苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第12讲 三角形的中位线（学生版）

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知识精讲
知识点 三角形的中位线
（一）三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
【微点拨】
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系。
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的。
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线。
（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。
【微点拨】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成：
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形；
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形；
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。
【即学即练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
【即学即练2】已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD．E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG=OH．
能力拓展
考法 三角形的中位线
【典例1】已知：如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当______时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）．
【典例2】如图1，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，延长、相交于点，连接、、，若，求四边形的面积．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若BC=8cm，则DE=（ ）
A．16cmB．8cmC．4cmD．无法确定
2．如图，平行四边形中，对角线，交于点O，点E是的中点．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，，，，、分别是、的中点，则的长是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，，，，D、E分别是、的中点，则的长为（ ）
A．3B．2.5C．4D．3．5
5．如图，在四边形中，，，、、分别是、、的中点，若，，则等于（ ）
A．76°B．56°C．38°D．28°
6．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
7．如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝1.5，则BC的长是___．
9．已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为6cm，则原三角形的周长为_______cm．
10．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=2，BC=6，则OB的长为______．
题组B 能力提升练
1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为各边的中点，AH是高．若∠DEF=65°，则∠DHF的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
2．如图，在△ABC中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为（ ）
A．32B．16C．8D．4
3．在中，分别为边上的中点，连接到，使得，连接，则长为（ ）
A．2B．C．4D．
4．如图，在△ABC中，点、分别是、的中点，，点是上一点，．连接、，若，则的长度为（ ）．
A．18B．16C．14D．12
5．如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A．3.5B．4C．7D．14
6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点、DE＝3，那么BC的长为( )
A．4B．5C．6D．7
7．如图，在△ABC中，，是的角平分线，是中点，连接，若，则______．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝_____cm．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD＝5，则EF＝___．
10．如图，中，，，，，分别是和上的点，且，，连接，，、分别是和的中点，连接，则线段的长为__________．
11．如图所示，在中，为的中点，为的平分线，于，，，求的长．
12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F 分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=20°，求∠PFE的度数．
13．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
14．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，点E在AD上且DE=2，点G在AE上且GE=4，点P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF+EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知四边形中，，，，点、分别是边、的中点，连接，则的长是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在矩形中，，，点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．5
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若BF＝2，则EF的长是（ ）
A．B．2C．D．3
5．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）．
A．3B．C．4D．2
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=60°，点E是AB的中点，连接CE、OE，若AB=2BC，下列结论：①∠ACD=30°；②当BC=4时,BD=；③CD=4OE；④S△COE=S四边形ABCD．其中正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是直线DE上一点，连接AF、BF，若∠AFB=90°，AB=6，BC=10，则EF的长是__________．
8．已知：如图，线段AB＝6cm，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB作等边△APC、等边△BPD，连接CD，点M是CD的中点，当点P从点A运动到点B时，点M经过的路径的长是_____________cm．
9．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则_______．
10．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为CD、BC的中点，AM＝6，AN＝3，∠MAN＝60°，则对角线BD的长为_____．
11．如图．在△ABC中，．
（1）按要求画图．尺规作图作出的角平分线（射线）BD．交AC于点E；
（2）在（1）的结果下．画图并计算：点F为BC的中点．连接EF，若，求的周长．
12．如图，在△ABC中，、分别是边、边上的中线，与相交于点，连接．
（1）若，则__________．
（2）判断和的数量关系，并且证明你的结论．
13．如图，在四边形中，点E是线段上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是，，的中点．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，且，判断四边形的形状，并说明理由．
14．已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE．
（1）如图1，求证：AE⊥AC；
（2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长．
课程标准
课标解读
探究并证明三角形的中位线定理
1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理。
2. 掌握中点四边形的形成规律。