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初中数学北师大版九年级下册5 三角函数的应用精品测试题
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这是一份初中数学北师大版九年级下册5 三角函数的应用精品测试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为( )
A. 600⋅tan31°B. 600tan31∘C. 600⋅sin31°D. 600sin31∘
2.某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=1.18米，AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )
A. B. C. D.
3.如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA=37°，AC=28米，∠BAC=45°，则这棵树的高AB约为(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34， 2≈1.4)( )
A. 14米B. 15米C. 17米D. 18米
4.如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80∘角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC应为
( )
A. 1.8tan80∘mB. 1.8cs80∘mC. 1.8sin 80∘mD. 1.8tan 80∘m
5.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,A,B,C,D,O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于
( )
A. asinx+bsinxB. acsx+bcsxC. asinx+bcsxD. acsx+bsinx
6.小甬和小真两位同学来到体育馆前一个半圆形公益广告牌前，广告牌如图所示，两位同学认为如果要测得广告牌的半径，按以下方案获取数据后即可求得：他们先测得广告牌的影长为12米，然后小甬让小真站立，测得小真的影长为2.4米，已知小真同学身高为1.6米，那么广告牌的半径是( )
A. 6米B. 12 1313米C. (9 13−27)米D. 8 13−163米
7.下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A. x=(x−10)tan50°B. x=(x−10)cs50°
C. x−10=xtan50°D. x=(x+10)sin50°
8.如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30∘方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )
A. 40海里B. 60海里C. 20 3海里D. 40 3海里
9.如图所示，老张利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6m，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且项場恰好与水面平齐(即PAPC，水平线1与OC夹角a=8°(点A在OC上，则铅锤P处的水深h为(参考数据：sin8°= 210，cs8°=7 210，tan8°=17)( )
A. 150cm
B. 144cm
C. 111cm
D. 105cm
10.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为( )
(参考数据：sin48°≈0.73，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)
A. 17.0米B. 21.9米C. 23.3米D. 33.3米
11.如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O=90°，为了画一个半径更大的圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′=120°，则BB′的长为cm．( )
A. 2 6−4B. 6−2C. 2 2−2D. 2− 2
12. 某地A、B两市被大山阻隔，若要从A市到B市，只能沿着公路先从A市到C市，再由C市到B市．现计划开凿隧道使A，B两地直线贯通．下表是九年级兴趣小组设计的实践活动报告的部分内容：(结果精确到1km，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
通过计算隧道开通后缩短的路程是( )
A. 7kmB. 17kmC. 27kmD. 34km
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时(如图1)，AB与地面的夹角为30∘，当AB的另一端点B碰到地面时(如图2)，AB与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH= 米.
14.如图是一台手机支架的侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm，AB=16cm.当AB，BC转动到∠BAE=60∘，∠ABC=50∘时，点C到AE的距离为 cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin70∘≈0.94， 3≈1.73)．
15.如图，某小区两幢楼房的间距为20 3m，在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30∘.若两幢楼高均为30m，则楼甲的影子落在楼乙上的高度AB为 m.
16.如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是______米；收绳8秒后船向岸边移动了______米．(结果保留根号)
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i=1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
18.(本小题8分)
如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．
(1)求sinB的值；
(2)现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．
19.(本小题8分)
某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？(结果精确到0.1.参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cs 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75)
20.(本小题8分)
如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC=15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．
(参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90.)
21.(本小题8分)
如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD=120m，BD=80m，求木栈道AB的长度(结果保留整数)．
(参考数据：sin32°≈1732，cs32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cs42°≈34，tan42°≈910)
22.(本小题8分)
图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转B到地面的距离BD=3m.小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离AE=1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A′B⊥AB．
(1)求A′到BD的距离；
(2)求A′到地面的距离．
23.(本小题8分)
成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．
(结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40)
24.(本小题8分)
如图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m，AC是可以伸缩的起重臂，当AC长度为9m，张角∠HAC为138°时，求起重臂顶点C离地面BD的高度(结果保留小数点后一位).(参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)
25.(本小题8分)
如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD//BC，坝顶AD=6m，坡长CD=8m，坡底BC=30m，∠ADC=135°．
(1)求∠ABC的度数(结果精确到1°)；
(2)如果坝长100m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？(结果精确到0.01m3)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠BAC=31°，AB=40×15=600(米)，
sin∠BAC=BCAB，
∴BC=sin∠BAC⋅AB=600⋅sin31°．
故选：C．
作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的运算是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．
延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF//BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED=ADAE，AE=1.2米，求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．
【解答】
解：如图，延长BA、FE，交于点D，
∵AB⊥BC，EF//BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°，
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED=ADAE，AE=1.2米，
∴AD=AEsin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)，
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于常考题型．
如图，作BH⊥AC于H.设BH=x，构建方程即可解决问题．
【解答】
解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH=37°，∠BHC=90°，
设BH=xm，
∴CH=BHtan37∘≈x34=4x3，
∵∠A=45°，
∴AH=BH=x，
∴x+43x=28，
∴x=12，
∴AB= 2AH= 2×12≈17(m)
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．根据题意得出：∠ACB=80°，AB=1.8m，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】
解：如图所示：
由题意可得：∠BAC=90°，∠ACB=80°，AB=1.8m，
∴AC=ABtan80∘=1.8tan80∘(m)．
故选D．
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】D
【解析】解：如图，设圆心为O，OB是半径，点F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF于A，过点B作BE⊥AB交光线DF于E，设OF=OB=x米．
由题意CD=AB=12米，
∵BEAB=1.62.4，
∴BE=8米，
∵EF，EB都是切线，
∴EF=EB=8，
在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2= 122+82=4 13，
∴∠OAF=∠EAB，∠AFO=∠ABE=90°，
∴△AOF∽△AEB，
∴OFBE=AFAB，
∴x8=4 13−812，
∴x=8 13−163，
故选：D．
如图，设圆心为O，OB是半径，点F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF于A，过点B作BE⊥AB交DF的延长线于E，设OF=OB=x米．求出BE=EF=8，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
7.【答案】A
【解析】解：过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE=CD=10，CE=DH，
∴FH=x−10，
∵∠FDH=α=45°，
∴DH=FH=x−10，
∴CE=x−10，
∵tanβ=tan50°=EFCE=xx−10，
∴x=(x−10)tan 50°，
故选：A．
过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE=CD=10，CE=DH，求得FH=x−10，得到CE=x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30∘，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题。
【解答】解：在Rt△PAB中，
∵∠APB=30∘，
∴PB=2AB，
由题意知BC=2AB，
∴PB=BC，
∴∠C=∠CPB，
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60∘，
∴∠C=30∘，∴PC=2PA，
∵PA=AB⋅tan60∘，
∴PC=2×20× 3=40 3(海里)．
故选D．
9.【答案】B
【解析】解：∵l//BC，∴∠ACB=α=8°，
在Rt△ABC中，∵tanα=ABBC，
∴BC=ABtanα=6tan8∘=42(cm)，
根据题意，得h2+422=(h+6)2，
∴h=144(cm)．
故选：B．
在Rt△ABC中，已知∠ACB=α=8°，AB=6，根据三角函数就可以求出BC的长；在直角△ABC中，根据已知条件，利用勾股定理就可以求出水深h．
本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．
10.【答案】C
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，根据已知条件得到CFAF=1：2.4=512，设CF=5k，AF=12k，根据勾股定理得到AC= CF2+AF2=13k=26，求得AF=24，CF=10，得到EF=6+24=30，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，∵CFAF=1：2.4=512，
∴设CF=5k，AF=12k，
∴AC= CF2+AF2=13k=26，
∴k=2，
∴AF=24，CF=10，
∵AE=6，
∴EF=6+24=30，
∵∠DEF=48°，
∴tan48°=DFEF=DF30=1.11，
∴DF=33.3，
∴CD=33.3−10=23.3，
答：古树CD的高度约为23.3米，
故选：C．
11.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
根据△ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O′作O′D⊥AB于点D，在直角△AO′D中利用三角函数求得AD的长，则AB′=2AD，然后根据BB′=AB′−AB即可求解．
【解答】
解：在等腰直角△OAB中，AB=4cm，则OA= 22AB=2 2cm，
如图，过O′作O′D⊥AB于点D，
∠AO′D=12×120°=60°，
则AD=AO′⋅sin60°=2 2× 32= 6cm．
则AB′=2AD=2 6cm，
故BB′=AB′−AB=2 6−4(cm)．
故选：A．
12.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
直接利用锐角三角函数关系分别得出BC，DC，AD，BD的长进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：cs30°=ADAC=AD20= 32，
解得：AD=10 3≈17(m)，
DC=12AC=10km，
∵β=45°，
∴DC=BD=10km，
则BC=10 2≈14(km)，
则AC+BC=20+14=34(km)，
AB=17+10=27(km)，
故隧道开通后缩短的路程是：34−27=7(km)．
故选：A．
13.【答案】35
【解析】【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解题关键．
利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．
【解答】
解：设OH=x米，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO=2x米，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为13，
∴BO=3x米，
则AO+BO=2x+3x=3米，
解得x=35(米)．
故答案为35．
14.【答案】6.3
【解析】解：如图，过点B，C分别作AE的垂线，垂足为点M，N;过点C作CD⊥ BM，垂足为点D．
在Rt△ABM中，∵∠BAE=60∘，AB=16cm，
∴BM=AB⋅sin60∘=16× 32=8 3(cm)，∠ABM=90∘−60∘=30∘．
在Rt△BCD中，∵∠DBC=∠ABC−∠ABM=50∘−30∘=20∘，
∴∠BCD=90∘−20∘=70∘．
又∵BC=8cm，
∴BD=8×sin70∘≈8×0.94=7.52(cm)
∴CN=DM=BM−BD≈8 3−7.52≈6.3(cm)，
即点C到AE的距离约为6.3cm．
15.【答案】10
【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数定义的应用.在Rt△ACD中，根据三角函数可求CD的长，CE−CD=AB，即可解答．
【解答】
解：如图：作AD⊥EC，垂足为D，可得Rt△ACD，矩形ABED，
∵AD⊥EC，
∴tan∠CAD=CDAD，
∴CD=AD⋅tan∠CAD=20 3×tan30°=20．
∴AB=30−CD=10．
故答案为：10．
16.【答案】10 5 3− 11
【解析】解：(1)如图，在Rt△ABC中，ACBC=sin30°，
∴BC=5sin30∘=10米；
(2)未收绳时AB=5÷tan30°=5 3米
收绳8秒后，绳子BC缩短了4米，只有6米，即CD=6米，
在Rt△ACD中，由AC=5米，CD=6米，
根据勾股定理得船到河岸的距离AD= 62−52= 36−25= 11米．
故移动距离DB=AB−AD=(5 3− 11)米，
故答案为(5 3− 11).
利用30°的正弦值可得未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度；
利用30°的余弦值可得未开始收绳子的时候AB长，易得收绳后BC长，利用勾股定理可得收绳后AB长，让未收绳时AB长减去收绳后AB长即为船向岸边移动的距离．
考查解直角三角形在实际生活中的应用，用到的知识点为：知道对边求斜边，可用正弦值，用除法；知道对边，求邻边，用除法，用正切值．
17.【答案】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
∵CD⊥AD，
∴易得四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE，FB=DE，
在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，
设BE=5x，AE=12x，
根据勾股定理，得AB=13x，
∴13x=52，
解得x=4，
∴BE=FD=5x=20，
AE=12x=48，
∴DE=FB=AD−AE=72−48=24，
∴在Rt△CBF中，CF=FB×tan∠CBF≈24×43≈32，
∴CD=FD+CF=20+32=52(米)．
答：大楼的高度CD约为52米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据斜坡AB的坡度为i=1：2.4，设BE=5x，AE=12x，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度CD．
18.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，∵BD=DC=9m，AD=6m，
∴AB= BD2+AD2= 92+62=3 13m，
∴sinB=ADAB=63 13=2 1313．
(2)∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF//AD，
∴∠BEF=∠BAD，
又∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAD，
又BE=2AE，
∴EFAD=BFBD=BEBA=23，
∴EF6=BF9=23，
∴EF=4m，BF=6m，
∴DF=3m，
在Rt△DEF中，DE= EF2+DF2= 42+32=5m．
【解析】(1)在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=ADAB计算即可；
(2)由EF//AD，BE=2AE，可得EFAD=BFBD=BEBA=23，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF−∠HEF=53°，∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE⋅sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(米)，
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9(米).
答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米．
【解析】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°.先求出∠AEH=53°，则∠EAH==37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE⋅sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
20.【答案】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，
∴tan42.0°=ADBD≈0.9，
∴AD≈0.9BD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD，
∴tan36.9°=CDBD≈0.75，
∴CD≈0.75BD，
∵AC=AD−CD，
∴15=0.15BD，
∴BD=100米，
∴CD≈0.75BD≈75(米)，
答：山高CD约为75米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．
根据锐角三角函数的定义得出AD≈0.9BD，CD≈0.75BD，利用AC=AD−CD，求出BD的长，即可求出CD的长．
21.【答案】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，
则CE//DF，
∵AB//CD，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=120，DF=CE，
在Rt△BDF中，∵∠BDF=32°，BD=80，
∴DF=cs32°⋅BD≈80×1720=68，BF=sin32°⋅BD≈80×1732=852(m)，
∴BE=EF−BF=1552(m)，
在Rt△ACE中，∵∠ACE=42°，CE=DF=68，
∴AE=CE⋅tan42°=68×910=3065(m)，
∴AB=AE+BE=1552+3065≈139m，
答：木栈道AB的长度约为139m．
【解析】本题考查解直角三角形−方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，于是得到CE//DF，推出四边形CDFE是矩形，得到EF=CD=120，DF=CE，解直角三角形即可得到结论．
22.【答案】解：(1)如图，作A′F⊥BD，垂足为F.
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A′FB=90°；
在Rt△A′FB中，∠1+∠3=90°；
图2又∵ A′B⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；
在△ACB和△BFA′中，∠ACB=∠A′FB∠2=∨3AB=A′B，
∴△ACB≌△BFA′(AAS)；
∴A′F=BC，
∵AC//DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.8；
∴BC=BD−CD=3−1.8=1.2，
∴A′F=1.2，
即A′到BD的距离是1.2m．
(2)由(1)知：△ACB≌△BFA′，
∴BF=AC=2m，
作A′H⊥DE，垂足为H．
∵A′F//DE，
∴A′H=FD，
∴A′H=BD−BF=3−2=1，
即A′到地面的距离是1m．
【解析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质的应用.熟练掌握定理是解题的关键．
(1)作A′F⊥BD，垂足为F，利用三角形全等得到△ACB≌△BFA′(AAS)，根据三角形全等的性质得到A′F=BC，可以求出结果；
(2)由(1)知：△ACB≌△BFA′，根据三角形全等的性质得到：BF=AC=2m， 作A′H⊥DE，垂足为H，得到A′H=FD，可以求出结果．
23.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可得四边形DCBE是矩形，
∴DE=BC，BE=DC=61米，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=45°，
∴AE=DE，
∴AE=DE=BC，
在Rt△BDE中，∠BDE=22°，
∴DE=BEtan22∘≈610.40≈152.5，
∴AB=AE+BE=DE+CD=152.5+61=213.5≈214(米)．
答：观景台的高AB的值约为214米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，DE=BC，BE=DC=61，再根据锐角三角函数可得DE的长，进而可得AB的值．
24.【答案】解：过点C作CE⊥BD于E.过点A作AF⊥CE于F．
∵矩形AHEF，AH=3.4，AC=9，∠CAH=138°．
∴EF=AH=3.4，∠CAF=138°−90°=48°．
在Rt△ACF中，CF=ACsin∠CAF=9×0.74=6.66≈6.7(m)．
∴CE=CF+EF=6.7+3.4=10.1(m)，
∴点C离地面的高度为10.1m．
【解析】作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，则四边形AHEF为矩形，得出EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，求出∠CAF=48°，在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算．
25.【答案】解：(1)作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则EF=AD=6m．
∵梯形ABCD中，AD//BC，
∴∠C=180°−∠ADC=180°−135°=45°，
∴DF=CF= 22CD=4 2(m)．
∴AE=DF=4 2(m)，
在直角△ABE中，BE=30−6−4 2=24−4 2(m)，
则tan∠ABC=AEBE=4 224−4 2= 26− 2= 2(6+ 2)34=6 2+234=3 2+117≈0.3084，则∠ABC=17°；
(2)S梯形ABCD=12(AD+BC)⋅AE=12(6+30)×4 2=72 2(m2)，
则建筑这个大坝共需土石料72 2×100≈10182.34(m3).
答：建筑这个大坝共需土石料10182.34m3．
【解析】(1)作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，在直角△CDF中，求得DF的长，即AE的长，在直角△ABE中即可求得∠ABC的正切值，即可求解；
(2)求得截面积，然后乘以100即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，以及三角函数，解题的基本依据是转化为解直角三角形．题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
CD=10m，α=45°，β=50°
题目
隧道开通后缩短的路程
测量目标示意图
相关数据
α=30°，β=45°，AC=20km
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A到达山顶B缆车需要15分钟，则山的高度BC为( )
A. 600⋅tan31°B. 600tan31∘C. 600⋅sin31°D. 600sin31∘
2.某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=1.18米，AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )
A. B. C. D.
3.如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA=37°，AC=28米，∠BAC=45°，则这棵树的高AB约为(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34， 2≈1.4)( )
A. 14米B. 15米C. 17米D. 18米
4.如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80∘角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC应为
( )
A. 1.8tan80∘mB. 1.8cs80∘mC. 1.8sin 80∘mD. 1.8tan 80∘m
5.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,A,B,C,D,O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于
( )
A. asinx+bsinxB. acsx+bcsxC. asinx+bcsxD. acsx+bsinx
6.小甬和小真两位同学来到体育馆前一个半圆形公益广告牌前，广告牌如图所示，两位同学认为如果要测得广告牌的半径，按以下方案获取数据后即可求得：他们先测得广告牌的影长为12米，然后小甬让小真站立，测得小真的影长为2.4米，已知小真同学身高为1.6米，那么广告牌的半径是( )
A. 6米B. 12 1313米C. (9 13−27)米D. 8 13−163米
7.下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A. x=(x−10)tan50°B. x=(x−10)cs50°
C. x−10=xtan50°D. x=(x+10)sin50°
8.如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30∘方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( )
A. 40海里B. 60海里C. 20 3海里D. 40 3海里
9.如图所示，老张利用国庆假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6m，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且项場恰好与水面平齐(即PAPC，水平线1与OC夹角a=8°(点A在OC上，则铅锤P处的水深h为(参考数据：sin8°= 210，cs8°=7 210，tan8°=17)( )
A. 150cm
B. 144cm
C. 111cm
D. 105cm
10.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为( )
(参考数据：sin48°≈0.73，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)
A. 17.0米B. 21.9米C. 23.3米D. 33.3米
11.如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O=90°，为了画一个半径更大的圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′=120°，则BB′的长为cm．( )
A. 2 6−4B. 6−2C. 2 2−2D. 2− 2
12. 某地A、B两市被大山阻隔，若要从A市到B市，只能沿着公路先从A市到C市，再由C市到B市．现计划开凿隧道使A，B两地直线贯通．下表是九年级兴趣小组设计的实践活动报告的部分内容：(结果精确到1km，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
通过计算隧道开通后缩短的路程是( )
A. 7kmB. 17kmC. 27kmD. 34km
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时(如图1)，AB与地面的夹角为30∘，当AB的另一端点B碰到地面时(如图2)，AB与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH= 米.
14.如图是一台手机支架的侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm，AB=16cm.当AB，BC转动到∠BAE=60∘，∠ABC=50∘时，点C到AE的距离为 cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin70∘≈0.94， 3≈1.73)．
15.如图，某小区两幢楼房的间距为20 3m，在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30∘.若两幢楼高均为30m，则楼甲的影子落在楼乙上的高度AB为 m.
16.如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是______米；收绳8秒后船向岸边移动了______米．(结果保留根号)
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i=1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
18.(本小题8分)
如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．
(1)求sinB的值；
(2)现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．
19.(本小题8分)
某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？(结果精确到0.1.参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cs 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75)
20.(本小题8分)
如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC=15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．
(参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90.)
21.(本小题8分)
如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD=120m，BD=80m，求木栈道AB的长度(结果保留整数)．
(参考数据：sin32°≈1732，cs32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cs42°≈34，tan42°≈910)
22.(本小题8分)
图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转B到地面的距离BD=3m.小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离AE=1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A′B⊥AB．
(1)求A′到BD的距离；
(2)求A′到地面的距离．
23.(本小题8分)
成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．
(结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40)
24.(本小题8分)
如图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m，AC是可以伸缩的起重臂，当AC长度为9m，张角∠HAC为138°时，求起重臂顶点C离地面BD的高度(结果保留小数点后一位).(参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)
25.(本小题8分)
如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD//BC，坝顶AD=6m，坡长CD=8m，坡底BC=30m，∠ADC=135°．
(1)求∠ABC的度数(结果精确到1°)；
(2)如果坝长100m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？(结果精确到0.01m3)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠BAC=31°，AB=40×15=600(米)，
sin∠BAC=BCAB，
∴BC=sin∠BAC⋅AB=600⋅sin31°．
故选：C．
作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的运算是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．
延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF//BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED=ADAE，AE=1.2米，求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．
【解答】
解：如图，延长BA、FE，交于点D，
∵AB⊥BC，EF//BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°，
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED=ADAE，AE=1.2米，
∴AD=AEsin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)，
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于常考题型．
如图，作BH⊥AC于H.设BH=x，构建方程即可解决问题．
【解答】
解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH=37°，∠BHC=90°，
设BH=xm，
∴CH=BHtan37∘≈x34=4x3，
∵∠A=45°，
∴AH=BH=x，
∴x+43x=28，
∴x=12，
∴AB= 2AH= 2×12≈17(m)
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．根据题意得出：∠ACB=80°，AB=1.8m，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】
解：如图所示：
由题意可得：∠BAC=90°，∠ACB=80°，AB=1.8m，
∴AC=ABtan80∘=1.8tan80∘(m)．
故选D．
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】D
【解析】解：如图，设圆心为O，OB是半径，点F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF于A，过点B作BE⊥AB交光线DF于E，设OF=OB=x米．
由题意CD=AB=12米，
∵BEAB=1.62.4，
∴BE=8米，
∵EF，EB都是切线，
∴EF=EB=8，
在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2= 122+82=4 13，
∴∠OAF=∠EAB，∠AFO=∠ABE=90°，
∴△AOF∽△AEB，
∴OFBE=AFAB，
∴x8=4 13−812，
∴x=8 13−163，
故选：D．
如图，设圆心为O，OB是半径，点F是光线DF与半圆的切点，延长BO交DF于A，过点B作BE⊥AB交DF的延长线于E，设OF=OB=x米．求出BE=EF=8，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
7.【答案】A
【解析】解：过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE=CD=10，CE=DH，
∴FH=x−10，
∵∠FDH=α=45°，
∴DH=FH=x−10，
∴CE=x−10，
∵tanβ=tan50°=EFCE=xx−10，
∴x=(x−10)tan 50°，
故选：A．
过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE=CD=10，CE=DH，求得FH=x−10，得到CE=x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30∘，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题。
【解答】解：在Rt△PAB中，
∵∠APB=30∘，
∴PB=2AB，
由题意知BC=2AB，
∴PB=BC，
∴∠C=∠CPB，
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60∘，
∴∠C=30∘，∴PC=2PA，
∵PA=AB⋅tan60∘，
∴PC=2×20× 3=40 3(海里)．
故选D．
9.【答案】B
【解析】解：∵l//BC，∴∠ACB=α=8°，
在Rt△ABC中，∵tanα=ABBC，
∴BC=ABtanα=6tan8∘=42(cm)，
根据题意，得h2+422=(h+6)2，
∴h=144(cm)．
故选：B．
在Rt△ABC中，已知∠ACB=α=8°，AB=6，根据三角函数就可以求出BC的长；在直角△ABC中，根据已知条件，利用勾股定理就可以求出水深h．
本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．
10.【答案】C
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，根据已知条件得到CFAF=1：2.4=512，设CF=5k，AF=12k，根据勾股定理得到AC= CF2+AF2=13k=26，求得AF=24，CF=10，得到EF=6+24=30，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，∵CFAF=1：2.4=512，
∴设CF=5k，AF=12k，
∴AC= CF2+AF2=13k=26，
∴k=2，
∴AF=24，CF=10，
∵AE=6，
∴EF=6+24=30，
∵∠DEF=48°，
∴tan48°=DFEF=DF30=1.11，
∴DF=33.3，
∴CD=33.3−10=23.3，
答：古树CD的高度约为23.3米，
故选：C．
11.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
根据△ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O′作O′D⊥AB于点D，在直角△AO′D中利用三角函数求得AD的长，则AB′=2AD，然后根据BB′=AB′−AB即可求解．
【解答】
解：在等腰直角△OAB中，AB=4cm，则OA= 22AB=2 2cm，
如图，过O′作O′D⊥AB于点D，
∠AO′D=12×120°=60°，
则AD=AO′⋅sin60°=2 2× 32= 6cm．
则AB′=2AD=2 6cm，
故BB′=AB′−AB=2 6−4(cm)．
故选：A．
12.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
直接利用锐角三角函数关系分别得出BC，DC，AD，BD的长进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：cs30°=ADAC=AD20= 32，
解得：AD=10 3≈17(m)，
DC=12AC=10km，
∵β=45°，
∴DC=BD=10km，
则BC=10 2≈14(km)，
则AC+BC=20+14=34(km)，
AB=17+10=27(km)，
故隧道开通后缩短的路程是：34−27=7(km)．
故选：A．
13.【答案】35
【解析】【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解题关键．
利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．
【解答】
解：设OH=x米，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO=2x米，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为13，
∴BO=3x米，
则AO+BO=2x+3x=3米，
解得x=35(米)．
故答案为35．
14.【答案】6.3
【解析】解：如图，过点B，C分别作AE的垂线，垂足为点M，N;过点C作CD⊥ BM，垂足为点D．
在Rt△ABM中，∵∠BAE=60∘，AB=16cm，
∴BM=AB⋅sin60∘=16× 32=8 3(cm)，∠ABM=90∘−60∘=30∘．
在Rt△BCD中，∵∠DBC=∠ABC−∠ABM=50∘−30∘=20∘，
∴∠BCD=90∘−20∘=70∘．
又∵BC=8cm，
∴BD=8×sin70∘≈8×0.94=7.52(cm)
∴CN=DM=BM−BD≈8 3−7.52≈6.3(cm)，
即点C到AE的距离约为6.3cm．
15.【答案】10
【解析】【分析】
本题主要考查了三角函数定义的应用.在Rt△ACD中，根据三角函数可求CD的长，CE−CD=AB，即可解答．
【解答】
解：如图：作AD⊥EC，垂足为D，可得Rt△ACD，矩形ABED，
∵AD⊥EC，
∴tan∠CAD=CDAD，
∴CD=AD⋅tan∠CAD=20 3×tan30°=20．
∴AB=30−CD=10．
故答案为：10．
16.【答案】10 5 3− 11
【解析】解：(1)如图，在Rt△ABC中，ACBC=sin30°，
∴BC=5sin30∘=10米；
(2)未收绳时AB=5÷tan30°=5 3米
收绳8秒后，绳子BC缩短了4米，只有6米，即CD=6米，
在Rt△ACD中，由AC=5米，CD=6米，
根据勾股定理得船到河岸的距离AD= 62−52= 36−25= 11米．
故移动距离DB=AB−AD=(5 3− 11)米，
故答案为(5 3− 11).
利用30°的正弦值可得未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度；
利用30°的余弦值可得未开始收绳子的时候AB长，易得收绳后BC长，利用勾股定理可得收绳后AB长，让未收绳时AB长减去收绳后AB长即为船向岸边移动的距离．
考查解直角三角形在实际生活中的应用，用到的知识点为：知道对边求斜边，可用正弦值，用除法；知道对边，求邻边，用除法，用正切值．
17.【答案】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
∵CD⊥AD，
∴易得四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE，FB=DE，
在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，
设BE=5x，AE=12x，
根据勾股定理，得AB=13x，
∴13x=52，
解得x=4，
∴BE=FD=5x=20，
AE=12x=48，
∴DE=FB=AD−AE=72−48=24，
∴在Rt△CBF中，CF=FB×tan∠CBF≈24×43≈32，
∴CD=FD+CF=20+32=52(米)．
答：大楼的高度CD约为52米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据斜坡AB的坡度为i=1：2.4，设BE=5x，AE=12x，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可进一步求大楼的高度CD．
18.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，∵BD=DC=9m，AD=6m，
∴AB= BD2+AD2= 92+62=3 13m，
∴sinB=ADAB=63 13=2 1313．
(2)∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF//AD，
∴∠BEF=∠BAD，
又∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAD，
又BE=2AE，
∴EFAD=BFBD=BEBA=23，
∴EF6=BF9=23，
∴EF=4m，BF=6m，
∴DF=3m，
在Rt△DEF中，DE= EF2+DF2= 42+32=5m．
【解析】(1)在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=ADAB计算即可；
(2)由EF//AD，BE=2AE，可得EFAD=BFBD=BEBA=23，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF−∠HEF=53°，∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE⋅sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(米)，
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9(米).
答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米．
【解析】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°.先求出∠AEH=53°，则∠EAH==37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE⋅sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
20.【答案】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，
∴tan42.0°=ADBD≈0.9，
∴AD≈0.9BD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD，
∴tan36.9°=CDBD≈0.75，
∴CD≈0.75BD，
∵AC=AD−CD，
∴15=0.15BD，
∴BD=100米，
∴CD≈0.75BD≈75(米)，
答：山高CD约为75米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．
根据锐角三角函数的定义得出AD≈0.9BD，CD≈0.75BD，利用AC=AD−CD，求出BD的长，即可求出CD的长．
21.【答案】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，
则CE//DF，
∵AB//CD，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=120，DF=CE，
在Rt△BDF中，∵∠BDF=32°，BD=80，
∴DF=cs32°⋅BD≈80×1720=68，BF=sin32°⋅BD≈80×1732=852(m)，
∴BE=EF−BF=1552(m)，
在Rt△ACE中，∵∠ACE=42°，CE=DF=68，
∴AE=CE⋅tan42°=68×910=3065(m)，
∴AB=AE+BE=1552+3065≈139m，
答：木栈道AB的长度约为139m．
【解析】本题考查解直角三角形−方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，于是得到CE//DF，推出四边形CDFE是矩形，得到EF=CD=120，DF=CE，解直角三角形即可得到结论．
22.【答案】解：(1)如图，作A′F⊥BD，垂足为F.
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A′FB=90°；
在Rt△A′FB中，∠1+∠3=90°；
图2又∵ A′B⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；
在△ACB和△BFA′中，∠ACB=∠A′FB∠2=∨3AB=A′B，
∴△ACB≌△BFA′(AAS)；
∴A′F=BC，
∵AC//DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.8；
∴BC=BD−CD=3−1.8=1.2，
∴A′F=1.2，
即A′到BD的距离是1.2m．
(2)由(1)知：△ACB≌△BFA′，
∴BF=AC=2m，
作A′H⊥DE，垂足为H．
∵A′F//DE，
∴A′H=FD，
∴A′H=BD−BF=3−2=1，
即A′到地面的距离是1m．
【解析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质的应用.熟练掌握定理是解题的关键．
(1)作A′F⊥BD，垂足为F，利用三角形全等得到△ACB≌△BFA′(AAS)，根据三角形全等的性质得到A′F=BC，可以求出结果；
(2)由(1)知：△ACB≌△BFA′，根据三角形全等的性质得到：BF=AC=2m， 作A′H⊥DE，垂足为H，得到A′H=FD，可以求出结果．
23.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可得四边形DCBE是矩形，
∴DE=BC，BE=DC=61米，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=45°，
∴AE=DE，
∴AE=DE=BC，
在Rt△BDE中，∠BDE=22°，
∴DE=BEtan22∘≈610.40≈152.5，
∴AB=AE+BE=DE+CD=152.5+61=213.5≈214(米)．
答：观景台的高AB的值约为214米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，DE=BC，BE=DC=61，再根据锐角三角函数可得DE的长，进而可得AB的值．
24.【答案】解：过点C作CE⊥BD于E.过点A作AF⊥CE于F．
∵矩形AHEF，AH=3.4，AC=9，∠CAH=138°．
∴EF=AH=3.4，∠CAF=138°−90°=48°．
在Rt△ACF中，CF=ACsin∠CAF=9×0.74=6.66≈6.7(m)．
∴CE=CF+EF=6.7+3.4=10.1(m)，
∴点C离地面的高度为10.1m．
【解析】作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，则四边形AHEF为矩形，得出EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，求出∠CAF=48°，在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算．
25.【答案】解：(1)作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则EF=AD=6m．
∵梯形ABCD中，AD//BC，
∴∠C=180°−∠ADC=180°−135°=45°，
∴DF=CF= 22CD=4 2(m)．
∴AE=DF=4 2(m)，
在直角△ABE中，BE=30−6−4 2=24−4 2(m)，
则tan∠ABC=AEBE=4 224−4 2= 26− 2= 2(6+ 2)34=6 2+234=3 2+117≈0.3084，则∠ABC=17°；
(2)S梯形ABCD=12(AD+BC)⋅AE=12(6+30)×4 2=72 2(m2)，
则建筑这个大坝共需土石料72 2×100≈10182.34(m3).
答：建筑这个大坝共需土石料10182.34m3．
【解析】(1)作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，在直角△CDF中，求得DF的长，即AE的长，在直角△ABE中即可求得∠ABC的正切值，即可求解；
(2)求得截面积，然后乘以100即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，以及三角函数，解题的基本依据是转化为解直角三角形．题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
CD=10m，α=45°，β=50°
题目
隧道开通后缩短的路程
测量目标示意图
相关数据
α=30°，β=45°，AC=20km
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