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福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题原卷版docx、福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
考试时间：2024年 4 月 28 日 考试时长 120 分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
4. 在空间四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是（ ）
A. 梯形B. 矩形
C. 正方形D. 菱形
5. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ ）
A. 10mB. 30mC. D.
6. 在中，若，且，则范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A B. C. D.
8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数，则（ ）
A. 的实部为B. C. 的虚部为D.
10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是钝角三角形
B. 若，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，，，则只有一解
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A. 若，则M为的重心
B. 若M为的内心，则
C. 若，，M为的外心，则
D. 若M为垂心，，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为_________.
13. 将边长为2正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为______．
14. 在中，角所对的边分别为.若，，则的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的值：
（2）若，判断的形状．
16. 如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
（1）若，求，的值；
（2）求的值；
（3）求．
17. 如右图所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．
(1)求证：BD1∥平面C1DE；
(2)求三棱锥D－D1BC的体积
18. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A角平分线AD长的最大值．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
考试时间：2024年 4 月 28 日 考试时长 120 分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则对应的点在复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
4. 在空间四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是（ ）
A. 梯形B. 矩形
C. 正方形D. 菱形
5. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（ ）
A. 10mB. 30mC. D.
6. 在中，若，且，则范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A B. C. D.
8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数，则（ ）
A. 的实部为B. C. 的虚部为D.
10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是钝角三角形
B. 若，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，，，则只有一解
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A. 若，则M为的重心
B. 若M为的内心，则
C. 若，，M为的外心，则
D. 若M为垂心，，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为_________.
13. 将边长为2正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为______．
14. 在中，角所对的边分别为.若，，则的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的值：
（2）若，判断的形状．
16. 如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
（1）若，求，的值；
（2）求的值；
（3）求．
17. 如右图所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．
(1)求证：BD1∥平面C1DE；
(2)求三棱锥D－D1BC的体积
18. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A角平分线AD长的最大值．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
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