初中数学苏科版七年级上册5.3 展开与折叠导学案

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知识精讲
知识点01 正方体的表面展开图
正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型，6种；二三一型，3种；三三型，1种；二二二型，一种。
【微点拨】
正方体展开图口诀：
1、一线不过四；田凹应弃之。
2、找相对面：相间，“Z”端是对面。
3、找邻面：间二，拐角邻面知。
【即学即练1】
1．如图所示的4个展开图中，不能做成没有顶盖的小方盒的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据正方体的展开图特点即可得．
【详解】
观察4个展开图可知，选项A、B、C的展开图可以做成没有顶盖的小方盒，选项D的展开图中的上方两个小正方形会重叠，因此做成的小方盒没有顶盖和一个侧面，
故选：D．
知识点02 棱柱的表面展开图
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。
【即学即练2】2．下图是一个三棱柱纸盒的示意图，则这个纸盒的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
从俯视图看三棱柱纸盒，满足条件的是C、D；从右侧看三棱柱纸盒，斜线图是从左上到右下，D不符合题意，其它两面看不到，综合即可．
【详解】
解：从俯视图看三棱柱纸盒，满足条件的是C、D；A与B不符合题意，
从右侧看三棱柱纸盒，斜线图是从左上到右下，D不符合题意，
其它两面看不到，为此综合符合题意的选项为C．
故选择：C．
知识点03 圆柱、圆锥的表面展开图
1、圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆（底面）和一个长方形（侧面）组成，其中侧面展开图长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高。
2、圆锥的表面展开图是由一个（侧面）和一个圆（底面）组成，其中扇形的半径长是圆锥母线（即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长
【即学即练3】3．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，三棱锥，圆柱，正方体B．圆锥，四棱锥，圆柱，正方体
C．圆锥，四棱柱，圆柱，正方体D．圆锥，三棱柱，圆柱，正方体
【答案】D
【分析】
根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．
【详解】
解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，三棱柱，圆柱，正方体．
故选：D．
能力拓展
考法01 正方体的展开图的识别
1、一线不过四；田凹应弃之。
2、找相对面：相间，“Z”端是对面。
3、找邻面：间二，拐角邻面知。
【典例1】下列图形经过折叠后，不能围成正方体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据常见的正方体展开图的11种形式以及不能围成正方体的展开图解答即可．
【详解】
解：A、B、D三个选项的展开图折叠后能围成正方体，且根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“最长两边有，田、凹不能有”，只有C选项不能围成正方体．
故选：C．
考法02 几何体展开图的认识
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。
【典例2】如图，是一个正方体盒子的展开图，则这个正方体可能是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
结合正方体的展开图中圆点所在面的位置，把展开图折叠再观察其位置，即可得到这个正方体．
【详解】
解：把展开图折叠后，只有B选项符合图形，
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．病毒无情人有情，2020年初很多最美逆行者不顾自己安危奔赴疫情前线，我们内心因他们而充满希望．小明同学在一个正方体每个面上分别写一个汉字，组成“全力抗击疫情”．如图是该正方体的一种展开图，那么在原正方体上，与汉字“力”相对的面上所写汉字为（ ）
A．共B．同C．疫D．情
【答案】C
【分析】
根据正方体的展开图的特征进行解答即可．
【详解】
解：根据正方体展开图的特征“相间、Z端是对面”可知，
“力”的对面是“疫”．
故选：C．
2．一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么，在该正方体中，与“手”相对的汉字是（ ）
A．勤B．洗C．口D．罩
【答案】A
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“勤”与“手”是相对面，
“戴”与“罩”是相对面，
“洗”与“口”是相对面．
故选：A．
3．下面平面图形不能围成正方体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据正方体展开图的类型，1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型，进而得出不属于其中的类型的情况不能折成正方体，据此解答即可．
【详解】
解：由展开图可知：A、C、D能围成正方体，不符合题意；
B、围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体，符合题意．
故选：B．
4．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（ ）
A．8B．0C．快D．乐
【答案】A
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中“2”与“8”相对，“0”与“快”相对，“1”与“乐”相对．则如果图中的“2”在正方体的前面，那么这个正方体的后面是“8”．
故选A．
5．下列图形中，是棱锥展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据图形结合所学的几何体的形状得出即可．
【详解】
解：A、是三棱柱的展开图，故此选项错误；
B、是一个平面图形，故此选项错误；
C、是棱锥的展开图，故此选项正确；
D、是圆柱的展开图，故此选项错误．
故选：C．
6．以下几何体的表面展开的图形如图，则它是（ ）
A．棱柱B．球C．圆柱D．圆锥
【答案】D
【分析】
一个几何体的表面展开图中的“圆”是物体的底面，半圆（扇形）是物体的侧面，因此这个物体是圆锥体．
【详解】
展开图中的“圆”是物体的底面，半圆（扇形）是物体的侧面，因此这个物体是圆锥体．
故选：D．
7．下面平面图形经过折叠不能围成正方体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据正方体展开图的类型，1−4−1型，2−3−1型，2−2−2型，3−3型，进而得出不属于其中的类型的情况不能折成正方体，据此解答即可．
【详解】
解：由展开图可知：A、C、D能围成正方体，不符合题意；
B、围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体，符合题意．
故选：B．
题组B 能力提升练
1．小颖在研究无盖的正方体盒子的展开图时，画出下面4个展开图，其中符合要求的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】
解：由正方体四个侧面和上下两个底面的特征可知，第1个、第2个和第3个图形可以拼成一个无盖正方体；而第4个图形不能折成正方体，故不是正方体的展开图．
故选：C．
2．2020年11月兰州市正式获得“全国文明城市称号”，为此小文同学特制了一个正方体玩具，其表面展开图如图所示，在正方体的展开图中，与汉字“明”相对的面上的汉字是（ ）
A．全B．城C．文D．市
【答案】A
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：由正方体的展开图特点可得：与“明”字所在的面上标的字应是“全”．
故选：A．
3．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“静”相对的面上的汉字是（ ）
A．沉B．着C．应D．考
【答案】B
【分析】
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】
解：本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“静”字相对的字是“着”．
故选：B．
4．如图，将平面展开图折叠成正方体后，如果相对面上两个数之和都为0，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据正方体平面展开图的特征判断出相对应的面，再根据“相对应面上的两数之和都为0”即可求出x的值．
【详解】
∵正方体的平面展开图相对应的面之间一定相隔一个正方形，
∴“2”与“x”对应．
又∵相对应面上的两数之和都为0，
∴2+x=0，
∴x=-2．
故选：A．
5．一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为_____cm3．
【答案】6552
【分析】
根据题意，从这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大；因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答．
【详解】
解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3；
故答案为：6552
6．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的方式滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是_______．
【答案】2
【分析】
观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，从而确定答案．
【详解】
观察图形知道：
第一次点数五和点二数相对，
第二次点数四和点数三相对，
第三次点数二和点数五相对，
第四次点数三和点数四相对，
第五次点数五和点二数相对，
且四次一循环，
∵2021÷4=505…1，
∴滚动第2021次后与第一次相同，
∴朝下的数字是5的对面2，
故答案为：2．
7．将一个长为4，宽为3的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，问：得到圆柱体的表面积是______．（表面积包括上下底面和侧面，结果保留）
【答案】或
【分析】
分两种情况分析，分别为长方形绕它的长边和宽边在的直线旋转一周，根据立体图形展开图的性质，结合长方形、圆的面积计算方法，通过计算即可得到答案．
【详解】
如果绕长为４的边所在的直线旋转一周，则：
圆柱体的表面积；
如果绕宽为３的边所在的直线旋转一周，则：
圆柱体的表面积；
∴圆柱体的表面积是或
故答案为：或．
题组C 培优拔尖练
1．如图1是一个正方体的展开图，该正方体按如图2所示的位置摆放，此时这个正方体朝下的一面的字是（ ）
A．中B．国C．梦D．强
【答案】B
【分析】
动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解．
【详解】
解：由图1可得，“中”和第三行的“国”相对；第二行“国”和“强”相对；“梦”和“梦”相对；
由图2可得，此时小正方体朝下面的字即为“中”的相对面对应的字，即为“国”．
故选：B．
2．下列四张纸片中，可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
运用正方体展开图的知识进行作答即可
【详解】
解：由展开图可知：可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是C；
故答案为C.
3．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图的位置正好相反，所以能得到的图形是C．故选C．
4．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
​
​ B．​
C．​ D．​
【答案】B
【分析】
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．
【详解】
选项A、C、D折叠后都符合题意；
只有选项B折叠后两个画一条线段与另一个画一条线段的三角形不交于一个顶点，与正方体三个画一条线段的三角形交于一个顶点不符．
故选B.
5．一个正方体的展开图如图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b﹣2c＝（ ）
A．40B．38C．36D．34
【答案】B
【分析】
由已知条件相对两个面上所写的两个数之和相等得到：8+a=b+4=c+25，进一步得到a-c，b-c的值，整体代入a+b-2c=（a-c）+（b-c）求值即可．
【详解】
由题意8+a=b+4=c+25
∴b-c=21，a-c=17，
∴a+b-2c=（a-c）+（b-c）=17+21=38．
故选B．
6．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与重合的数字是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】D
【分析】
当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，1与13重合、2与4重合、5与7重合、10与12重合，右面一个正方形折成正方体的盖，此时8与2、4的重合，9与1、13的重合．
【详解】
解：当把这个平面图形折成正方体时，与4重合的数字是2、8.
故选：D．
7．如图，有一个无盖的正方体纸盒，的下底面标有字母“”，若沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据无盖可知底面M没有对面，再根据图形粗线的位置，可知底面的正方形位于底面与侧面的从左边数第2个正方形下边，然后根据选项选择即可．
【详解】
∵正方体纸盒无盖，
∴底面M没有对面，
∵沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，
∴底面与侧面的从左边数第2个正方形相连，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，只有A选项图形符合．
故选A．
课程标准
课标解读
认识正方体的不同展开面；并能根据平面展开图来判断是否能够折叠成正方体
建立正方体立体图形中的面与展开面中的面的对应关系，培养空间想象力
通过观察、操作发展空间观念；了解棱柱特征
判断一些平面图能否经过折叠围成棱柱