苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第14讲 分式的基本性质（学生版）

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知识精讲
知识点01 分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。
（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式。其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件。
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。
【微点拨】分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。
根据分式的基本性质有，。根据有理数除法的符号法则有。分式与互为相反数。分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用。
【即学即练1】化简下列分式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；
（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题；
（3）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）．
知识点02 分式的约分、最简分式、通分
1.分式的约分、最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
【微点拨】（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
2.分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
【微点拨】（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.
【即学即练2】将下列各分式通分：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【分析】将分母两式取各式的最小公倍式，相同因式的次数取最高次幂，分子分母同乘分母的最小公倍式即可得出答案．
【解析】解：（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
能力拓展
考法01 分式的基本性质
【典例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
（1） （2） ．
【答案】（1）；（2） ．
【分析】根据分式的基本性质变形即可；
【解析】解：（1）原式；
（2）原式=；
考法02 约分与通分
【典例2】约分：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）找到分子、分母的公因式，根据分式的性质约去公因式即可；
（2）先把分子、分母因式分解，根据分式的性质约去公因式即可．
【解析】（1）=．
（2）
=
=
=．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式；
【解析】解：A，2还可约分；B，是最简分式，符合题意；C，x+1还可约去；D，公因式a还可约分；
故答案选：B
2．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的25倍B．扩大到原来的5倍
C．值不变 D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可．
【解析】解：根据题意得：，
∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变．
故选：C．
3．根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论．
【解析】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得，，
∴括号内应填x-1．
故选：B．
4．若，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，令，再逐一通过计算判断各选项，从而可得答案.
【解析】解：当，时，
，，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
而 故C符合题意；
．故D不符合题意
故选：C．
5．下列分式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐一判断即可.
【解析】解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
，故C符合题意；
故D不符合题意；
故选C
6．对分式，，通分时，最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】按照找最简公分母的方法即可确定三个分式的最简公分母．
【解析】系数的最小公倍数为12，因式x与y的最高次数分别为一次与二次，所以最简公分母为；
故选：A
题组B 能力提升练
1．若把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的D．不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解析】解：∵，
∴把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，
故选：D．
2．下列分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式、公因式，都不是最简分式．
【解析】选项A不能约分，是最简分式；
选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；
选项C中，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式；
选项D中分子分母有公因式，可约分，不是最简分式；
故选：A．
3．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐项判断即可．
【解析】解：∵，
∴选项A不符合题意；∵，
∴选项B不符合题意；∵，
∴选项C不符合题意；∵，
∴选项D符合题意．
故选：D．
4．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可．
【解析】A、，分子分母没有公因式，故A选项正确；B、，分子分母有公因式a，故B选项错误；C、，分子分母有公因式，故C选项错误；D、，分子分母有公因式，故D选项错误；故答案选：A．
5．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2022倍，则变化后分式的值（ ）
A．扩大为原来的2022倍B．缩小为原来的
C．保持不变D．以上都不正确
【答案】C
【分析】由题意可知x，y的值同时扩大为原来的2022倍后分别为2022x，2022y，然后代入式子中进行计算即可．
【解析】解：由题意可得：
x，y的值同时扩大为原来的2022倍后分别为2022x，2022y，
∴
∴将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2022倍，则变化后分式的值保持不变，
故选：C．
6．如果把分式中的x，y都乘以3，那么分式的值（ ）
A．变成3倍B．不变
C．变成原来的D．变成9倍
【答案】B
【分析】把分式中的x，y都乘以3，可得，即可得到分式的值不变．
【解析】解：把分式中的x，y都乘以3，可得
，
∴分式的值不变，
故选：B．
7．已知，则的值为_________．
【答案】
【分析】由已知得到，整体代入求解即可．
【解析】解：由已知，得：，即，
∴，
故答案为：．
8．填空：＝．
【答案】
【分析】由题意知，根据分式的性质，分子和分母同时乘以或除以（不为0的数或整式），分式值不变，进行化简即可．
【解析】解：由题意可知
故答案为：．
9．分式与的最简公分母是_____．
【答案】m（m+3）（m﹣3）
【分析】先把两分式化成最简形式得＝；＝，然后确定最简公分母即可．
【解析】解：化简两分式得：＝，＝
∴最简公分母是m（m+3）（m﹣3）．
10．化简：__．
【答案】
【分析】先把分母分解因式，再约分即可得到答案.
【解析】解：．
故答案为：．
题组C 培优拔尖练
1．下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为0，则x的值为
B．根据分式的基本性质，可以变形为
C．分式中的x，y都扩大3倍，分式的值不变
D．分式是最简分式
【答案】D
【分析】根据分式的值为0的条件判断A；根据分式的基本性质判断B、C；根据最简分式的定义判断D．
【解析】解：A．分式的值为0，则的值为2，故本选项说法错误，不符合题意；B．根据分式的基本性质，当时，可以变形为，故本选项说法错误，不符合题意；C．分式中的，都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故本选项说法错误，不符合题意；D．分式是最简分式，故本选项说法正确，符合题意；故选：D．
2．小丽在化简分式时，部分不小心滴上小墨水，请你推测（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣1D．x2﹣2x﹣1
【答案】A
【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
故*部分的式子应该是x2﹣2x+1．
故选：A．
3．分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质进行分析判断．
【解析】解：，
故C的变形符合题意，A、B和D的变形不符合题意，
故答案为：C．
4．下列等式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法将分子与分母分解因式，再利用分式的性质分别化简，进而判断即可．
【解析】A. ，成立，不符合题意；B. ，成立，不符合题意；C. ，不成立，符合题意；D. ，成立，不符合题意；故选C
5．已知三个正数，，满足，则的值为（ ）
A．2B．3C．－1D．1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，将原式化为，从而得到，进而得到，再次利用分式的基本性质变形，即可求解．
【解析】解：∵，
∴






．
故选：D
6．关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解析】解：A、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；B、，故分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；C、，故分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意；D、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意；故选：D．
7．写出下列各组分式的最简公分母：_________．
【答案】2x（x+3）（x-3）
【分析】根据最简公分母的确定方法解答．
【解析】解：的最简公分母是2x（x+3）（x-3），
故答案为：2x（x+3）（x-3）．
8．把分式化为最简分式为________．
【答案】
【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式．
【解析】
故答案为：
9．已知的值为4，若分式中的、均扩大2倍，则的值为__________．
【答案】8
【分析】首先把分式中的x、y均扩大2倍，然后约分化简，进而可得答案．
【解析】解：分式中的x、y均扩大2倍得：=2×4=8，
故答案为：8．
10．下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③ ④，错误的是_____．（填序号）
【答案】③④
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解析】解：③原式= ，故③错误；
④原式= ，故④错误；
故答案为③④．
11．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：=
=1+．
（1）请写出分式的基本性质 ；
（2）下列分式中，属于真分式的是 ；
A． B． C．﹣ D．
（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．
【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C；（3）=m﹣1+
【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；
（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断即可；
（3）先把转化为得到，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式．
【解析】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．
（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式，
故选：C．
（3）∵=m﹣1+，
∴故答案为：m﹣1+．
12．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值 ；
（3）在分式运算中，我们也会用到判断和谐分式时所需要的知识，请你用所学知识，化简
【答案】（1）分式是和谐分式，故答案为：②；（2） （3）
【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．
【解析】解：（1）②分式，不可约分，
∴分式是和谐分式，
故答案为：②；
（2）∵分式 为和谐分式，且a为整数，
∴
课程标准
课标解读
1.理解和掌握分式的根本性质；
2.能利用分式的根本性质进展约分和通分。
掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算。