高考数学一轮复习课时分层作业51双曲线含答案

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1．A [双曲线离心率e＝ca＝2，故c＝2a，b＝3a，将点(2，3)代入双曲线方程，得2a2-33a2＝1a2＝1，故a＝1，b＝3，故双曲线方程为x2－y23＝1.]
2．A [由3|PF1|＝5|PF2|，可得|PF1|＝53|PF2|.
又P是双曲线x24-y212＝1上的一点，则
|PF1|－|PF2|＝23|PF2|＝4，则|PF2|＝6，|PF1|＝10，
又|F1F2|＝8，则|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，则PF2⊥F1F2.
则△PF1F2的面积等于12|PF2|·|F1F2|＝12×6×8＝24.故选A.]
3．D [由题意可知，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，
P(1，2)在一条渐近线上，所以ba＝2，进而可得c＝5a，
由|PF|＝b，可得1-c2+22＝b.
∴(1－c)2＋4＝b2，∴1＋c2－2c＋4＝b2＝45c2，
∴c2－10c＋25＝0，解得c＝5，∴2c＝10.
故选D.]
4．D [设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，知
B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1＝y22-y12x22-x12.
因为点A，P在双曲线上，
所以x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，
得x22-x12a2＝y22-y12b2，所以b2a2＝y22-y12x22-x12.
所以kPA·kPB＝b2a2＝43，所以e2＝a2+b2a2＝73，所以e＝213.故选D.]
5．CD [双曲线C：y23－x2＝1的焦点在y轴上，a＝3，b＝1，c＝a2+b2＝2.
对于A选项，PF1-PF2＝2a＝23，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±abx＝±3x，故B错误；
对于C选项，e＝ca＝23＝233，故C正确；
对于D选项，设Px，y，则PO＝x2+y2＝x2+3x2+3＝3+4x2≥3(x＝0时取等号)，
因为O为F1F2的中点，所以PF1+PF2＝2PO＝2PO≥23，故D正确．
故选CD.]
6．ACD [对于选项A，因为m＞n＞0，所以0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m+y21n＝1，所以该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，因为m＝n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，因为mn＜0，所以该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± -mnx，正确；对于选项D，因为m＝0，n＞0，所以方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.]
7． 33 [双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，
依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝2m1+m2＝1，
解得m＝33或m＝－33(舍去)．]
8．y＝2x－1或y＝x＋1－2或y＝－x＋1＋2(只需答其中之一即可) [显然直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－2)，
代入双曲线方程得(1－k2)x2－2k(1－2k)x－2＋22k－2k2＝0，
当1－k2＝0，k＝±1，此时直线方程为y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，
即y＝x＋1－2，或y＝－x＋1＋2，
当1－k2≠0时，Δ＝4k2(1－2k)2－4(1－k2)(－2＋22k－2k2)＝0，所以k1＝k2＝2，
此时直线方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－1.]
9．2+2 [由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝± a2b2b2-a2，所以2·a2b2b2-a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2+2.]
10．[解] (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵MF1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×2ch，∴h＝255.
即M点到x轴的距离为255.
(2)设双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ＝1(－40，④
∴x1＋x2＝10km4-5k2，x1x2＝－5m2+204-5k2，
∴x0＝x1+x22＝5km4-5k2，y0＝kx0＋m＝4m4-5k2.
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0，2)，
∴kAD＝y0-2x0＝4m4-5k2-25km4-5k2＝－1k，
化简得10k2＝8－9m，⑤
由④⑤，得m0.
由10k2＝8－9m>0，得m