陕西省安康中学本部和分校2021-2022学年高二上学期期末理科数学试题

这是一份陕西省安康中学本部和分校2021-2022学年高二上学期期末理科数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．已知向量，，且与互相垂直，则（ ）
A．B．C．D．
5．从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题中是真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分非必要条件
B．“”是“”的必要非充分条件
C．在中“”是“”的充分非必要条件
D．“”是“”的充要条件
7．已知梯形ABCD中，，，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知棱长都为4的四棱锥，底面ABCD是菱形，E为AD的中点，，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，是椭圆两个焦点，P在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
10．如图①所示，将一边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥，其主视图与俯视图如图②所示，则左视图的面积为（ ）

图① 图②
A．B．C．D．
11．已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．设双曲线C：，的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P．若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（ ）
A．B．C．20D．40
二、填空题
13．抛物线的焦点坐标为________．
14．若x，y满足约束条件，则的最大值为________．
15．已知圆C的圆心与点关于直线对称，直线与圆C相交于A、B两点，且，则圆C的方程为________．
16．已知，为椭圆和双曲线的公共焦点，P为和的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为________．
三、解答题
17．在中，．
（1）求的大小；
（2）若，．求的面积．
18．已知数列满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19．已知梯形BFEC如图甲所示，其中，，，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面平面ABCD，得到如图乙所示的几何体．
（1）求证：平面ABCD；
（2）若点H在线段BD上，且EH与平面BEF所成角的正弦值为，求线段DH的长度．
20．已知点在抛物线C：上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为，，若直线DE过点
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线AD，AE的斜率之积．
21．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是（是参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
22．在平面直角坐标系xOy中，动点，满足，记点P的轨迹为E．
（1）请说明E是什么曲线，并写出它的方程；
（2）设不过原点O且斜率为的直线l与E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为T，直线OT与E交于两点C，D，请判断与的关系，并证明你的结论．
安康中学本部和分校高二年级第一学期期末联考
理科数学参考答案
1．解：，
所以．
故选：C．
2．解：因为，所以由已知得，
又，所以，所以，
所以，
所以．
故选：D．
3．命题p：，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，
所以命题p：，，则为：，．
故选：B
4．∵，，又与互相垂直，
∴，解得：．
故选：D．
5．5个数取3个数的所有情况如下：
共10种情况，而能构成三角形的情况有共3种情况，故所求概率．
故选：C．
6．当，时，，，非充分，故A错．
当不能推出，所以非充分，
，所以是必要条件，故B正确．
当在中，，
反之，故为充要条件，故C错；
当时，，，，是充分条件，
因为，当时成立，非必要条件，故D错．
故选：B．
7．因为，，，
所以
又，
所以，．
故选：D．
8．如图，
分别取BC，PB的中点F，G，连接DF，FG，DG．因为E为AD的中点，四边形ABCD是菱形，所以，，所以是异面直线PC与BE所成的角．
因为四棱锥的棱长都为4，，
所以，，，
所以，
所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为，
故选：B．
9．由题意知，当的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的顶点重合，
∵时，的面积最大，∴，．
∴椭圆的标准方程为．
故选：A．
10．由主视图可以看出，A点在面BCD上的投影为BD的中点，
由俯视图可以看出C点在面ABD上的投影为BD的中点，
所以其左视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边长为，
于是左视图的面积为．
故选：A．
11．由题意知球的直径等于正方体面的对角线长，
所以球的半径，设圆柱的高为h，则底面圆半径，
所以
当时取得最大值，且最大值为．
故选B．
12．∵双曲线C的方程为：，，∴，
设以为直径的圆与直线相切与Q点，则，且，，
∴．
又∵O为的中点，∴，
又∵，∴，
∴的面积为：
13．由，得，故抛物线的焦点坐标为．
故答案为：
14．根据题意，不等式组所表示的可行域如图阴影部分，
由图易知，取最大值的最优解为，故．
故答案为：3．
15．设圆C的圆心，依题意，，解得，即圆心，
点C到直线的距离，因圆C截直线所得弦AB长为6，
于是得圆C的半径
所以圆C的方程为：．
故答案为：
16．解：设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，
公共焦距为2c，设，，不妨设，
则有，，，，
由，所以在中，
有，
代入可得
，
所以，
所以由基本不等式得，
当且仅当，即，时等号成立，
所以
故答案为：
17．（1）解：由正弦定理可得，即
，即
，又在中，，
所以，，所以；5分
（2）由余弦定理得，即，解得，，，
所以；10分
18．（1），即，
所以数列为等差数列，公差为1，首项为1，
所以，即5分
（2）令，
所以，
所以12分
19（1）∵平面平面ABCD，平面EDAF
平面平面，，
∴平面ABCD；4分
（2）建系如图：
设平面BEF的法向量，，，，
，，
，则，7分
设，，
，
解得或（舍），10分
，∴．12分
20．（1）解：∵点在抛物线C：上 ∴
∴故5分
（2）设直线DE方程为：
联立方程，整理得：7分
由题意及韦达定理可得：
∴，10分
∴12分
21．（1）因为，
所以，即，3分
将，代入，得直线l的直角坐标方程是．
由得曲线C的普通方程是．6分
（2）设曲线C上任一点以，
则点P到直线l的距离10分
当时，，故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为12分
22．（1）设，，则因为，
满足，即动点P表示以点，为左、右焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，其轨迹的方程为；4分
（2）可以判断出，
下面进行证明：
设直线l的方程为，，，
由方程组，得 ①，6分
方程①的判别式为，由，即，解得且．
由①得，，
所以T点坐标为，直线OT方程为，
由方程组，得，，9分
所以．
又
．
所以12分