2021-2022学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若复数为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设都是正数，则三个数(    )

A. 都大于 B. 都小于
C. 至少有一个大于 D. 至少有一个不小于

3. 观察下列各式：，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法错误的是(    )

A. 在回归直线方程中，与具有负线性相关关系
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于
C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位
D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小

5. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知的展开式二项式系数和为，则展开式中常数项是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若某射手每次射击中目标的概率为，每次射击的结果都是相互独立，若该射手连续射击次，随机变量表示击中目标的次数，则的标准差为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若函数在上可导，且满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，由抛物线和直线所围成的图形的面积等于．(    )

A.  B.  C.  D.

10. 某乡村旅游景点打造的民宿类型种数与年游客接待人数单位：万人之间有如表对应数据：

根据如表，求出关于的回归直线方程为则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知，观察下列不等式：
    ；
    ；
    ；
    
    按此规律，第个不等式为______．
14. 将名教师分配到所中学任教，每所中学至少名教师，则不同的分配方案共有个______用数字作答．
15. 已知函数，且，则实数的值为______．
16. 已知多项式，则______，______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知函数．
    当时，求；
    当，求的极值．
18. 为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了名成年人，然后对这人进行问卷调查．这人所得的分数都分布在范围内，规定分数在分以上含分的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．
    
    根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数中位数保留小数点后一位
    将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取人，记“具有很强安全意识”的人数为，求的分布列及数学期望．
19. 近年来，高铁的发展逐渐改变了人们的出行方式，我国年高铁运营里程的数据如下表所示．

若与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；
每一年与前一年的高铁运营里程之差即为该年新增的里程，根据这五年的数据，若用年每年新增里程的频率代替之后每年新增相应里程的概率，求年中国高铁运营里程大于或等于万千米的概率．
附：线性回归方程，

20. 已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线．
    求，，的值；
    求公切线所在的直线方程；
    若抛物线上的点到直线的距离最短，求点的坐标和最短距离．
21. 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人岁以下喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者岁以上更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取名顾客进行调查，得到了如下列联表：

请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了人，为进一步了解情况，再从抽取的人中随机抽取人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数的分布列及数学期望．
附：，其中．

22. 已知函数．
    求函数的单调区间；
    若函数无零点，求实数的取值范围；
    若函数有两个相异零点，，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
由复数模公式可得，．
故选：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：假设三个数都小于，，，都是正数，
则，，，
，推出矛盾．
因此假设不成立，三个数中至少有一个不小于．
故选：．
假设三个数都小于，，，都是正数，可得，，，，推出矛盾．即可得出结论．
本题考查了反证法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，，，，，等式右边对应的数为，，，，，．
所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；
因此，求，即是求数列“，，，，，”中的第项
所以对应的数列为“，，，，，，，，，“，即第项为．
故选：．
根据题中数据，归纳推理，即可得出结果．
本题考查归纳推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对：由，可得在回归直线方程中，与具有负线性相关关系，故A正确；
对：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大，故B错误；
对：在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均减小个单位，故C错误；
对：对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小，故D错误．
故选：．
对：求得与具有负线性相关关系判断；利用相关系数的性质判断；由回归系数与预报变量间的关系判断；利用回归直线的相关的定义判断．
本题考查线性回归方程和相关系数、指数的变化与效果的关系，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：函数，则为偶函数，
，一定为奇函数，故可排除、，
又，
由三角函数可知：时，，
时，，单调递减，故排除．
故选：．
首先利用原函数的奇偶性判断导函数的奇偶性，在求二阶导数，来判断一阶导数的单调性．
本题考查了函数奇偶性以及导函数与原函数的关系，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由二项式系数的性质，可得，解可得，；
的展开式为，
令，可得，
则展开式中常数项为：．
故选：．
根据二项式系数和公式即可求出的值，再求出展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解．
本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，随机变量满足二项分布，即，
所以方差，
所以的标准差为：．
故选：．
根据题意得到，求出方差，再求解标准差即可．
本题考查离散型随机变量的标准差，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，
，

即在上单调递减函数
即
故选：．
根据条件可构造函数，然后得到函数的单调性，从而得到所求．
本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】：
本题考查了定积分的几何意义；关键是正确利用定积分表示阴影部分的面积，属于中档题．
首先利用定积分的几何意义表示阴影部分的面积，然后计算定积分即可．
【解答】：
解：由抛物线和直线所围成的图形的面积等于；
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：由表中数据可得，，，
关于的回归直线方程为，
，解得．
故选：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，是基础题．
利用古典概型分别求出，，由此能求出．

【解答】

解：某医生从“三药三方”中随机选出两种，
事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，
则，
，
．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：由，得，，
因为与关于直线对称，
在同一坐标系下，画出，，，的图象，
如图所示：

则，，，，关于对称．
所以，，故B错误．
因为，，，所以，故A错误．
因为，，在上为增函数，
，所以．
又因为点在直线上，且，所以成．
，故C正确．
因为，所以，
设，在为增函数．
所以，
即，故D错误．
故选：．
根据与关于直线对称，画出图象，再结合导数及零点依次判断选项即可．
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由；
；
；

按此规律，第个不等式为：，
故答案为：
由归纳推理易得：．
本题考查了归纳推理，属简单题．
 

14.【答案】 

【解析】解：将名教师分配到所中学任教，每所中学至少名教师，
只有一种结果，，，
首先从个人中选个作为一个元素，
使它与其他两个元素在一起进行排列，
共有种结果，
故答案为：．
由题意知将名教师分配到所中学任教，每所中学至少名教师，只有一种分法，，，从个人中选个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，得到结果．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，而．
所以．
故答案为：．
由导数的定义知，再对求导，根据导数值求参数即可．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：，
；
令，则，
令，则，
．
故答案为：，．
相当于是用中的一次项系数乘以展开式中的一次项系数加上中的常数项乘以展开式中的二次项系数之和，分别令，，即可求得的值．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，，
则，所以；
当时，，
则，
令，则或，
所以当或时，；当时，，
所以，． 

【解析】将代入中，求导后，求出即可；
将代入中，求导后判断导函数在各区间上的符号，再求出极值即可．
本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了方程思想，属基础题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图，众数为分，
又因为，
所以中位数在之间，为分；
由频率分布直方图，抽到“具有很强安全意识”的成年人的概率为，
所以，，，，，
，
，
故的分布列为

期望． 

【解析】结合众数及中位数的定义与频率分布直方图即可计算；
由题意得，，结合二项分布的概率及期望公式即可求解．
本题考查了频率分布直方图的数字特征以及二项分布的分布列与期望，属于中档题．
 

19.【答案】解：依题意，，，
为、、、、，为、、、、，，，
，，，
关于的线性回归方程；
每年新增高铁运营里程为万千米，则的取值为、、，
，，，若年中国高铁运营里程小于万千米，则从年到年每年新增的高铁里程有，，共种情况，概率，
年中国高铁运营里程大于或等于万千米的概率为． 

【解析】运用最小二乘法直接求解；
首先求得每年新增里程的概率，然后从年到年需要新增的里程方法，从而求解．
本题考查了线性回归直线方程的求法及随机变量概率的求法，是中档题．
 

20.【答案】解：将分别代入两曲线方程得到，．
两个函数的导函数分别是，，
又，，则，
联立，解得，，；
由知，，，
当时，，故切线方程为，即．
由知，，，
当时，，故切线方程为，即．
综上所述，公切线所在的直线方程为；
由知，要使抛物线上的点到直线的距离最短，
则抛物线在点处的切线斜率应该与直线的斜率相同，则，
解得，又点在抛物线上，解得．
最短距离即为点到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．
即最短距离为． 

【解析】将分别代入两曲线方程得到，再由两函数在处的导数值相等，可得，联立方程组即可求得，，的值；
由知，，，分别求出两曲线在点处的切线方程即可；
由知，由题意可得抛物线在点处的切线斜率应该与直线的斜率相同，由此求得的纵坐标，再由点到直线的距离公式求点的坐标和最短距离．
本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：根据题意，可得如下的的列联表：

则
所以没有足够的理由认为有的认为喜欢阅读电子书与年龄有关．
由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为名，
所以随机变量的所有可能取值为，，，，
由超几何分布的分布列可得；
；
；
，
所以的分布列为：

则期望为． 

【解析】根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可求解；
由题意得到随机变量的所有可能取值为，，，，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式求得期望值．
本题主要考查随机变量及其分布列，概率统计的应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：由题可知的定义域是，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，所以在上单调递增，
当时，所以在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由可知，要使函数无零点就需要，
此时在上递增，在上递减，
，欲使函数无零点，
则只要，即，，
所以的范围是．
证明：因为有两个相异的零点，又由于，
故不妨设，且有，，
，
要证，
，
，
令，则，所以只要证明时恒成立，
令，
，由于已知，恒成立，
所以在递增，，
所以时，恒成立，即恒成立，
所以证明． 

【解析】分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调区间；
根据的结果，若函数无零点，需要，利用函数的单调性，求解函数的最大值即可．
设令，得到，转化为，令，构造关于的函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．