小学奥数题型总结

这是一份小学奥数题型总结，共23页。试卷主要包含了圆周率常取数据，14×1＝3，常用特殊数的乘积，单位换算，加减法运算性质，5°;分针每分钟走1格，6°等内容，欢迎下载使用。
高年级奥数专题之牛吃草问题
奥数经典问题之工程问题 的解题方法
奥数中的经典问题--行程问题 有多难？
1.圆周率常取数据
3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7
3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26
2.常用特殊数的乘积
125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111
3.100内质数：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
4.单位换算：1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米 1公顷=100公亩=15亩=2.4711英亩 1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米 1立方米=27立方尺=1.308立方码=35.3147立方英尺 1吨=1000公斤=1000千克 1公斤=1000克=2斤（市制）=2.2046磅
5.加减法运算性质：
同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。加、去括号时要注意以下几点：括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号
１、在方框内填上１、２、３、４、５、６、７、８、９九个数字，使等式成立，数字不得重复。
□÷□×□＝□□ □＋□－□＝□

2、一桶油连桶重90千克，用去一半油后，连桶称还重50 千克。原来桶里装有多少千克的油？空桶重多少千克？

3、一座楼房，每上一层要走24级楼梯，小华要到五楼去，共要走多少级楼梯？

4、有甲、乙、丙三个水果箱共装60只苹果，如果从甲箱中取出6只苹果放入乙箱中，再从丙箱中取出3只苹果放入甲箱中，则三箱中苹果只数相等。原来三箱中各有苹果多少只？

5、小明买了一本书和一只书包。买书用去5元8角，买书包用的钱是买书所用钱的5倍。他带去50元钱，还剩多少元？

6、如果：甲÷５＝１２……乙，则乙最大是（ ），甲最大是（ ）。

７、今天（２００３年１２月１３日）是星期六，２００４年元旦（１月１日）是星期几？

８、甲、乙、丙三人的数学期中成绩总和是２８９分，已知甲比乙多８分，乙比丙少８分。甲、乙、丙三人各得多少分？

９、小红和爷爷今年年龄的和是７０岁，５年后小红比爷爷小５０岁，小红和爷爷今年各多少岁？

１０、甲仓库存粮５４吨，乙仓库存粮７０吨，要使甲仓库的存粮数是乙仓库的３倍。那么必须从乙仓库内运送多少吨到甲仓库？

１１、父亲今年５０岁，儿子今年１４岁，几年后父亲的年龄是儿子的３倍？

１２、想想填填：
（１）１、２、３、４；２、３、４、５；３、４、（ ）、６；（ ）、（ ）、（ ）、７
（２）（请按排列规律续画５个图形。）▲▽▲△▲▽▲▽▲△△▲▽▲▽▲▽▲△△△▲▽▲▽▲▽▲▽▲ 。
１３、用６、３、５、８算２４点，列出一至二道算式：

，
１４、想想算算：
（１）１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＋２１＋２３＋２５
＝
＝
＝
（２）（２＋３＋……＋２００２＋２００３）－（２＋３……＋２００１＋２００２）
＝
＝
１５、甲、乙、丙三个数的平均数是１５０，甲１４８，乙与甲相等，丙数电多少？
行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。
一、一般相遇追及问题。包括一人或者二人时(同时、异时)、地(同地、异地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。在杯赛中大量出现，约占80%左右。建议熟练应用标准解法，即s=v×t结合标准画图(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解决，并且要就题论题，所以无法展开，但这是考试中最常碰到的，希望高手做更为细致的分类。
二、复杂相遇追及问题。
(1)多人相遇追及问题。比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我们能碰到的是三人相遇追及问题。解题思路完全一样，只是相对复杂点，关键是标准画图的能力能否清楚表明三者的运动状态。
(2)多次相遇追及问题。即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复相遇和追及，俗称反复折腾型问题。分为标准型(如已知两地距离和两者速度，求n次相遇或者追及点距特定地点的距离或者在规定时间内的相遇或追及次数)和纯周期问题(少见，如已知两者速度，求一个周期后，即两者都回到初始点时相遇、追及的次数)。
标准型解法固定，不能从路程入手，将会很繁，最好一开始就用求单位相遇、追及时间的方法，再求距离和次数就容易得多。如果用折线示意图只能大概有个感性认识，无法具体得出答案，除非是非考试时间仔细画标准尺寸图。
一般用到的时间公式是(只列举甲、乙从两端同时出发的情况，从同一端出发的情况少见，所以不赘述)：
单程相遇时间：t单程相遇=s/(v甲+v乙)
单程追及时间：t单程追及=s/(v甲-v乙)
第n次相遇时间：Tn= t单程相遇×(2n-1)
第m次追及时间：Tm= t单程追及×(2m-1)
限定时间内的相遇次数：N相遇次数=[ (Tn+ t单程相遇)/2 t单程相遇]
限定时间内的追及次数：M追及次数=[ (Tm+ t单程追及)/2 t单程追及]
注：[]是取整符号
之后再选取甲或者乙来研究有关路程的关系，其中涉及到周期问题需要注意，不要把运动方向搞错了。
简单例题：甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米，问(1)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙追及相遇?(2)相遇时距离中点多少千米?(3)50小时内，甲乙两车共迎面相遇多少次?
三、火车问题。特点无非是涉及到车长，相对容易。小题型分为：
(1)火车vs点(静止的，如电线杆和运动的，如人)s火车=(v火车 ±v人)×t经过
(2)火车vs线段(静止的，如桥和运动的，如火车)s火车+s桥=v火车×t经过和s火车1+s火车2=(v火车1
±v火车2)×t经过
合并(1)和(2)来理解即s和=v相对×t经过把电线杆、人的水平长度想象为0即可。火车问题足见基本公式的应用广度，只要略记公式，火车问题一般不是问题。
(3)坐在火车里。本身所在火车的车长就形同虚设了，注意的是相对速度的计算。电线杆、桥、隧道的速度为0(弱智结论)。
四、流水行船问题。理解了相对速度，流水行船问题也就不难了。理解记住1个公式(顺水船速=静水船速+水流速度)就可以顺势理解和推导出其他公式(逆水船速=静水船速-水流速度，静水船速=(顺水船速+逆水船速)÷2，水流速度=(顺水船速-逆水船速)÷2)，对于流水问题也就够了。技巧性结论如下：
(1)相遇追及。水流速度对于相遇追及的时间没有影响，即对无论是同向还是相向的两船的速度差不构成“威胁”，大胆使用为善。
(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：从落物到发现的时间段，t2：从发现到拾到的时间段)与船速、水速、顺行逆行无关。此结论所带来的时间等式常常非常容易的解决流水落物问题，其本身也非常容易记忆。
例题：一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游50千米处。一艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同。客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米。客船在行驶20千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇。求水流速度。
五、间隔发车问题。空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一旦掌握了3个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。
(1)在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题：A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需要105分钟，从B站到A站单程需要80分钟。问8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车?
(2)在班车外。联立3个基本公式好使。
汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔------1
汽车间距=(汽车速度-行人速度)×追及事件时间间隔------2
汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔------3
1、2合并理解，即
汽车间距=相对速度×时间间隔
分为2个小题型：1、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答;2、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图-尽可能多的列3个好使公式-结合s全程=v×t-结合植树问题数数。
例题：小峰在骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰。小峰骑车到半路车坏了，于是只好坐出租车去小宝家。这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，如果这3种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公交车站每隔多少分钟发一辆车?
六、平均速度问题。相对容易的题型。大公式要牢牢记住：总路程=平均速度×总时间。用s=v×t写出相应的比要比直接写比例式好理解并且规范，形成行程问题的统一解决方案。
七、环形问题。是一类有挑战性和难度的题型，分为“同一路径”、“不同路径”、“真实相遇”、“能否看到”等小题型。其中涉及到周期问题、几何位置问题(审题不仔细容易漏掉多种位置可能)、不等式问题(针对“能否看到”问题，即问甲能否在线段的拐角处看到乙)。仍旧属于就题论题范畴，不展开了。
八、钟表问题。是环形问题的特定引申。基本关系式：v分针= 12v时针
(1)总结记忆：时针每分钟走1/12格，0.5°;分针每分钟走1格，6°。时针和分针“半”天共重合11次，成直线共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表画图总结)。
(2)基本解题思路：路程差思路。即
格或角(分针)=格或角(时针)+格或角(差)
格：x=x/12+(开始时落后时针的格+终止时超过时针的格)
角：6x=x/2+(开始时落后时针的角度+终止时超过时针的角度)
可以解决大部分时针问题的题型，包括重合、成直角、成直线、成任意角度、在哪两个格中间，和哪一个时刻形成多少角度。
例题：在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度?从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直?
(3)坏钟问题。所用到的解决方法已经不是行程问题了，变成比例问题了，有相应的比例公式。这里不做讨论了，我也讨论不好，都是考公务员的题型，有难度。
九、自动扶梯问题。仍然用基本关系式s扶梯级数=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解决最漂亮。这里的路程单位全部是“级”，唯一要注意的是t上或下要表示成实际走的级数/人的速度。可以PK掉绝大部分自动扶梯问题。
例题：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下向上走，男孩由上向下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?
十、十字路口问题。即在不同方向上的行程问题。没有特殊的解题技巧，只要老老实实把图画对，再通过几何分析就可以解决。
十一、校车问题。就是这样一类题：队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地(即到达目的地的最短时间，不要求证明)分4种小题型：根据校车速度(来回不同)、班级速度(不同班不同速)、班数是否变化分类。
(1)车速不变-班速不变-班数2个(最常见)
(2)车速不变-班速不变-班数多个
(3)车速不变-班速变-班数2个
(4)车速变-班速不变-班数2个
标准解法：画图-列3个式子：1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间;2、班车走的总路程;3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。最后会得到几个路程段的比值，再根据所求代数即可。此类问题可以得到几个公式，但实话说公式无法记忆，因为相对复杂，只能临考时抱佛脚还管点儿用。孩子有兴趣推导一下倒可以，不要死记硬背。
简单例题：甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行速度都是每小时4千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米?
十二、保证往返类。简单例题：A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水。如果不准将部分食物存放于途中，其中一个人最远可深入沙漠多少千米(要求两人返回出发点)?这类问题其实属于智能应用题类。建议推导后记忆结论，以便考试快速作答。每人可以带够t天的食物，最远可以走的时间T
(1)返回类。(保证一个人走的最远，所有人都要活着回来)
1、两人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。
2、多人：没搞明白，建议高手补充。
(2)穿沙漠类(保证一个人穿过沙漠不回来了，其他人都要活着回来)共有n人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠类。
1、中途不放食物：T≤[2n/(n+1)]×t。T是穿沙漠需要的天数。
2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+…+1/(2n-1))×t
还有几类不甚常见的杂题，没有典型性和代表性，在此不赘述。希望大家完善以上的题型分类，因为奥数好玩。
三年级奥数精讲之和差问题(一)
(2010-08-20 20:30:05)
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和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。解答这一类问题一般用假设的方法。
例1. 两袋大米共重150千克,第二袋比第一袋多10千克,两袋大米各重多少千克?
分析: 这样想:假设第一袋和第二袋重量相等时,两袋大米共重150+10=160(千克);假设第二袋和第一袋大米重量相等时,两袋共重150-10=140(千克)。
解法一: 1.第一袋重多少千克?
(150-10)÷2=70(千克)
2.第二袋重多少千克?
150-70=80(千克)
或70+10=80(千克)
解法二: 1.第二袋重多少千克?
(150+10)÷2=80(千克)
2.第一袋重多少千克?
80-10=70(千克)
或150-80=70(千克)
答:第一袋重70千克;第二袋重80千克。
例2. 聪聪期末考试时语文和数学的平均分是98分,数学比语文多2分,问聪聪的语文和数学各得了多少分?
分析: 解和差问题的关键是求得两数的和与差,这道题中语文与数学成绩之差是8分,但是语文与数学的成绩之和没直接告诉我们,可是条件中给出了两成绩的平均成绩是94分,这就可以求出两科的总成绩。
解: 1.语文和数学成绩之和是多少分?
98×2=196(分)
2.数学得多少分?
(196+2)÷2=198÷2=99(分)
3.语文得多少分?
99-2=97(分)
或:(196-2)÷2=194÷2=97(分)
答:聪聪的语文得了97分;数学得了99分。
例3.今年小玲6岁,她父亲34岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁?
分析: 题中没有给出小玲和父亲的年龄之差,但是已知两人今年的年龄,那么两人的年龄差是34-6=28(岁),不论再过多少年,两人的年龄差是保持不变的,所以当两人年龄和为58岁时,他们的年龄差仍是28岁,根据和差问题就可解此题。
解: 1.父亲的年龄:
〔58+(34-6)〕÷2
=〔58+28〕÷2
=86÷2
=43(岁)
2.小玲的年龄:
58-43=15(岁)
答:当两人年龄和为58岁时,父亲的年龄是43岁,小玲的年龄是15岁.
例4. 小张和小王共储蓄2000元,如果小张借给小王200元,两人储蓄的钱恰好相等,问两人各储蓄多少元?
分析: 这样想:小张和小王两人储蓄的总钱数之和是2000元,根据如果小张借给小王200元后,两人储蓄的钱数恰好相等可知,小张比小李多200×2=400(元),400元是两人钱数之差
解: 1.小张比小王多多少钱?
200×2=400(元)
2.小张储蓄多少元?
(2000+400)÷2=1200(元)
3.小王储蓄多少元?
2000-1200=800(元)
答:小张储蓄1200元;小王储蓄800元。
例5. 甲、乙两个笼子里共有小鸡20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只,求甲、乙两笼原来各有鸡多少只?
分析: 这样想:已知甲、乙两个笼子里小鸡的和是20只,根据甲笼里放入4只,乙笼里取出1只,还剩1只可知,甲、乙两个笼里小鸡只数相差:4+1+1=6(只)
解: 1.乙笼比甲笼多多少只?
4+1+1=6(只)
2.甲笼原来有小鸡多少只?
(20-6)÷2=14÷2=7(只)
3.乙笼里原来有小鸡多少只?
20-7=13(只)
或(20+6)÷2=13(只)
答:甲笼里原有小鸡7只;乙笼里原有小鸡13只。
小结:从以上5个例题可以看出题目给的条件虽然不同,但是解题思路和解题方法是一致的,和差问题的一般解题规律是:
(和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数
或(和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数
三年级奥数精讲之和差问题(练习)
(2010-08-20 20:31:44)
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练一练

1.三年级同学参加义务劳动,一班和二班共搬砖830块,一班比二班少搬70块,问一班,二班各搬砖多少块?
2.甲、乙两桶油共重60千克,若把甲抽6千克油倒入乙桶,那么两桶油重量相等,问甲、乙两桶原有多少油?
3.两箱水果共重100千克,若从甲箱取12千克放到乙箱中,这时甲箱还比乙箱多4千克,求两箱水果原来各有多少千克?
4.同学们献爱心捐款,明明和圆圆共捐款46元,若明明再捐5元,圆圆取出2元,这时圆圆仍比明明多捐3元,明明和圆圆原来各捐多少元?
5.三个物体之平均重量是31千克,甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克,乙物体比两丙物体的2倍还重2千克,三个物体各重多少千克?


练一练习题答案

1.(830+70)÷2=450(块) 二班
830-450=380(块) 一班
2.(60+6×2)÷2=36(千克) 甲
60-36=24(千克) 乙
3.(100+12×2+4)÷2=64(千克) 甲
100-64=36(千克) 乙
4.圆圆: (46+5+2+3)÷2=28(元)
明明: 46-28=18(元)
5.甲: (31×3-1)÷2=46(千克)
丙: (31×3-46-2)÷(2+1)=15(千克)
乙: 31×3-46-15=32(千克)
同学们，植树问题，其实就是数学中设置等分点的计算问题。因此题中的情节不局限于植树，生活中的跨楼梯，锯木头，插红旗，安路灯等问题，都可以按照植树问题的数量关系和思路解答。
(一)典型例题
例1. 有一个窗框长1米60厘米，准备安装7根铁栏杆，栏杆的距离是多少厘米？
分析与解答：
观察下图不难发现，7根铁栏杆把窗框平均分成8段，我们只要把1米60厘米平均分成8份就可以了。
(1)先求有多少个间隔？
7＋1＝8(个)
(2)再求栏杆间的距离
1米60厘米＝160厘米
160÷8＝20(厘米)
答：栏杆的距离是20厘米。
例2. 时钟5点钟敲5下，8秒钟敲完，那么10点钟敲10下，需要多少秒？
分析与解答：
时钟5点钟敲5下，其中有4个间隔，4个间隔用8秒钟的时间，就可以求出每一个间隔所用的时间。然后再想，10点钟敲10下，有9个间隔，就可以求出所需要的时间了。
(1)先求5下有几个间隔
5-1＝4(个)
(2)再求每一个间隔的时间
8÷4＝2(秒)
(3)再求10下有几个间隔
10-1＝9(个)
(4)最后求需几秒钟
2×9＝18(秒)
综合算式：8÷(5-1)×(10-1)＝18(秒)
答：需要18秒钟。
例3. 在一个正方形池塘四周栽树，四个顶点各栽一棵，这样每边都栽有25棵，如果每相邻两棵之间相距2米，这个正方形池塘的周长有多少米？
分析与解答：
这道题有两种解答方法，一种是先求一共有多少棵树，再求周长；另一种是先求正方形的边长，再求周长。
解法一：
(1)先求一共有多少棵树
25×4-4＝96(棵)
或：(25-1)×4＝96(棵)
(2)再求池塘的周长
2×96＝192(米)
解法二：
(1)先求池塘的边长
2×(25-1)＝48(米)
(2)再求池塘的周长
48×4＝192(米)
答：池塘的周长有192米。
例4. 长3米的钢管，从一端开始，先30厘米锯一段，再20厘米锯一段，这样长短交替锯成小段，可锯成30厘米长的有多少段？20厘米长的有多少段？若每锯一段用8分钟，锯完一段休息2分钟，全部锯完需用多少分钟？
分析与解答：
先把3米换算成300厘米，先可以求出把300厘米的长的木棍锯成50厘米的一段，再把每一个50厘米锯成2段，需要6次，共锯11次，休息10次。
3米＝300厘米
20＋30＝50(厘米)
300÷50＝6段
6×2-1＝11(次)(锯11次，休息10次)
11×8＋10×2＝108(分钟)
答：锯成30厘米的共6段，锯成20厘米的6段，锯完共需108分钟。
(二)试一试，独立完成
1. 有一个窗框长2米，准备在窗框中间等距离地装9根铁栏杆，相邻的两根铁栏杆距离是多少厘米？
2. 在长90米的跑道两侧插14面彩旗，每相邻两面粉旗之间长多少米？
3. 在小河的一旁，从头到尾要植561棵柳树，已知每隔3米植1棵，那么这条小河长多少米？
4. 在一条长5千米的公路一侧安电线杆，每隔50米安一根，连两端在内一共需装多少根？
(三)解决生活中实际问题
1. 一条路的一侧有37棵树，两树的间隔是5米，现在路的一侧以6米的距离安装路灯，共需要多少盏灯？
2. 把一根木头锯成10段，每锯一段需用7分钟，需几分钟？
3. 一座15层楼，每层的台阶数都相等，小红从一层到3层共走了48个台阶，小红从一层走到15层共需迈多少台阶？
各类型应用题解题要点
一、植数问题
1、 路线不封闭
如果两端不植树 树数=段数—1
如果两端植树 树数=段数+1
如果一端植树一端不植树 树数=段数
2、 线路封闭
树数=段数
其中：段数=总长÷数距
总长=段数×数距
数距=总长÷段数
二、倍数问题
1、和倍问题
和÷（倍数+1）=较小的数
较小的数×倍数=较大的数
2、差倍问题
差÷（倍数－1）=较小的数
较小的数×倍数=较大的数
三、年龄问题
和差问题
（和－差）÷2=较小的数
（和+差）÷2=较大的数
**无论过多少年 年龄差不变**
四、时间问题
经过的天数（或年数）=结尾数－开始数+1
计算周年=今年年份－出生年份
**一平年365天（2月28天），一闰年366天（2月29天）（每隔4年1个闰年） 1日24时 1时=60分
五、相遇问题（行程问题）
1、路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
**常常要考虑两人的速度和**
相遇路程=甲走的路程+乙走的路程
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
2、追及问题属于行程问题
追及路程=甲走的路程－乙走的路程
=甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间
=（甲的速度－乙的速度）×追及时间
=追及差×追及时
每年的三月份是植树的好季节，在植树造林中也有有趣的数学问题。植树的情况不同，主要是由于植树线路不同。请同学们看一看，数一数下面各图中各有多少个点、多少小段。(“段”指相邻两点间的一段，也叫间隔)再想一想点数与段数在什么情况下各有什么联系。


图(1)这条线段图上有( )点，共有( )段。
图(2)这条线段图上有( )点，共有( )段。
图(3)，这个圆上有( )点，共有( )段。
由此看出，如果是一条没有封闭的线段，它的点数比段数多1。
如果是一个封闭的圆、长方形、正方形，由于头尾两端重合，它的点数与段数同样多。
(一)典型例题
例1. 在一条长40米的马路的一边，从头到尾每隔5米种一棵树，一共可以种多少棵树?

分析与解答：
每隔5米种一棵树，那么两棵树之间的长度是5米，我们以5米为一段，看全长40米可以分成多少段。从头到尾都植树，植树的棵数比段数的多1。
(1)全长可以分成多少段?
40÷5=8(段)
(2)种多少棵树?
8+1=9(棵)
答：共种9棵树。
由此可以得棵数=段数+1
例2. 一条道旁，每隔5米种一棵树，共种101棵，这条小道有多长?
分析与解答：
每相邻两棵树之间有一个间隔(即一段)，间隔是5米，101棵树之间有多少个间隔呢?
(1)101棵树之间共有多少个间隔?
101-1=100(个)
(2)这条小道的长度是多少米?
5×100=500(米)
答：这条小道的长度是500米。
由此可以得出：(棵数-1)×间隔长度=总长
例3. 甲、乙两地相距1000米，在两地间共栽了51棵树，每两棵树之间的距离是多少米?
分析与解答：
每相邻两棵树之间有一个间隔，在1000米中有51棵树，说明有50个间隔，这样就可以求出两棵树之间的间隔了。
(1)两棵树之间有多少个间隔?
51-1=50(个)
(2)相邻的两棵树之间的距离是多少?
1000÷50=20(米)
答：相邻的两棵树之间的距离是20米。
由此得出：全长÷(棵数-1)=间隔长度
例4. 在两座楼中间每隔3米种一棵树，共种了20棵，这两座楼之间距离是多少米?
分析与解答：
在两座楼中种树，首、尾两头都不种树。
(1)一共有多少个间隔?
20+1=21(个)
(2)两座楼之间的距离是多少?
3×21=63(米)
答：两座楼之间的距离是63米。
例5. 在学校400米环形跑道四周，每隔5米插彩旗一面，需要彩旗多少面?
分析与解答：
由于是在环形跑道四周插旗，从第一面开始，依次往下插到最后一面时，再往下插将会与第一面重合了，这样插的面数与分成的段数相等。
400÷5=80(面)
答：一共需要80面彩旗。
(二)试一试，独立完成
1. 一条路长10米，从头到尾每隔5米植树1棵，共要植树多少棵?
2. 一条路长48米，从头到尾每隔6米植树1棵，共要植树多少棵?
3. 在相距100米的两楼之间栽一排树，每隔10米栽1棵，共栽几棵树?
4. 游泳池周长120米，让池边每隔6米栽1棵，需要栽多少棵?
5. 有一条长200米的路，在路的两边从头到尾每隔4米植树一棵，一共植树多少棵?
(三)解决生活中实际问题
1. 有一根木料，打算锯成5段，每次锯下一小段用3分钟，全锯完用几分钟?
2. 校门口摆一排串红，一共12盆，再在每2盆串红中间摆3盆菊花，一共摆了多少盆菊花?
3. 一条小道两旁，每隔5米种一棵，共种202棵，这条路长多少米?
4. 在400米的环形跑道四周每隔5米插一面红旗，两面粉旗，需要多少面红旗，多少面粉旗?
(二)答案
1. 一条路长10米，从头到尾每隔5米植树1棵，共要植树多少棵?
10÷5=2(段)
2+1=3 (棵)
答：植树3棵。
2. 一条路长48米，从头到尾每隔6米植树1棵，共要植树多少棵?
48÷6=8(段)
8+1=9(棵)
答：共植树9棵。
3. 在相距100米的两楼之间栽一排树，每隔10米栽1棵，共栽几棵树?
100÷10=10(段)
10-1=9(棵)
答：共栽9棵树。
4. 游泳池周长120米，让池边每隔6米栽1棵，需要栽多少棵?
120÷6=20(棵)
答：需要栽20棵。
5. 有一条长200米的路，在路的两边从头到尾每隔4米植树一棵，一共植树多少棵?
200÷4=50(段)
50+1=51(棵)
51×2=102(棵)
答：一共植树102棵。
(三)解决生活中实际问题
1。有一根木料，打算锯成5段，每次锯下一小段用3分钟，全锯完用几分钟?
5-1=4(次)
3×4=12(分钟)
答：共需要12分钟。
2. 校门口摆一排串红，一共12盆，再在每2盆串红中间摆3盆菊花，一共摆了多少盆菊花?
(1)12盆中间一共有多少个间隔?
12-1=11(个)
(2)一共摆多少盆菊花?
3×11=33(盆)
答：一共摆33盆菊花。
2。一条小道两旁，每隔5米种一棵，共种202棵，这条路长多少米?
202÷2=101(棵)
101-1=100(段)
5×100=500(米)
答：这条小道长500米。
3。在400米的环形跑道四周每隔5米插一面红旗，两面粉旗，需要多少面红旗，多少面粉旗?
400÷5=80(段)
1×80=80(面)……(红旗)
2×80=160(面)……(粉旗)
答：共需要80面红旗，160面粉旗。
【盈亏问题公式】
（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2
=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子
或8×8+7=64+7=71（个）
答：有8个小朋友和71个桃子。
（2）两次都有余（盈），可用公式：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？”
解（680-200）÷（50-45）=480÷5
=96（人）
45×96+680=5000（发）
或50×96+200=5000（发）
答：士兵有96人，有子弹50000发。
（3）两次都不够（亏），可用公式：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？”
解（90-8）÷（10-8）=82÷2
=41（人）
10×41-90=320（本）（答略）
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（例略）
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
（例略）
【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”
解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；
36-22=14（只）…………………………兔。
答：鸡有22只，兔有14只。
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”
解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔
答：鸡有10只，兔有6只。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式：
（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数） ÷（吃得较多天数-吃的较少天数）
（2）原有草量=（牛头数-草的生长速度）×吃的天数
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
例题：一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草的生长速度×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
（1）求草的生长速度
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知 （20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5
或
直接套用公式：（10×20-15×10）÷（20-10）=5
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
或
直接套用公式：（10-5）×20=100
（3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。工程问题的本质就是研究工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系，关于工程问题有如下一些常用的解题方法和技巧。
（1）方程法
通过设未知数，根据题意理清工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系，列出方程式求解，这种方法适用于大多数工程问题。
（2）鸡兔同笼法
在多人共同完成某项工作的时候，经常会有在工作效率的差异上出题的情况，这种情形类似于鸡兔同笼问题，对于这类问题可以模仿鸡兔同笼的解法进行求解。
（3）巧用“1”法
当具体的工程总量不明确的时候，不妨设工程总量为1，通过题目中给出的各个工程参与者独立完成该工程的工作时间或工作效率来确定他们的工作时间或工作效率。
（4）量化总量法
在某一项工程中，甲需a天完成，乙需b天完成，如果把工程总量设为1，会导致工作效率是分数，如果把总理设为W，则甲、乙两人每天完成的工作量就可以用整数表示，从而达到简化了计算的目的。
（5）列表法
当遇到多者共同完成某一项工程，且他们在完成过程中有时工作有时休息，从而导致每天完成的工作量都各不相同，这时采用列表法，把各个工程参与者实际工作情况通过表格的形式反映出来，不仅使条件清晰，还可能发现一些潜在关系，例如和倍关系，可以通过凑整或一元二次方程进行求解。
例题：一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，甲、乙合作了几天后，乙因有事请假，甲继续做，从开工到完成任务公用了16天，乙请假多少天？
法一：设总量为“1”，则甲的工作效率是1/20,乙的工作效率是1/30。
甲共工作了16天，剩下的工程量为S=（1-1/20 ×16），由乙完成，S÷(1/30)=6 ，所以乙工作了6天，请假了10天。
法二：甲完成工程需用20天，但实际上只工作了16天，甲剩余的工作量（1/20×（20-16）=1/5）是乙完成的，则乙用（1/5） ÷（1/30）=6天完成，因此乙请假了16-6=10天
行程问题是奥数中的经典问题，在学习中，大家经常被题目中的运动过程搞晕。在解题过程中，大家一定要仔细分析其运动过程。下面是行程问题的专题知识框架：
1.相遇与追及
（1）行程问题基础
（2）相遇与追及问题
（3）多次相遇与追及问题
（4）多人相遇与追击问题
2.典型行程问题
（1）火车问题
（2）流水问题
（3）猎狗追兔问题
（4）环形跑道问题
（5）走停问题
（6）变速问题
（7）扶梯问题
（8）发车间隔
（9）接送问题
（10）时钟问题
3.比例解行程问题
（1）行程综合（一）
（2）行程综合（二）
行程问题常用的解题方法有：
（1）公式法
基本公式： 路程=速度×时间
相遇问题： 相遇路程= 速度和×相遇时间
追及问题： 追及路程=追及时间×速度差
流水问题： 顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程= （船速-水速）×逆水时间
静水速度（船速）= （顺水速度+逆水速度）÷2
水流速度（水速）= （顺水速度-逆水速度）÷2
（2）图示法
示意图包括线段图和折线图。图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往是最有效的解题方法。
（3）比例法
找比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法克球的具体数值。在没有具体数值时，只能用比例解题。
（4）分段法
适用于分段变速的行程问题。通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段用匀速的方法进行分析。
（5）方程法
设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。（方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间）
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