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    福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(Word版附答案)
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    福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(Word版附答案)

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    这是一份福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(Word版附答案),共25页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    考试时长120分钟
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
    1. 直线,若的倾斜角为30°,则的斜率为( )
    A. B. C. D.
    2. 已知圆与圆,则圆与圆的位置关系为( )
    A. 相交B. 外切C. 外离D. 内含
    3. 已知直线l过点,方向向量为,则原点到的距离为( )
    A. 1B. C. D. 3
    4. 如图,在三棱锥中,点D是棱中点,若,,,则等于( )
    A. B. C. D.
    5. 设点A,B的坐标分别是,,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,点M的轨迹方程为( )
    A. B. C. D.
    6. 已知椭圆C:的左焦点是,过的直线l:与圆:交于A,B两点,则的长为( )
    A. B. C. 2D.
    7. 如图,在棱锥中,,,两两垂直,,,,则直线与平面所成角的正弦值为( )

    A. B. C. D.
    8. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,,动点满足,得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数,直线与圆恒有公共点,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    9. 关于椭圆:,下列叙述正确的是( )
    A. 焦点在轴上B. 长轴长为4C. 离心率为D. 过点
    10. 已知直线:和圆O:,则( )
    A. 直线恒过定点
    B. 存在k使得直线与直线:垂直
    C. 直线与圆相交
    D. 直线被圆截得最短弦长为
    11. 如图所示,在棱长为2的正方体中,,分别为棱和的中点,则( )
    A. 平面B.
    C. 是平面的一个法向量D. 点到平面的距离为
    12. 已知曲线的方程为,则( )
    A. 曲线关于直线对称
    B. 曲线围成的图形面积为
    C. 若点曲线上,则
    D. 若圆能覆盖曲线,则的最小值为
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 椭圆的短半轴长是_______.
    14. 正方体的棱长为4,E是的中点,则点到的距离是_______.
    15. 设点是圆上任意一点,由点向轴作垂线,垂足为,且.则的轨迹的方程为___________.
    16. 方程有两个不相等的实数解,则的最小值为________.
    四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 焦点在轴上的椭圆的方程为,点在椭圆上.
    (1)求的值.
    (2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
    18. 如图,已知圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点、(在的上方),且.
    (1)求圆的标准方程;
    (2)求圆在点处的切线在轴上的截距.
    19. 如图,平行六面体的底面是菱形,且,.

    (1)求长;
    (2)求异面直线与所成角的余弦值.
    20. 如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,速度为28km/h.
    (1)求外籍船航行路径所在的直线方程;
    (2)问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)
    21. 如图,在正方体中,为的中点,点在棱上.
    (1)若,证明:与平面不垂直;
    (2)若平面,求平面与平面夹角的余弦值.
    22. 已知圆过点,,且圆心在直线上.
    (1)求圆的方程;
    (2)设点在圆上运动,点,记为过,两点的弦的中点,求的轨迹方程;
    (3)在(2)的条件下,若直线与直线交于点,证明:恒为定值.
    2023---2024学年第一学期期中考试
    高二数学
    考试时长120分钟
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
    1. 直线,若的倾斜角为30°,则的斜率为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】两直线垂直,斜率相乘等于-1.
    【详解】,∴.
    故选:B.
    2. 已知圆与圆,则圆与圆的位置关系为( )
    A. 相交B. 外切C. 外离D. 内含
    【答案】B
    【解析】
    【分析】确定两圆的圆心和半径,由圆心间的距离与半径的关系即可得解.
    【详解】圆化成标准方程为,圆心,半径为,
    圆,圆心,半径,
    ,圆与圆的位置关系为外切,
    故选:B
    3. 已知直线l过点,方向向量为,则原点到的距离为( )
    A. 1B. C. D. 3
    【答案】B
    【解析】
    【分析】求出直线的解析式,即可求出原点到的距离.
    【详解】由题意,
    在直线中,方向向量为,
    ∴直线l的斜率存在,设,则直线l的斜率为:,
    ∴,
    ∵直线l过点,
    ∴,解得:,
    ∴,即,
    ∴原点到的距离为:,
    故选:B.
    4. 如图,在三棱锥中,点D是棱的中点,若,,,则等于( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解.
    【详解】
    故选:D.
    5. 设点A,B的坐标分别是,,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,点M的轨迹方程为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据给定条件,利用斜率坐标公式列式计算作答.
    【详解】设,因直线AM,BM的斜率之积是,则有,整理为,
    显然有,所以点M的轨迹方程为.
    故选:A
    6. 已知椭圆C:的左焦点是,过的直线l:与圆:交于A,B两点,则的长为( )
    A. B. C. 2D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】先根据坐标求出直线方程,再由圆心到直线距离和弦长公式求出弦长.
    【详解】由题意可得,代入直线可得,则,
    所以直线,所以圆心到直线距离,
    所以弦长,
    故选:A
    7. 如图,在棱锥中,,,两两垂直,,,,则直线与平面所成角的正弦值为( )

    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用三线垂直建立空间直角坐标系,将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角,再利用空间向量进行求解.
    【详解】以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(如图所示),

    则,,,
    ,,,
    设平面的一个法向量为,
    则,即,
    令,则,,
    所以平面的一个法向量为;
    设直线与平面所成角为,
    则,
    即直线与平面所成角的正弦值为.
    故选:C.
    8. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,,动点满足,得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数,直线与圆恒有公共点,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】设点,求出动点的轨迹圆的方程,再求出直线过定点坐标,依题意点在圆的内部,即可得到不等式,解得即可.
    【详解】设点,,,
    所以动点的轨迹为阿氏圆:,
    又直线恒过点,
    若对任意实数直线与圆恒有公共点,
    在圆的内部或圆上,所以,所以,解得,
    即的取值范围为.
    故选:C
    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    9. 关于椭圆:,下列叙述正确的是( )
    A. 焦点在轴上B. 长轴长为4C. 离心率为D. 过点
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】根据椭圆的标准方程,可判断A项;求出a,b,c的值,可判断B,C项;代入判断D项.
    【详解】由已知,椭圆的焦点在轴上,a=2,,c=1,则长轴长为2a=4,离心率为.
    将点代入椭圆方程左边得,不满足,即点不在椭圆上.
    故选:BC.
    10. 已知直线:和圆O:,则( )
    A. 直线恒过定点
    B. 存在k使得直线与直线:垂直
    C. 直线与圆相交
    D. 直线被圆截得的最短弦长为
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】利用直线方程求定点可判断选项A;利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B;利用直线恒过定点在圆内可判断选项C;利用弦长公式可判断选项D.
    【详解】对于A,由可得,,
    令,即,此时,
    所以直线恒过定点,A错误;
    对于B,因为直线:的斜率为,
    所以直线的斜率为,即,
    此时直线与直线垂直,满足题意,B正确;
    对于C,因为定点到圆心的距离为,
    所以定点在圆内,所以直线与圆相交,C正确;
    对于D,设直线恒过定点,
    圆心到直线最大距离为,
    此时直线被圆截得的弦长最短为,D正确;
    故选:BCD.
    11. 如图所示,在棱长为2的正方体中,,分别为棱和的中点,则( )
    A. 平面B.
    C. 是平面的一个法向量D. 点到平面的距离为
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】根据线线平行即可判断A,建立空间直角坐标系,利用向量数量积即可判断线线垂直,即可判断B,根据空间向量求解法向量即可判断C,根据空间距离的向量法即能求出点到平面的距离,从而判断D.
    【详解】以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    对于A,由于分别是的中点,所以,平面,平面,故平面,故A正确,
    对于B,,故,故与不垂直,进而可得与不垂直,故B错误,
    对于C由,所以,,
    设平面的法向量为,
    则,
    令,则,,所以平面的一个法向量,故C正确,
    对于D,
    点到平面的距离为,故D正确,
    故选:ACD
    12. 已知曲线的方程为,则( )
    A. 曲线关于直线对称
    B. 曲线围成的图形面积为
    C. 若点在曲线上,则
    D. 若圆能覆盖曲线,则的最小值为
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项,推理,计算判断即可.
    【详解】曲线上任意点有:,该点关于的对称点有,即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上,故选项A正确;
    因为点在曲线上,点,点也都在曲线上,则曲线关于轴,轴对称,当,时,曲线的方程为,
    表示以点为圆心,为半径的圆在直线上方的半圆(含端点),
    因此,曲线是四个顶点为,,,的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成,如图,
    所以曲线围成的图形的面积是,故选项B正确;
    点,在曲线上,则,,
    ,,解得,故选项C正确;
    曲线上的点到原点距离最大值为,圆能覆盖曲线,则,故选项D不正确.
    故选:ABC.
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13. 椭圆的短半轴长是_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】将椭圆方程标准化后可得的值,进而可求得结果.
    【详解】将椭圆方程化为标准方程
    所以,即:,
    所以椭圆短半轴长是,
    故答案为:.
    14. 正方体的棱长为4,E是的中点,则点到的距离是_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】如图所示建立空间直角坐标系,确定各点坐标,计算,再计算距离得到答案.
    【详解】如图所示:建立空间直角坐标系,则,,,
    则,,
    则,故.
    点到的距离是.
    故答案为:.
    15. 设点是圆上任意一点,由点向轴作垂线,垂足为,且.则的轨迹的方程为___________.
    【答案】.
    【解析】
    【分析】设点根据题意求出,设根据,求出分别用来表示,然后代入.
    【详解】设由点向轴作垂线,垂足为,所以
    设,又因为即
    所以,又因为是圆上任意一点,即
    所以,即.
    故答案为:
    16. 方程有两个不相等的实数解,则的最小值为________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】令,,则表示圆心在原点,为半径的圆在轴及轴上方部分的半圆,可知其表示过定点的直线,结合图象求出的最小值.
    【详解】令,,又,则且,
    所以表示圆心在原点,为半径的圆在轴及轴上方部分的半圆,
    又可知其表示过定点的直线,
    因为方程有两个不相等的实数解,
    即与有两个交点,
    令,

    由图可知当直线恰过点时斜率取得最小值,即.
    故答案为:
    四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 焦点在轴上的椭圆的方程为,点在椭圆上.
    (1)求的值.
    (2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
    【答案】(1)2(2)长轴长4、短轴长、焦距、离心率
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,代入点,即可求解.
    (2)由(1),写出椭圆方程,求解,根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义,即可求解.
    【详解】(1)由题意,点在椭圆上,代入,
    得,解得
    (2)由(1)知,椭圆方程为,则
    椭圆的长轴长;’
    短轴长;
    焦距;
    离心率.
    【点睛】本题考查(1)代入点求椭圆方程(2)求解长轴长、短轴长、焦距、离心率;考查概念辨析,属于基础题.
    18. 如图,已知圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点、(在的上方),且.
    (1)求圆的标准方程;
    (2)求圆在点处的切线在轴上的截距.
    【答案】(1);(2).
    【解析】
    【分析】(1)设点的坐标为,由圆与轴相切于点,求得,半径,再根据,求得的值,即可求得圆的标准方程;
    (2)由(1)中圆方程,令,求得,设圆在点处的切线方程为,结合圆心到直线的距离等于半径,求得的值,即可求解.
    【详解】(1)设点的坐标为,则由圆与轴相切于点知,
    点的横坐标为,即,半径,
    又因为,∴,即,
    所以圆的标准方程为.
    (2)由(1)知圆的标准方程为,
    令,可得,设圆在点处的切线方程为,
    则圆心到其距离为,解得.
    即圆在点处的切线方程为,则此直线在轴上的截距为.
    19. 如图,平行六面体的底面是菱形,且,.

    (1)求的长;
    (2)求异面直线与所成角的余弦值.
    【答案】(1)
    (2)0
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,选出一组基底,利用线性运算以及数量积,可得答案;
    (2)利用(1)基底,结合数量积的运算,可得答案.
    【小问1详解】
    设,,,构成空间的一个基底.
    因为,
    所以

    所以.
    【小问2详解】
    又,,
    所以

    ∴异面直线与所成的角为90°,余弦值为0.
    20. 如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,速度为28km/h.
    (1)求外籍船航行路径所在的直线方程;
    (2)问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)
    【答案】(1)
    (2)能,持续时间为小时
    【解析】
    【分析】(1)首先以为原点,东西方向为轴,南北方程为轴,建立直角坐标系,再利用截距式求解直线方程即可。
    (2)利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案。
    【小问1详解】
    以为原点,东西方向为轴,南北方程为轴,建立直角坐标系,如图所示:
    则,,圆:
    则直线:,即。
    外籍船航行路径所在的直线方程为:。
    【小问2详解】
    设到直线的距离为,则
    所以外籍轮船能被海监船监测到。
    设监测时间为,则
    所以外籍轮船被监测到的持续时间时小时。
    21. 如图,在正方体中,为的中点,点在棱上.
    (1)若,证明:与平面不垂直;
    (2)若平面,求平面与平面的夹角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设正方体棱长为,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,计算出,即可证得结论成立;
    (2)利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.
    【小问1详解】
    证明:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
    设正方体的棱长为,则、、、,
    由得点的坐标为,
    ,,因为,
    所以与不垂直,所以与平面不垂直.
    【小问2详解】
    解:设,则,,
    因为平面,所以,所以,得,
    且,即,
    所以,,设平面的法向量为,
    由,取,可得,
    因为平面,所以平面的一个法向量为,
    所以,
    所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
    22. 已知圆过点,,且圆心在直线上.
    (1)求圆的方程;
    (2)设点在圆上运动,点,记为过,两点的弦的中点,求的轨迹方程;
    (3)在(2)的条件下,若直线与直线交于点,证明:恒为定值.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据圆心所在的直线设出圆心坐标,利用圆上的点建立距离方程求解即可;
    (2)法1,利用圆的几何性质得,利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程;法2,设直线DE的方程,与圆联立,利用韦达定理求得中点坐标,消去参数即可求得动点的轨迹方程;
    (3)法1,设直线与直线交于点,通过斜率关系得,利用几何关系得,从而,利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可;法2,利用数量积的几何意义及点到直线的距离公式及两点距离公式求解,或者利用数量积的坐标运算求解即可.
    【小问1详解】
    圆心在上,可设圆心,,,解得:,,
    故圆的方程为:.
    【小问2详解】
    法1:由圆的几何性质得即,所以,
    设,则,
    所以,即的轨迹方程是.
    法2:设过且斜率为的直线为,与圆的方程联立,
    消去得,
    因为在圆的内部,故此二次方程必有两不等实根,
    故弦的中点的横坐标,代入,
    得,消去,可得,
    即的轨迹方程为.
    【小问3详解】
    法1:设直线与直线交于点,由可知直线的斜率是,
    直线的斜率为,,,,
    ,因此,,
    又E到的距离,
    ,故恒为定值1.
    法2:因为,所以由数量积的几何意义得,
    由法1知,则,
    又E到的距离,
    ,故恒为定值1.
    或设,则,
    所以.
    【点睛】方法点睛:解决直线与圆的综合问题时,要注意:
    (1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、圆的条件;
    (2)强化利用几何法求解圆的轨迹问题及弦长、定值等问题,联立直线与圆的方程,要强化得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题.
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