苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第26讲 用一次函数解决问题（学生版+教师版）

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知识点01 数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
【即学即练1】某市移动通讯公司推出两种上网的收费方式，其月费用y（单位：元）关于月上网时间x（单位：h）的函数解析式分别为：，（a，b为常数），这两种收费方式的函数图象如图所示，当两种收费方式的月费用相同时，月上网时间是（ ）
A．B．C．25hD．
【答案】D
【分析】根据函数关系式，结合函数图象建立方程即可求解．
【详解】解：根据函数图象可知，的交点在之间，
∴由函数图象可知，
，
解得．
故选：D．
知识点02 实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
【微点拨】
要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
【即学即练2】某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为元，若与x之间的函数关系如图所示，其中对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（ ）
A．当月用车路程为时，租赁甲汽车租赁公车比较合算．
B．当月用车路程为时，两家汽车租赁公司租赁费用相同．
C．当月用车路程为时，租赁乙汽车租赁公车比较合算．
D．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司少，
【答案】D
【分析】根据函数图象，横坐标表示路程，纵坐标表示收费，根据图象上特殊点的意义即可求出答案．
【详解】A：由图象可得，当月用车路程为时，即租赁甲汽车租赁公车比较合算，说法正确，故此选项不合题意；
B：由图象可得，当月用车路程为时，即两家汽车租赁公司租赁费用相同，说法正确，故此选项不合题意；
C：由图象可得，当月用车路程为时，即租赁乙汽车租赁公车比较合算，说法正确，故此选项不合题意；
D：除去月固定租赁费，图象斜率更大，即甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多，说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
知识点03 选择最简单方案
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【即学即练3】学校计划为校园科技读书节获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲、乙两种奖品的单价分别为20元、10元，共需购买50件，设甲种奖品购买（件），购买两种奖品的总费用为（元）．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，如何购买费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)
(2)甲种奖品购买13件，乙种奖品购买37件时，费用最少，最少为630元
【分析】（1）分别算出甲、乙两种奖品的费用相加即是总费用；
（2）一次函数的系数，故根据函数的性质可知随的增大而增大，根据题（1）可求最小值．
【详解】(1)解：根据题意，甲种奖品购买件，则乙种奖品购买件，由题意得：
．
∴关于的函数解析式为．
(2)由题意得：，
解得：，
由（1）得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，（元），
乙：（件）．
答：甲种奖品购买13件，乙种奖品购买37件时，费用最少，最少为630元．
考法01 一次函数解析式的求法
用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式
【典例1】已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点(－2，4)，且与正比例函数y＝2x的图像平行．
(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)求一次函数y＝kx＋b的图像与坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先根据两个函数的图像平行可得，再将点代入即可得；
（2）先分别求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解】(1)解：一次函数的图像与正比例函数的图像平行，
，
一次函数的解析式为，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为．
(2)解：画出一次函数的图像如下：
当时，，解得，即，
当时，，即，
则一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为．
考法02 一次函数的实际应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
【典例2】甲，乙两同学住在同一小区，是某学校的同班同学，小区和学校在一笔直的大街上，距离为2560米，在该大街上，小区和学校附近各有一个公共自行车取（还）车点，甲从小区步行去学校，乙比甲迟出发，步行到取车点后骑公共自行车去学校，到学校旁还车点后立即步行到学校（步行速度不变，不计取还车的时间）．设甲步行的时间为x（分），图1中的线段OM和折线分别表示甲、乙同学离小区的距离y（米）与x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人的距离s（米）与x（分）的函数关系的图象（一部分）．根据图1、图2的信息，解答下列问题：
(1)分别求甲、乙两同学的步行速度与乙骑自行车的速度；
(2)求乙同学骑自行车时，y与x的函数关系式和a的值；
(3)补画完整图2，并用字母标注所画折线的终点及转折点，写出它们的坐标．
【答案】(1)乙同学的步行速度为60m/min，乙骑车的速度为160m/min，甲的步行速度为80m/min；
(2)y=160x-1200，a=15；
(3)F（5,400），D（9,480），E（15,0），A（25,80），B（29,240），C（32,0），补充图象见解析．
【分析】（1）结合函数图象可得在PQ段时，乙同学在5-9分走了240m，得出乙的步行速度；由RT段可知，求出步行时间，结合图象得出乙骑行的时间及路程，即可得出骑行的速度；结合（图2）在9min时，两人相距480m，得出甲在9min时走了720m，即可得出甲步行的速度；
（2）由（1）得出m=25，确定点Q（9,240），R（25,2800），利用待定系数法即可确定函数解析式；结合图象，两人在a分钟时第一次相遇，列出方程求解即可；
（3）根据图象利用时间、速度、路程的关系分别得出F（5,400），D（9,480），E（15,0），A（25,80），B（29,240），C（32,0），然后画出相应图象即可．
(1)解：根据题意可得，
在PQ段时，乙同学在5-9分走了240m，
∴乙同学的步行速度为：240÷4=60m/min，
由RT段可知，乙同学从2800m走到2560m共走了240m，
∴用时为240÷60=4min，
∴m=29-4=25，
∴乙同学骑车的时间为25-9=16min，共骑了2800-240=2560m，
∴乙骑车的速度为：
2560÷16=160m/min，
由图2可知，在9min时，两人相距480m，
∵乙在9min时走了240m，
∴甲在9min时走了240+480=720m，
∴甲的步行速度为：720÷9=80m/min；
(2)由（1）得出m=25，
∴Q（9,240），R（25,2800），
设y与x的关系式为y=kx+b，
，
解得：，
∴关系式为：y=160x-1200，
由（1）得，在9min时两人相距480m，甲的步行速度为80m/min，乙同学的骑行速度为160m/min，两人在amin时第一次相遇，
∴160（a-9）-80（a-9）=480，
解得a=15；
(3)解：在25min时，乙到了2800m处，
甲走了80×25=2000m，
两人相距2800-2000=800m，
∴A（25,80）；
甲走完全程用时2560÷80=32min，
∴C（32,0）；
在29min时，乙到了2560m时，甲走了80×29=2320m，
两人相距2560-2320=240m，
∴B（29,240）；
由（2）得a=15，
∴E（15,0）；
由图可得D（9,480），
由（1）得甲的步行速度为80m/min，
前5min只有甲行走，乙不走，距离为：80×5=400m，
∴F（5,400）；
∴F（5,400），D（9,480），E（15,0），A（25,80），B（29,240），C（32,0）．
图象如图所示：
题组A 基础过关练
1．一次函数不经过第三象限，则下列选项正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】直接根据一次函数的图像与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵直线y=kx+b不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0．
故选：D．
2．“漏壶”是一种古代计时器，如图所示，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示y与x对应关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【详解】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，y随x的增大而减小，符合一次函数图象，
故选B．
3．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为（ ）
A．小于4件B．大于4件C．等于4件D．不小于4件
【答案】B
【分析】根据图像即可求解．
【详解】解：由图可知，
当销售收入大于销售成本时，即的图像在的上方，
则的部分的图像在的上方，
故选：B．
4．一次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，且函数y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质，得出，，解不等式即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，且函数y随x的增大而减小，
∴，，
解得，，
故选：D．
5．“六·一”儿童节，学校六（1）班王老师带领班上名学生参观植物博览园．成人票单价20元，学生票单价10元．总费用（元）与的函数关系式为______．（不要求写自变量取值范围）
【答案】y=10x+20
【分析】根据总费用=学生费用+老师费用列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：y=10x+20，
故答案为：y=10x+20．
6．关于x的一次函数的图像经过第一、三、四象限，则m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）的图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】解：由一次函数y＝（2-m）x﹣3m的图象经过第一、三、四象限，知
2-m＞0，且-3m＜0，
解得，0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．
7．某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/计．B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/计．按照此类收费标准，
（1）若每月平均通话时间为，你选择哪类收费方式？
（2）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等？
【答案】（1）选择A类收费方式；（2）每月通话，两类收费方式所缴话费相等
【分析】（1）设应交费用为y元，通话时间为x分；根据题目中收费标准可列出函数关系式，再根据两种收费方式，计算结果比较得出答案即可；
（2）设每月通话时间x分钟，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等列出方程解答即可．
【详解】解：（1）设应交费用为y元，通话时间为x分，由题意得：
A类：y=0.2x+12，B类：y=0.25x；
A类收费：12+0.2×300=72元；
B类收费：0.25×300=75元；
75＞72，
所以选择A类收费方式；
（2）设每月通话时间m分钟，由题意得
12+0.2m=0.25m，
解得：m=240．
答：每月通话时间240分钟，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等．
题组B 能力提升练
1．下列图象中不可能是一次函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别根据四个答案中函数的图象求出m的取值范围即可．
【详解】解：A、由函数图象可知，解得0＜m＜3；
B、由函数图象可知，解得m>3；
C、由函数图象可知，解得m＜0；
D、由函数图象可知，解得m＜0，m＞3，无解．
故选：D．
2．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图像必经过点B．它的图像经过第一、二、三象限
C．当时，D．的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】利用一次函数图像的性质对各个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A、当时，代入函数得，，所以该函数图像不经过点，故此选项不符合题意；
B、，，所以该函数图像经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
C、当时，，又因为，的值随值的增大而减小，所以当时，，故此选项符合题意；
D、，所以的值随值的增大而减小，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．
【答案】A
【分析】分一次函数的图象经过第二、四象限或经过第二、三、四象限两种情况考虑，当一次函数的图象经过第二、四象限时，可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之可得出此种情况不存在；当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：当一次函数的图象经过第二、四象限时，，无解，舍去；
当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，，
解得：．
故选：A．
4．一家游冰馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游冰馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡
【答案】C
【分析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，分别求出y与x的解析式，当45x55时，求出1175yA1425；1100yB1300；1075yC1225；1350yD1650，比较可得答案．
【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
∴yA=50+25x，yB=200+20x，yC=400+15x，不办会员卡时yD=30x，
当45x55时，
1175yA1425；
1100yB1300；
1075yC1225；
1350yD1650，
由此可见，C类会员卡消费最低，
∴最省钱的方式为购买C类会员卡，
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中有两点，，点M是y轴上一点，使最小，则点M的坐标为（ ）
【答案】
【分析】作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点M，则AM=CM，可得BC与y轴的交点M即为所求，然后求出直线BC的解析式，即可求解．
【详解】解：如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点M，则AM=CM，
∴MA+MB=MC+MB≥BC，
即BC与y轴的交点M即为所求，
∵点，
∴点C（-1，4），
设直线BC的解析式为，
把点C（-1，4），代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
当x=0时，，
∴点M的坐标为．
故答案为：
6．直线不经过第二象限，请写出一个符合条件的b的值______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由直线经过第一，第三象限，而不经过第二象限，则可得到再写一个符合条件的值即可．
【详解】解：∵直线不经过第二象限，

∴符合条件的b的值可以为：
故答案为：
7．平面直角坐标系内有一等边△ABC，点，，点C在y轴的正半轴上，若一次函数的图象与△ABC有交点时，则b的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先求出点C的坐标，然后求出直线恰好经过A、C两个临界点时b的值即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点，，
∴OA=OB=1，
∴AC=AB=2，
∴OC=，
∴点C的坐标为（0，），
当直线恰好经过点A时，，解得，
∴直线恰好经过点C时，，
∴若一次函数的图象与△ABC有交点时，则b的取值范围是
故答案为：．
8．小南骑自行车从地向地出发，1小时后小通步行从地向地出发．如图，两条线段、分别表示小南、小通离地的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：h）之间的函数图像，根据图中的信息，则小南、小通的速度分别是 ______ km/ h，______ km/ h．
【答案】 16 8
【分析】根据图像可以得到小南0.5h步行8 km，小通1h步行8km，然后根据速度公式即可解答．
【详解】小南是速度为： km/ h
小通的速度为： km/ h；
故答案为：16，8
9．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两个顶点坐标为，．
(1)求对角线AC所在直线对应的函数解析式；
(2)若点P在x轴上，且，求直线CP所对应的函数解析式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）确定点的坐标，可以根据待定系数法求函数解析式．
（2）确定的坐标，可以根据待定系数法求函数解析式．
【详解】(1)解：设直线对应的函数解析式为，
依题意，，
得，
由，在直线上，
得，
解得，
故直线对应的函数解析式为．
(2)解：，
，
，
或
设直线的解析式为，
把的坐标代入得，或
解得或，
直线所对应的函数解析式为或．
10．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如表：
设其中甲种商品购进x件，商场售完这批商品的总利润为y元．
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)若获得的利润恰好为2800元，求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
【答案】(1)
(2)甲20件，乙80件
【分析】（1）根据利润等于售价减去进价再乘以数量即可求解；
（2）根据（1）中的关系式，令，解关于的一元一次方程即可求解．
【详解】(1)解： ，
即：．
(2)解：当时，
即，
解得：，
∴（件）．
答：该商场购进甲种商品20件、乙种商品80件．
题组C 培优拔尖练
1．若，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数图象与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵，
∴k与b异号，
A、k>0，b>0，kb>0，不符合题意；
B、k>0，b