重庆市渝北实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份重庆市渝北实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+2y﹣1＝0B．3x2﹣2x+1＝0
C．D．2x+1＝0
2．抛物线y＝3（x﹣7）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（7，5）B．（7，﹣5）C．（﹣7，5）D．（﹣7，﹣5）
3．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．将抛物线y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝（x+2）2+2
C．y＝2（x﹣2）2+2D．y＝2（x+2）2﹣4
5．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
6．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转115°后能与△AB1C1重合，若∠C＝90°，且点C、A、B1在同一条直线上，则∠BAC1等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．已知等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．3B．4C．7D．3或4
8．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a≠0且b≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm≤a+b．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．有两个整数x，y，把整数对（x，y）进行操作后可得到（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x）中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对（2，32）按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ）
①若m次操作后得到的整数对仍然为（2，32），则m的最小值为2；
②三次操作后得到的整数对可能为（2，﹣30）；
③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是（﹣3，18）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空：（每小题4分，共32分）
11．已知方程x2+mx﹣5＝0的一个根是1，则m的值为 ．
12．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
13．在平面直角坐标系中，点（﹣5，b）关于原点对称的点为（a，6），则a+b＝ ．
14．把一元二次方程x（x+1）＝4（x﹣1）+2化为一般形式为 ．
15．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ．
16．设A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣3x+2上三点，则y1，y2，y3的大小关系是 （用＜号连接）．
17．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为 ．
18．一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′．把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝23时，．对于两位正整数s与t，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1≤b＜a≤9，1≤x，y≤9，且a，b，x，y为整数）．若F（s）能被7整除，则a﹣b的值为 ，在此条件下，若F（s）+81ky＝kF（t），其中k为整数，则此时s与t乘积的最大值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19．计算：
（1）x（2﹣x）+（x+3）（x﹣3）；
（2）（1﹣）．
20．解方程：
（1）2x2﹣6x＝0；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0．
21．如图平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E．
（1）请用尺规作∠BCD的角平分线CF，交AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）的作图，证明：AE∥CF．请在答题卡上完成相应编号的填空．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ECF＝① （两直线平行，内错角相等），
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF＝② ，∠ECF＝③ ，
∴∠EAF＝∠ECF＝∠CFB，
∴AE∥CF ④ （填推理的依据）．
22．今年入春以来，我国北方很多地区都经历了多次强烈沙尘天气，但是川渝地区却没有这个困扰，因为秦岭凭借“一己之力”阻挡沙尘暴南下，那么，秦岭是如何挡住风沙的？NK中学的同学通过开展秦岭知识问答活动普及相关知识．现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理，描述和分析，将学生活动成绩分为A、B、C、D四个等级：A．x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100，下面给出了部分信息：
抽取的20名八年级学生的成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
抽取的九年级等级C的学生成绩为：88，83，84，81，87，85，89．
抽取的八，九年级学生活动成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识问答活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若八，九年级共有1200名学生参加活动，请估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求线段AC的长度；
（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
24．在△ABC中，F为AB边上一点，连接CF，D为CF上一点，连接BD，∠BDC＝120°
（1）如图1，延长BD交AC于点G，若CF平分∠ACB，BD平分∠ABC，AF＝5.1，AG＝4.8，BC＝10，求△ABC的周长；
（2）如图2，连接AD，若∠BAD＝60°，BD＝CD，E为AC中点，连接DE，请猜想线段AB，AD，DE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，当∠ADB＝90°时，点N是直线BD上一动点，连接AN，将△ADN沿着AN翻折得△AMN，连接BM，G为BM的中点，连接GN，当点G到BC的距离最小时，直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+2y﹣1＝0B．3x2﹣2x+1＝0
C．D．2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
解：A项，3x2+2xy﹣1＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本项不符合题意；
B项，3x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程，故本项符合题意；
C项，，不是整式方程，即不是一元二次方程，故本项不符合题意；
D项，2x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2是解题关键．
2．抛物线y＝3（x﹣7）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（7，5）B．（7，﹣5）C．（﹣7，5）D．（﹣7，﹣5）
【分析】根据顶点式解析式即可解答．
解：抛物线y＝3（x﹣7）2+5的顶点坐标是（7，5），
故选：A．
【点评】此题考查了顶点式解析式的组成特点：y＝a（x﹣h）2+k中顶点坐标为（h，k）．
3．下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．将抛物线y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝（x+2）2+2
C．y＝2（x﹣2）2+2D．y＝2（x+2）2﹣4
【分析】根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行解答即可．
解：将抛物线y＝2x2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为y＝2（x﹣2）2+2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
5．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【分析】根据一元二次方程的解的意义可得2a2＝6a﹣4，从而可得a2﹣3a＝﹣2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，
∴2a2＝6a﹣4，
∴2a2﹣6a＝﹣4，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转115°后能与△AB1C1重合，若∠C＝90°，且点C、A、B1在同一条直线上，则∠BAC1等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】由旋转的性质可得∠BAB1＝∠CAC1＝115°，即可求解．
解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转115°后能与△AB1C1重合，
∴∠BAB1＝∠CAC1＝115°，
∴∠BAC1＝∠BAB1+∠CAC1﹣180°＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7．已知等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．3B．4C．7D．3或4
【分析】先把方程化为（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得x1＝3，x2＝4，再根据等腰三角形的定义可得答案．
解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∴等腰三角形的两边长分别3或4；
∴该等腰三角形的底边长为3或4；
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．
8．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a≠0且b≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+b的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0且对称轴为y轴，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm≤a+b．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
解：①∵对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③由图象得，与抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
故③正确；
④∵点A（m，n）在该抛物线上，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm≤a+b，
故④正确；
其中正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．
10．有两个整数x，y，把整数对（x，y）进行操作后可得到（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x）中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对（2，32）按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ）
①若m次操作后得到的整数对仍然为（2，32），则m的最小值为2；
②三次操作后得到的整数对可能为（2，﹣30）；
③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是（﹣3，18）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】根据把整数对（x，y）进行操作后可得到（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x） 中的某一个整数对，对（2，32）分别进行操作，对各结论逐一判断即可得答案．
解：对（2，32）分别进行（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x），
第一次操作得（34，32），（﹣30，32），（32，2），
第二次操作得（66，32），（﹣62，32），（32，34），（2，32），（﹣62，32），（32，﹣30），（34，2）（30，2），（2，32），
∴若m次操作后得到的整数对仍然为（2，32），则m的最小值为2，故①正确；
∵第二次操作中的 （32，﹣30）经过（x+y，y）的操作可得 （2，﹣30），
∴三次操作后得到的整数对可能为（2，﹣30），故②正确；
∵2和32都是偶数，
∴进行 （x+y，y） 或（x﹣y，y）或（y，x）操作的结果都是偶数，
∴不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是 （﹣3，18），故③正确；
综上所述：正确的结论为①②③，共3个，
故选：A．
【点评】本题属于新定义问题，读懂题意，正确运用题目中的运算法则是解题的关键．
二、填空：（每小题4分，共32分）
11．已知方程x2+mx﹣5＝0的一个根是1，则m的值为 4 ．
【分析】根据一元二次方程的解把x＝1代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
解：把x＝1代入x2+mx﹣5＝0得12+m﹣5＝0，
解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为 （0，8） ．
【分析】依据题意，令x＝0，则y＝8，从而可得点C的坐标．
解：由题意，∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，
∴令x＝0，则y＝8．
∴C（0，8）．
故答案为：（0，8）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键．
13．在平面直角坐标系中，点（﹣5，b）关于原点对称的点为（a，6），则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标互为相反数，进而得出a，b的值，再代入所给代数式计算得出答案．
解：∵点（﹣5，b）关于原点对称的点为（a，6），
∴a＝5，b＝﹣6，
则a+b＝5﹣6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
14．把一元二次方程x（x+1）＝4（x﹣1）+2化为一般形式为 x2﹣3x+2＝0 ．
【分析】把方程左右两边的因式分别相乘，再把右边的项移到左边，合并同类项即可．
解：x2+x＝4x﹣4+2，
x2﹣3x+2＝0，
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
15．已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ﹣2 ．
【分析】利用二次函数的定义得m2﹣2＝2，由图象开口向下得m﹣1＜0，进而求出m．
解：由题意得，
解得m＝﹣2．
故答案为：m＝﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的定义和性质，难度不大．
16．设A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣3x+2上三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 （用＜号连接）．
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2﹣3x+2的开口向下，对称轴为直线x＝﹣，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
解：∵y＝﹣x2﹣3x+2＝﹣（x+）2++2，
∴抛物线y＝﹣x2﹣3x+2的开口向下，对称轴为直线x＝﹣，
而B（2，y2）离直线x＝﹣的距离最远，C（﹣2，y3）离直线x＝﹣的距离最近，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
17．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为 35 ．
【分析】由关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2可得a＜7，关于y的分式方程的解为y＝，根据已知可得a≥﹣5，由于分式方程有可能产生增根，所以a≠3，综上，a的取值范围为﹣5≤a≤7且a≠3，可得a的值，所有满足条件的整数a的值之积可求．
解：，
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≥a﹣5，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，
∴a﹣5≤2，
∴a≤7，
，
去分母得：5y﹣a＝﹣2（y﹣2）+3y+1，
5y﹣a＝﹣2y+4+3y+1，
∴y＝≥0，
∴a≥﹣5，
∴﹣5≤a≤7，
∵y≠2，
∴≠2，
∴a≠3，
∵关于y的分式方程的解为非负整数，
∴5+a＝0或5+a＝4或5+a＝8或5+a＝12，
∴a＝﹣5或﹣1或7，
∴所有满足条件的整数a的值之积为：﹣1×（﹣5）×7＝35．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，方程的整数解，注意分式方程有可能产生增根是解题的关键．
18．一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′．把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝23时，．对于两位正整数s与t，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1≤b＜a≤9，1≤x，y≤9，且a，b，x，y为整数）．若F（s）能被7整除，则a﹣b的值为 7 ，在此条件下，若F（s）+81ky＝kF（t），其中k为整数，则此时s与t乘积的最大值为 9016 ．
【分析】根据题意列式表示，并根据整除的意义求解．
解：∵s＝10a+b，
∴F（s）＝＝81（a﹣b），
∵F（s）能被7整除，1≤b＜a≤9，
∴a﹣b＝7；
∵t＝10x+y，
∴F（t）＝81（x﹣y），
∵F（s）+81ky＝kF（t），
∴81（a﹣b）+81ky＝k•81（x﹣y），
∵a﹣b＝7，
∴81×7+81ky＝k•81（x﹣y），
∴k＝，
∵k为整数，
∴x﹣2y＝±1或±7，
∵1≤x，y≤9，
∴当x＝3时y＝1，t＝31，
当x＝3时y＝2，t＝32，
当x＝5时y＝2，t＝52，
当x＝7时y＝3，t＝73，
当x＝5时y＝3，t＝53，
当x＝9时y＝4，t＝94，
当x＝7时y＝4，t＝74，
当x＝9时y＝1，t＝91，
当x＝9时y＝8，t＝98，
∵a﹣b＝7，1≤b＜a≤9，
∴s的值为：92或81，
∴st的最大值为：92×98＝9016，
故答案为：7，9016．
【点评】本题考查了整式的运算，理解整除的意义是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19．计算：
（1）x（2﹣x）+（x+3）（x﹣3）；
（2）（1﹣）．
【分析】（1）根据单项式乘以多项式的法则及平方差公式计算即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
解：（1）x（2﹣x）+（x+3）（x﹣3）
＝2x﹣x2+x2﹣9
＝2x﹣9；
（2）（1﹣）
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算及整式的运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．解方程：
（1）2x2﹣6x＝0；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解出方程；
（2）利用公式法解出方程．
解：（1）2x2﹣6x＝0，
则2x（x﹣3）＝0，
∴2x＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0，
a＝4，b＝﹣6，c＝﹣3，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
21．如图平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E．
（1）请用尺规作∠BCD的角平分线CF，交AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）的作图，证明：AE∥CF．请在答题卡上完成相应编号的填空．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ECF＝① ∠CFB （两直线平行，内错角相等），
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF＝② ∠BAD ，∠ECF＝③ ∠BCD ，
∴∠EAF＝∠ECF＝∠CFB，
∴AE∥CF ④ 同位角相等，两直线平行 （填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明∠EAF＝∠CFB，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ECF＝①∠CFB（两直线平行，内错角相等），
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAF＝②∠BAD，∠ECF＝③∠BCD，
∴∠EAF＝∠ECF＝∠CFB，
∴AE∥CF ④（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠CFB，，，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．今年入春以来，我国北方很多地区都经历了多次强烈沙尘天气，但是川渝地区却没有这个困扰，因为秦岭凭借“一己之力”阻挡沙尘暴南下，那么，秦岭是如何挡住风沙的？NK中学的同学通过开展秦岭知识问答活动普及相关知识．现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理，描述和分析，将学生活动成绩分为A、B、C、D四个等级：A．x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100，下面给出了部分信息：
抽取的20名八年级学生的成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99；
抽取的九年级等级C的学生成绩为：88，83，84，81，87，85，89．
抽取的八，九年级学生活动成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 87.5 ，b＝ 86 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识问答活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若八，九年级共有1200名学生参加活动，请估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人．
【分析】（1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由九年级D等级的人数可求出m的值；
（2）根据平均分，中位数，众数可得答案；
（3）利用样本估计总体即可．
解：（1）由题意可知，B等级人数为：20×＝3（人），A等级人数为：20×10%＝2，
抽取的九年级的学生成绩从小到大排列，排在中间的数分别为：87、88，故中位数a＝＝87.5；
抽取的20名八年级学生的成绩中，86出现的次数最多，故众数b＝86；
m%＝1﹣＝40%，即m＝40．
故答案为：87.5；86；40；
（2）九年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的成绩平均数相同，但九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级，所以九年级的成绩更好；
（3）1200×＝420（人），
答：估计两个年级参加活动学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共约有420人．
【点评】本题考查中位数，众数，样本估计方差等知识，解题的关键是掌握中位数，众数，方差等概念．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求线段AC的长度；
（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于点E．求3PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中3PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度，得到一条新抛物线y′，M为射线CA上的动点，过点M作MF∥x轴交新抛物线y′的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【分析】（1）在y＝x2+x﹣2中，得C（0，﹣2），A（﹣3，0），B（1，0），即可得线段AC的长度为；
（2）由y＝x2+x﹣2＝（x+1）2﹣，得抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，设P（m，m2+m﹣2），可得PD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，PE＝2（﹣1﹣m）＝﹣2﹣2m，故3PD+PE＝3（﹣m2﹣2m）﹣2﹣2m＝﹣2m2﹣8m﹣2＝﹣2（m+2）2+6，根据二次函数性质可得答案；
（3）将抛物线y＝（x+1）2﹣沿着射线CA方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，故新抛物线解析式为y'＝（x+1+3）2﹣+2＝（x+4）2﹣，新抛物线的对称轴为直线x＝﹣4；设M（t，﹣t﹣2），N（p，q），分三种情况：①若MN，FP为对角线，则MN，FP的中点重合，且PM＝PN，②若MF，NP为对角线，则MF，NP的中点重合，且PM＝PF，③若MP，NF为对角线，则MP，NF的中点重合，且MF＝PF，分别列方程组即可解得答案．
解：（1）在y＝x2+x﹣2中，
令x＝0得y＝﹣2；
∴C（0，﹣2）；
令y＝0得：0＝x2+x﹣2，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AC＝＝，
∴线段AC的长度为；
（2）∵y＝x2+x﹣2＝（x+1）2﹣，
∴抛物线y＝x2+x﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，
设P（m，m2+m﹣2），
由A（﹣3，0），C（0，﹣2）得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴D（m，﹣m﹣2），
∴PD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∵PE关于直线x＝﹣1对称，
∴PE＝2（﹣1﹣m）＝﹣2﹣2m，
∴3PD+PE＝3（﹣m2﹣2m）﹣2﹣2m＝﹣2m2﹣8m﹣2＝﹣2（m+2）2+6，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣2时，3PD+PE取最大值6，
此时P的坐标为（﹣2，﹣2）；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），
∴将抛物线y＝（x+1）2﹣沿着射线CA方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴新抛物线解析式为y'＝（x+1+3）2﹣+2＝（x+4）2﹣，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝﹣4；
设M（t，﹣t﹣2），N（p，q），则F（﹣4，﹣t﹣2），
而P（﹣2，﹣2），
①若MN，FP为对角线，则MN，FP的中点重合，且PM＝PN，
∴，
解得：或（此时M不在射线CA上，舍去）；
∴N（，﹣2）；
②若MF，NP为对角线，则MF，NP的中点重合，且PM＝PF，
∴，
解得：（此时N，P重合，舍去）或，
∴N（﹣6，）；
③若MP，NF为对角线，则MP，NF的中点重合，且MF＝PF，
∴，
解得：或，
∴N（，﹣2）或（，﹣2）；
综上所述，N的坐标为（，﹣2）或（﹣6，）或（，﹣2）或（，﹣2）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，菱形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
24．在△ABC中，F为AB边上一点，连接CF，D为CF上一点，连接BD，∠BDC＝120°
（1）如图1，延长BD交AC于点G，若CF平分∠ACB，BD平分∠ABC，AF＝5.1，AG＝4.8，BC＝10，求△ABC的周长；
（2）如图2，连接AD，若∠BAD＝60°，BD＝CD，E为AC中点，连接DE，请猜想线段AB，AD，DE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，当∠ADB＝90°时，点N是直线BD上一动点，连接AN，将△ADN沿着AN翻折得△AMN，连接BM，G为BM的中点，连接GN，当点G到BC的距离最小时，直接写出的值．
【分析】（1）截取BP＝BF，构造两对全等即可解题；
（2）截取AQ＝AD，延长CF到H，使DH＝CD，证明△ADH≌△QDB，证明DE为△CAH中位线，即可解题．
（3）分析当AM⊥BC时为所求，设BS为单位1，利用证明的△ABN≌△BAS，和含30°的直角三角形的三角函数，表示出所求边，再利用勾股定理，求出问题即可．
解：（1）如图1，截取BP＝BF，连接DP，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠PBD，
∵BD＝BD，
∴△FBD≌△PBD（SAS），
∴BF＝BP，∠BDF＝∠BDP，
∵∠BDC＝120°，
∴∠BDF＝∠BDP＝60°，
∴∠CDG＝∠CDP＝60°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠DCP＝∠DCG，
∵CD＝CD，
∴△CDG≌△CDP（ASA），
∴CG＝CP，
∵BC＝10，
∴BF+CG＝10，
∵AF＝5.1，AG＝4.8，
∴△ABC的周长＝5.1+4.8+20＝29.9．
（2）AB＝AD+2DE．
如图2，截取AQ＝AD，连接DQ，
延长CF到H，使DH＝CD，连接AH，
∵CD＝BD，
∴BD＝DH，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADQ为等边三角形，
∴AD＝DQ，
∵∠BDC＝120°，
∴∠BDF＝60°，
∴∠BDQ＝∠AFH，
∴△ADH≌△QDB（SAS），
∴AH＝BQ，
∵E为AC中点，
∴DE为△CAH中位线，
∴AH＝2DE，即BQ＝2DE，
∴AB＝AQ+BQ，即AB＝AD+2DE．
（3）如图4，延长AM交BC于S，使AS⊥BC，
过G作KI⊥BC与I，交NM的延长线交于点K，作NT⊥BC，
∵点G是BM中点，
∴GI＝MS，
∴当MS最小时GI最小，
∵△ADN翻折得到△AMN，
∴AD＝AM，∠AMD＝∠ADN＝90°，
∴MN∥BC，
∵∠BDC＝120°且DB＝DC，
∴∠DBC＝30，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BA，
∴△ABN≌△BAS（AAS），
∴AD＝BS，
∴AM＝BS，
设BS为单位1，
∴AS＝tan60°•BS＝，
∴MS＝﹣1，NT＝﹣1，
∴BT＝tan60°•NT＝（）＝3﹣，
∴ST＝3﹣﹣1＝2﹣＝MN，
∵G为BM中点，且GI⊥BC，
∴I为BS中点，
∴IS＝＝KM，
∴KN＝+＝＝，
∵KG＝KI＝，
GM2＝GK2+KN2＝+＝，
∵BM2＝BS2+MS2＝+12＝，
∴＝：（）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，中位线的性质，三角函数，勾股定理等知识点，解题关键是构造解题所需要的全等，以及分析点到直线间的最小值．
学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
91
学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
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