2024荆州荆州中学高一上学期期中数学试题含解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知命题，则（ ）
A. B.
C. D. 时，为真命题
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若，则的值为（ ）
A B. C. D.
7. “”是“满足对任意都有成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 对任意实数，都有
D. 若二次函数，实数，则
10. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 的值域为
C. 不等式的解集为
D. 若在上单调递减，则实数取值范围为
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数为偶函数
C. 函数的最小值为0
D. 当时，，则a的取值范围为
12. 已知不等式对恒成立，则值可以是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则的值为______.
14. 已知幂函数在上单调递减，若，则a的取值范围为________.
15. 已知函数在上的最大值为，则实数的值为_____.
16. 已知图象连续不断的函数是定义域为的偶函数，若对任意的，，当时，总有，则满足不等式的a的取值范围为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）设，，求实数a的取值范围.
18. 若关于的不等式的解集是.
（1）求实数的值；
（2）当时，求的最小值.
19. 已知函数是增函数，且.
（1）若，，求的最小值；
（2）是否存在实数，使得当时，函数的最小值恰为，而最大值恰为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数的图象过点和.
（1）求证：是奇函数，并判断的单调性（不需要证明）；
（2）若，使得不等式都成立，求实数的取值范围.
21. 先看下面的阅读材料：已知三次函数（）， 称相应的二次函数为的“导函数”，研究发现，若导函数在区间上恒成立，则在区间上单调递增；若导函数在区间上恒成立，则在区间上单调递减.例如：函数，其导函数，由，得， 由，得或，所以三次函数在区间上单调递增，在区间和上单调递减. 结合阅读材料解答下面的问题：
（1）求三次函数的单调区间；
（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两条底边，），已知，，，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分.
①设，求出梯形的面积与的解析式；
②求该公园的最大面积.
22. 已知函数，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）如果关于的方程有三个不相等的非零实数解，，，求的取值范围.