本概念，数学阅读技能、推理能力和表达能力，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学素养．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)A．17 B．18  C．19 D．20B　解析：记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩∁UB(如图)，有18人．