2023-2024学年福建省厦门市厦门大学附属科技中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省厦门市厦门大学附属科技中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“”的否定形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】特称命题的否定是全称命题，
命题“”的否定是：．
故选：D．
2．已知函数．则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，
将代入，可得，
故选：．
3．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A．B．C．1D．或1
【答案】B
【分析】由系数为1求得，然后代入确定函数图象是否与坐标有交点．
【详解】由题意，解得或，
时，，图象与坐标轴交点为，舍去，
时，满足题意．
故选：B．
4．设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合题意求解即可.
【详解】若，则，所以，
所以，所以是的充分条件；
若，不妨取，不满足，
所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件．
故选：A.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由奇偶性定义判断对称性，再根据解析式判断、上的符号，即可确定大致图象.
【详解】由题设，且定义域为R，即为奇函数，排除C，D；
当时恒成立；
，故当时，当时；
所以，时，时，排除B；
故选：A.
6．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
【答案】C
【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
7．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性和幂函数的单调性即可比较大小.
【详解】解：，，
因为是上的增函数
所以
设，在单调递增
所以
故选：A.
8．对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.
【详解】，，
当时，，
的定义域为，，所以是偶函数，
为偶函数，只需考虑在上的范围，
当时，在单调递减，
对，，，恒成立，
需，，.
当，在上单调递增，，
对，，，恒成立，
，，，
综上：
故选：B
二、多选题
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，那么
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质判断A、B、C，利用特殊值判断D.
【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；
对于B：因为，当时，故B错误；
对于C：因为，则，即，所以，故C正确；
对于D：若，，满足，但是，故D错误；
故选：AC
10．某小组在研究性学习中发现：函数不全为0的图象可由反比例函数的图象通过平移得到．已知函数，则（ ）
A．是增函数B．的值域为
C．没有对称轴D．的图象关于点对称
【答案】BD
【分析】通过常数分离法找到可平移的反比例函数，结合反比例函数知识可得．
【详解】，
所以的图象可由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
的定义域是，它在和上是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，关于原点对称，
经过平移可知，在和上是增函数，在定义域内不是增函数，值域是，直线和都是它的对称轴，的图象关于点对称，
故选：BD．
11．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】选项A由指数函数的计算得出；选项B取对数后可得；选项C用基本不等式可得；选项D用指数和对数运算再做商可得.
【详解】对A，因为，所以，故，故A正确；
对B，因为，
所以，
因为，故B错误；
对C，由A知，
因为，所以，当且仅当时取等号；
但，故不等式不能取等号；故C正确；
对D，，所以，
做商得到，故D正确；
故选：ACD.
12．已知函数的定义域为，当时，，函数是奇函数，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．是偶函数
【答案】AD
【分析】根据已知求出函数的对称中心，即可得出A项；根据对称中心以及偶函数的性质，即可得出函数的周期；根据函数的对称性，推导即可判断D项.
【详解】对于A项，由是奇函数，可得函数关于点对称，
所以有，故A项正确；
对于B项，函数是定义域为R的函数，,又函数关于点对称，
所以，
所以有，
所以，
所以有，所以是以4为周期的函数，当时，，,故B项错误；
对于C项，当时，，在上单调递减, 关于点对称，在上单调递减, 故C项错误；
对于D项，因为,所以也是函数的对称轴.
又是以4为周期的函数，所以的图象关于对称，故D项正确.
故选：AD.
三、填空题
13．已知集合，则的真子集的个数为 ．
【答案】
【分析】化简并求出集合，即可得出的真子集的个数.
【详解】由题意，
在中，
化简集合，，
∴的真子集的个数为，
故答案为：.
14． ．
【答案】
【分析】根据对数的运算法则及幂的运算性质计算可得.
【详解】
.
故答案为：
15．已知函数且，若，则的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】化简函数，求出的范围，即可得出的单调递增区间.
【详解】由题意，
在且中，
，
∵，
∴，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴的单调递增区间为，
故答案为：.
四、双空题
16．已知函数．当时，方程有 个实数根．若方程有5个实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】画出的图象，当时，则或，结合图象即可判断，若方程有个实数根，令，则有两个不相等的实数根、，则且，或且或且，再根据二次函数根的分布问题计算可得.
【详解】因为，所以的图象如下所示：
当时，方程，解得或，
由图可得与有两个交点，即有两个解，
与有两个交点，即有两个解，
综上可得方程有个实数根；
因为方程有个实数根，
令，则有两个不相等的实数根、，
则且，或且，或且，
令，
当且时，则，即，解得，
当且，则，此时，解得，，不符合题意，
当且，则，解得，此时，解得，不符合题意；
综上可得若方程有5个实数根，则的取值范围为.
故答案为：；
五、解答题
17．设集合，；
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据偶次方根的被开方数非负求出集合，最后根据集合的运算法则计算可得；
（2）由可得，分、、三种情况讨论，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，即，解得，
所以，
又，
所以，所以.
（2）由，即，
当时解得，此时，则，不符合题意；
当时解得，此时，则，不符合题意；
当时解得，此时，由，则，
综上可得.
18．已知二次函数的图象过点和，且．
(1)求的解析式；
(2)若的图象始终在直线的下方（没有交点），求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由得对称轴是，再由所过两点坐标列方程组求得解析式；
（2）由恒成立可得．
【详解】（1）∵，所以是函数图象的对称轴，又图象过点和，
∴，解得，
∴；
（2）由题意即恒成立，
∴，∴．
19．某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.
(1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
【答案】(1)模型②，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式；
（2）根据指数幂运算公式计算.
【详解】（1）应选择函数模型②.
依题意，得，
解得，
所以关于的函数解析式为.
（2）.
理由：依题意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
20．已知函数是奇函数．
(1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)，在和上都是减函数．
(2)．
【分析】（1）由奇函数的定义求得参数，再由单调性定义证明．
（2）利用奇函数性质变形不等式，再由单调性求解．
【详解】（1）由题意恒成立，即，整理得，
∴，，
，它在和上都是减函数，
设且均不为0，，
若，则，，，所以，即，
∴在上是减函数，
同理若，则，，，所以，即，
∴在上是减函数．
（2），时，，时，，
，是奇函数，则，
，若，则，不合题意，
∴且，解得．
21．问题：已知均为正实数，且，求证：．
证明：
，
当且仅当时，等号成立．
学习上述解法并解决下列问题：
(1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由；
(2)利用（1）的结论，求的最小值．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)
【分析】（1）利用基本不等式即可比较和的大小；
（2）设出,利用（1）中的关系式即可得出最小值.
【详解】（1）由题意，，
理由如下，
∵
∴
，
当且仅当即时，等号成立，
∴.
（2）由题意及（1）得，
在中，设，
则，，
∴，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，解得：，
，
∴.
22．已知函数．若不等式的解集为．
(1)求的值及的值域；
(2)已知，若，证明：．
【答案】(1),
(2)证明见解析
【分析】（1）根据不等式的解集求出，应用判断式法求值域；
（2）由已知结合基本不等式证明．
【详解】（1）由题意，的解集为,
的解集为,
,
,
所以；
y不等于0时时，y可以取0，
,的值域
（2）,,
或,
,,,
当且仅当时取等号，
时间月
1
2
3
4
浮萍的面积
3
5
9
17