2024衡阳高三上学期11月联考试题数学含答案

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1.【答案】C
【解析】因为，，所以，有6个元素，故选C.
2.【答案】A
【解析】，所以复数的虚部为，故选A.
3.【答案】B
【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点，故选B.
4.【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，又，函数为偶函数.故选B.
5.【答案】A
【解析】由，得.又，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故选A.
6.【答案】D
【解析】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.
则从点A到点B的最短路径为线段，，.
过S作，则公路距山顶的最近距离为，
因为，所以，故选D.
7.【答案】D
【解析】因为且，
令，得，则，
所以，即，所以，
所以，故函数是周期为6的周期函数.
令，，得，则；
令，，得，则.
由，得，，，，所以，
又，故由函数的周期性知，，故选D.
8.【答案】C
【解析】设.
因为在上最多有两个零点，故，所以.
由得.
（1）由得；（2）由得；
（3）由得；（4）由得；
（5）由得此时不等式组无实数解.
综上可得，故选C.
9.【答案】BD
【解析】对选项A，取，，满足且，则，错误；
对选项B，因为函数单调递增，当时，，正确；
对选项C，，要使，即，即，错误；
对选项D，因为函数单调递增，当，则，正确.故选BD.
10.【答案】ACD
【解析】在函数中，当时，，由，知，，故A正确；
当时，，所以，则，
当时，，故B不正确；
由，得，故C正确；
由，得，所以，故D正确.故选ACD.
11.【答案】ACD
【解析】对于A，因为，，，所以，故A正确；
对于B，由于，故B错误；
对于C，因为小于的所有正奇数与均互质，且小于的所有正奇数有个，所以，因此数列为等比数列，故C正确；
对于D，同理，所以，令，
则，故D正确，故选ACD.
12.【答案】ACD
【解析】是正方体的棱的中垂面与四个侧面的交线，它是一个边长为2的正方形，它的周长是8，且，，，所以A，C正确；
在正方体两侧面、和上底面都是一段圆弧，它与其它三个面无公共点.将正方体两侧面和沿展开为平面图，建立平面直角坐标系如图，设动点，因为，
所以，化简得，
故动点P在两侧面内轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，
因为，所以，所以，
所以在两侧面内点轨迹长度为.
在上底面内，动点P轨迹为以为圆心的一段圆弧，如上图，由，可知，故，又，所以，即圆弧所在圆的半径为，所以圆弧的长为，所以动点P形成的轨迹的长度为，且不存在这样的点P，Q，使，所以D正确，B错误.故选ACD.
13.【答案】0
【解析】设数列的公差为d，由已知有，，所以，，所以.
14.【答案】或或（答案不唯一）
【解析】由题设知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，即两圆外离，故共有4条公切线.又M，N关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线.设过原点的公切线为，则，可得或，所以公切线为或；设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1，则，即，所以公切线为.
15.【答案】
【解析】设函数，，则过定点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象.由题意得得，故所求实数a的取值范围是.
16.【答案】4
【解析】依题意可得，，
当时，由得；当时，由得；
当时，由得；当时，由得.
综上可得，方程有4个实数根.
17.【解析】（1）由题设知，.
因为，所以，即.
又，，故，得.……5分
（2）由题意得，，，.
于是，
所以，，
故的值是.……10分
18.【解析】（1）连接交于，连接.
在平行四边形中，
由于，分别是、的中点，
所以.
因为平面，平面平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）法一：由于平面，所以，.
又，
故可以直线，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图.由于斜四棱柱的棱长均为1，所以，，，.
所以，.……8分
设是平面的一个法向量，
由得 令得.
又由（1）知，，，所以平面.
即是平面的一个法向量.……10分
设二面角的平面角为，由图可知，.
所以.
故所求二面角的余弦值为.……12分
法二：由（1）知，，又，所以平面.
过点作于点，连接，则.
所以是二面角的平面角.……9分
因为该四棱柱的棱长为1，所以.
在中，，，所以.
在中，，则.
故所求二面角的余弦值为.……12分
19.【解析】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.……3分
（2）（i）设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为.……8分
（ii）由题设可得，
当，即时，年利润L有最大值，
故该公司2028年的年利润最大.……12分
20.【解析】（1）由可得，
因为，所以，从而是以1为首项，1为公比的等比数列，
所以，.……4分
（2）因为，
所以.……8分
（3）因为
.
所以.
即.……12分
21.【解析】设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，则.
（1）在中，由余弦定理得.
由，得，所以.
因为，所以，于是，
而.……6分
（2）法一：由（1）知，.
如图，在中，过B作的垂线，且使，
则，则，
即，所以.
于是，即.……10分
令函数，，则在上单调递增，
所以，此时.
故所求的最小值为，此时k的值为.……12分
法二：由，
得，即，
化简得，即，
因为，，所以，
于是.……10分
以下同解法一……12分
22.【解析】（1）由题意可知对恒成立.
当时，显然成立；当时，；当时，.
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故当时，；当时，.
综上，实数的取值范围是.……5分
（2）法一：由（1）可知，当时，有一个零点；
当时，在上单调递增，当x趋于0时，趋于负无穷大，且，故只有一个零点.……7分
当时，.令，则，
在上单调递减，在上单调递增..
当x趋于0时，因为趋于0，所以趋于正无穷大.
又，所以存在，使得.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，所以当时，在只有一个零点.……9分
当时，在上单调递减，，且x趋于正无穷大时，.所以存在，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，又当x趋于0时，趋于负无穷大，.
所以当时，，当时，.
故当时，无论k为何值，取，总能有.
所以当时，有两个零点.……11分
综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点.……12分
法二：，故当时，.
令，则，
所以在上单调递减，在上也单调递减，且当x大于0且趋于0时，趋于正无穷大，当x小于e且趋于e时，趋于负无穷大，当x大于e且趋于e时，趋于正无穷大，当x趋于正无穷大时，趋于0，其大致图象如图.
由图可知，当时，有两个零点；当时，有一个零点.……12分