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2023-2024学年浙江省宁波三锋教研联盟高一上学期期中联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省宁波三锋教研联盟高一上学期期中联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“1( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.学校开运动会，设A=xx∣是参加100米跑的同学}，B=xx∣是参加200米跑的同学}，C=xx∣是参加400米跑的同学}.学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定
( )
A. A∩B∪C=⌀B. A∪B∩C=⌀
C. A∪B∪C=⌀D. A∩B∩C=⌀
3.命题“∃x>0，2x2-x-1≥0”的否定是
( )
A. ∀x≤0，2x2-x-1<0B. ∀x>0，2x2-x-1<0
C. ∀x≤0，2x2-x-1≥0D. ∃x≥0，2x2-x-1<0
4.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是( )
A. ①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x-1
B. ①y=x2，②y=x13，③y=x12，④y=x-1
C. ①y=x2，②y=x3，③y=x12，④y=x-1
D. ①y=x13，②y=x12，③y=x2，④y=x-1
5.若x，y满足-1A. (-2,0)B. (-2,2)C. (-1,0)D. (-1,1)
6.下列大小关系错误的是( )
A. 30.1>π0B. 12-0.3>12-0.2
C. 0.30.9>0.90.3D. 312> 212
7.已知函数fx=x2+2ax+16,x≤2-ax-1,x>2在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是
( )
A. -4,-2B. -∞,-2C. -∞,0D. -4,-2
8.已知函数fx=ex-e-x2x+2-x-8，且fa=10，那么f-a等于
( )
A. -18B. -26C. -10D. 10
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题中，是真命题的有( )
A. fx=x+x03，gx=x+13是同一函数
B. ∀x∈R，x+x2≥0
C. 某些平行四边形是菱形
D. a3a=a13
10.设b>a>0，则下列不等关系正确的是
( )
A. 1b<1aB. ba11.在下列函数中，最小值是2的函数有( )
A. fx=x2+x+2B. fx=2x+1
C. fx=x+1xD. fx=x+3,-112.已知函数fx满足对任意的x∈R，都有fx+2=-fx，f1=3，若函数y=fx-1的图象关于点1,0对称，且对任意的x1，x2∈0,1，x1≠x2，都有x1fx1+x2fx2>x1fx2+x2fx1，则下列结论正确的是
( )
A. fx的图象关于直线x=1对称B. fx是偶函数
C. f5-f2=3D. f-52>f54
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.y=fx是定义在1-2a,a+4上的奇函数，则实数a=______
14.已知函数y= -x2+2x+3的单调递增区间为______．
15.不等式2x-1x+1≥-1的解集为______．
16.已知实数x，y，且x+y+2xy=7.当x，y均为正数时，则x+y的最小值为 ；当x，y均为整数时，x+y的最小值为
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
函数fx是定义在R上的奇函数，当x∈0,+∞时，fx=x2+bx+c，且函数图象如图所示．
(1)求fx在R上的解析式；
(2)求f413×414÷216-1的值．
18.(本小题12分)
已知集合A=xx2-3x+2=0，集合B=xx2+2a+1x+a2-5=0．
(1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数fx=ax2+bx+ca≠0．
(1)若b=a，c=-2，不等式fx<0对一切实数x都成立，求a的取值范围；
(2)若fx>0的解集为-2,1，求关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集．
20.(本小题12分)
杭州第19届亚运会(The19thAsianGames)又称“杭州2022年第19届亚运会”，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本次亚运会共有45个国家(地区)12500余名运动员参加，赛事分6个赛区40多个场馆进行.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米隔热层的建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1=k2x+5(0≤x≤10,k为常数).当隔热层的厚度为5厘米时，y1等于2万元．已知15年的总维修费用为20万元，记y2为15年的总费用．(总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用)．
(1)求常数k；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
21.(本小题12分)
设函数fx=ax-ka-x(a>0且a≠1，k∈R)，fx是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值，判断当a>1时，函数fx在R上的单调性并用定义法证明；
(2)若f1=32，函数gx=a2x+a-2x-fx，x∈-1,1求gx的值域．
22.(本小题12分)
已知函数fx=xx-a．
(1)当a=2时，求fx的单调增区间；此时若对任意x1，x2∈0,m，当x1≠x2时，都有fx1-fx2x1-x2<2，求m的最大值；
(2)当a∈0,5时，记函数hx=1-fx，在x∈1,4上的最大值为ga，求ga的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题．
结合充分条件与必要条件的概念即可求解．
【解答】
解：∵“2< x<4”⇒“1< x<5”，
但“1< x<5”⇏“2< x<4”，
故“1< x<5”是“2< x<4”的必要不充分条件．
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据交集的含义求解即可．
解：学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，
故没有同学参加三项比赛，即 A∩B∩C=⌀ ．
故选：D
3.【答案】B
【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．
解：命题： ∃x>0 ， 2x2-x-1≥0 的否定为： ∀x>0 ， 2x2-x-1<0 ．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查幂函数，属于基础题．
根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案．
【解答】
解：函数 y=x3 为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数 y=x2≥0 ，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
y=x12= x 的定义域、值域都是 0,+∞ ，该函数图像应与③对应；
y=x-1=1x ，其图像应与④对应．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
由已知结合不等式的性质即可得到x-y的取值范围．
本题考查不等式的性质，是基础题．
【解答】
解：∵-1∴-1则-1<-y<1，可得-2∴x-y的取值范围是(-2,0)．
故选A．
6.【答案】C
【解析】【分析】由幂函数和指数函数的单调性对选项一一判断即可得出答案．
解：对于A， 30.1>1,π0=1 ，所以 30.1>π0 ，A正确；
对于B，因为 -0.3<-0.2 ，所以 12-0.3>12-0.2 ，B正确；
对于C，因为 y=x0.9 在 0,+∞ 上单调递增，所以 0.30.9<0.90.9 ，
又因为 0.3<0.9 ，所以 0.90.9<0.90.3 ，所以 0.30.9<0.90.3 ，故C错误；
对于D，因为 y=x12 在 0,+∞ 上单调递增， 3> 2 ，
所以 312> 212 ，故D正确．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解．
解：因为 y=x2+2ax+16 的对称轴为 x=-a ，
所以 y=x2+2ax+16 在 -∞,-a 上单调递减，在 -a,+∞ 上单调递增，
又 y=-ax-1 ，当 -a>0 即 a<0 时，在 1,+∞ 上单调递减，
函数 fx 是定义域上的减函数，则 -a≥2-a>020+4a≥-a ，解得 -4≤a≤-2 ．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质计算．
解：设 g(x)=f(x)+8=ex-e-x2x+2-x ，则 g(-x)=e-x-ex2-x+2x=-g(x) ，∴ g(x) 是奇函数，
又 g(a)=f(a)+8=18 ，所以 g(-a)=f(-a)+8=-18 ， f(-a)=-26 ，
故选：B．
9.【答案】BC
【解析】【分析】A选项，根据相同函数的定义可判断；B选项，根据全称命题的真假性可判断；C选项，由特称命题的真假性可判断；D选项，根据根式和分数指数幂互化可判断．
解：对于A， fx=x+x03 的定义域为 xx≠0 ，而函数 gx=x+13 的定义域为R，所以 fx 与 gx 不是同一函数，故A错误；
对于B， ∵x≥0 ， x2≥0 ， ∴x+x2≥0 ，故B正确；
对于C，两邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确；
对于D， a3a= a×a13= a43=a4312=a23 ，故D错误．
故选：BC．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】由题意，对每一选项结合作差法比较大小即可求解．
解：对于A，因为 b>a>0 ，所以 1b-1a=a-bab<0 ， 1b<1a ，故A正确；
对于B，因为 b>a>0 ，所以 ba-ab=b2-a2ab>0 ， ba>ab ，故B错误；
对于C，因为 b>a>0 ，所以 0对于D，因为 b>a>0 ，所以 a2b-ab2=aba-b<0 ， a2b故选：ACD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】根据二次函数、指数函数的性质，基本不等式等求出函数的最小值然后判断．
解：选项A， f(x)=x2+x+2=(x+12)2+74 ， f(x)min=f(-12)=74 ，A错；
选项B， x≥0 ，∴ f(x)=2x+1≥20+1=2 ，且 f(0)=2 ，B正确；
选项C， f(x)=x+1x=x+1x≥2 ，当且仅当 x=±1 时等号成立，C正确；
选项D， -1故选：BCD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】根据平移结合已知可推得 y=fx 的图象关于点 0,0 对称， fx 是奇函数.进而根据奇函数的性质，结合已知即可判断A项，以及求出函数周期，进而判断C项；根据已知结合函数单调性的定义，即可得出函数在 0,1 上的单调性，结合函数的周期性以及对称性，即可判断D项．
解：对于A、B项，由已知函数 y=fx-1 的图象关于点 1,0 对称，
可得， y=fx 的图象关于点 0,0 对称．
又 y=fx 定义域为R，所以 fx 是奇函数，故B项错误．
由 fx 是奇函数，可得 f-x=-fx ．
又由已知 fx+2=-fx 可得， fx+2=f-x ，
所以有 f1+x=f1-x ，所以 fx 的图象关于直线 x=1 对称，故A项正确；
对于C项，由 fx+2=-fx 可得， fx+4=-fx+2 ，
所以有 fx+4=fx ，
所以 fx 的周期为4，所以 f5=f1=3 ．
又 fx 是奇函数，所以 f0=0 ．
由 fx+2=-fx 代入 x=0 可得， f2=-f0=0 ，
所以， f5-f2=3 ，故C项正确；
对于D项，由 fx 的周期为4，可得 f-52=f32 ．
又 fx 的图象关于直线 x=1 对称，
所以， f32=f12 ， f54=f34 ，
所以， f-52=f12 ．
由对任意的 x1 ， x2∈0,1 ， x1≠x2 ，都有 x1fx1+x2fx2>x1fx2+x2fx1 ，
可得， x1-x2fx1-fx2>0 ．
所以， ∀0所以， fx 在 0,1 上单调递增．
所以， f12故选：AC．
13.【答案】5
【解析】【分析】根据奇函数的定义求解．
解：由题意 f(x)的定义域关于原点对称，
∴ 1-2a+a+4=0 ， a=5 ，
故答案为：5．
14.【答案】-1,1
【解析】【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案．
解：令 -x2+2x+3≥0 ，解得 -1≤x≤3 ，故函数定义域为 -1,3 ，
其中 u=-x2+2x+3=-x-12+4 ，
故 u=-x2+2x+3=-x-12+4 在 -1,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
其中 y= u 在 0,+∞ 上单调递增，
由复合函数单调性可知， y= -x2+2x+3 的单调递增区间为 -1,1 ．
故答案为： -1,1
15.【答案】-∞,-1∪0,+∞
【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可．
解：由 2x-1x+1≥-1 可得： 2x-1x+1+1≥0 ，即 2x-1+x+1x+1=xx+1≥0 ，
所以 xx+1≥0x+1≠0 ，解得： x≥0 或 x<-1 ．
故答案为： -∞,-1∪0,+∞ ．
16.【答案】 15-1；-9
【解析】【分析】由基本不等式可得 x+y+2xy=7≤x+y+2x+y22 ，解不等式即可；由 x+y+2xy=7 可得 2x+12y+1=15 因为x，y均为整数，所以 2x+1 ， 2y+1 为整数，分类讨论 2x+1=1,3,5,15,-1,-3,-5,-15 ，即可得出答案．
解：因为x，y均为正数时， x+y+2xy=7 ，
则 x+y+2xy=7≤x+y+2x+y22 ，当且仅当 x=y=-1+ 152 时取等，
即 x+y2+2x+y-14≥0 ，
解得： x+y≥ 15-1 或 x+y≤- 15-1 ，
因为x，y均为正数，所以 x+y≥ 15-1 ，所以 x+y 的最小值为 15-1 ；
由 x+y+2xy=7 可得 2x+12y+1=15
因为x，y均为整数，所以 2x+1 ， 2y+1 为整数，
则 2x+1=1 ， 2y+1=15 ，解得： x=0,y=7 ，所以 x+y=7 ，
2x+1=3 ， 2y+1=5 ，解得： x=1,y=2 ，所以 x+y=3 ，
2x+1=5 ， 2y+1=3 ，解得： x=2,y=1 ，所以 x+y=3 ，
2x+1=15 ， 2y+1=1 ，解得： x=7,y=0 ，所以 x+y=7 ，
2x+1=-1 ， 2y+1=-15 ，解得： x=-1,y=-8 ，所以 x+y=-9 ，
2x+1=-3 ， 2y+1=-5 ，解得： x=-2,y=-3 ，所以 x+y=-5 ，
2x+1=-5 ， 2y+1=-3 ，解得： x=-3,y=-2 ，所以 x+y=-5 ，
2x+1=-15 ， 2y+1=-1 ，解得： x=-8,y=-1 ，所以 x+y=-9 ，
故 x+y 的最小值为 -9 ．
故答案为： 15-1 ； -9 ．
17.【答案】解：(1)由图象可知当 x∈0,+∞ 时的函数图象过点 (0,0),(2,0) ，
故 c=0,4+2b=0,∴b=-2 ，
即此时函数解析式为 fx=x2-2x ；
又函数 fx 是定义在R上的奇函数，
故当 x<0 时， -x>0 ，则 f(x)=-f(-x)=-x2-2x ，
故 fx 在R上的解析式 f(x)=x2-2x,x≥0-x2-2x,x<0 ；
(2)因为 413×414÷216=276-16=2 ，
则 f413×414÷216-1=f1=1-2=-1 ．
【解析】【分析】(1)结合函数图像求得 x∈0,+∞ 时的函数解析式，根据函数奇偶性即可求得 x<0 时的解析式，即得答案；
(2)根据指数幂的运算性质求得 413×414÷216 的值，结合函数解析式即可求得答案．
18.【答案】解：(1)集合B元素个数为1. Δ=4a+12-4a2-5=0 ，
即 8a+3=0 ，解得： a=-3 ；
(2)∵ A∩B=B ，∴ B⊆A
对集合B讨论：
当 Δ<0 时，即 a<-3 时， B=⌀ ，满足条件；
当 Δ=0 时，即 a=-3 ，此时 B=2 ，满足条件；
当 Δ>0 时，要满足条件，必有 B=1,2 ，
由根与系数的关系有： 1+2=-2a+11×2=a2-5 ，此方程组无解，不满足条件舍去
综上所述，实数a的取值范围是 aa≤-3
【解析】【分析】(1)由判别式为0可得；
(2)由 A∩B=B 得 B⊆A ，然后对 B 分类讨论可得；
19.【答案】解：(1)由题意 ax2+ax-2<0,a≠0 对一切实数x都成立恒成立，
a<0Δ=a2+8a<0 ，解不等式组得 -8所以a的取值范围为 -8,0 ．
(2)由于 fx>0 即 ax2+bx+c>0,a≠0 的解集为 -2,1 ，所以 a<0-2+1=-ba-2×1=ca ，
即 {<0ba=1ca=-2 ，所以 a<0b=ac=-2a ，
所以不等式 cx2+bx+a>0 ，即 -2ax2+ax+a>0,a<0 ，
所以 2x2-x-1>0 ， 2x+1x-1>0 ，
解得 x<-12 或 x>1 ，
所以不等式 cx2+bx+a>0 的解集为 -∞,-12∪1,+∞ ．
【解析】【分析】(1)由题意一元二次不等式恒成立等价于 a<0Δ=a2+8a<0 ，解不等式组即可．
(2)由题意 fx>0 的解集为 -2,1 等价于 a<0-2+1=-ba-2×1=ca ，从而不等式 cx2+bx+a>0 等价于 -2ax2+ax+a>0,a<0 ，解一元二次不等式即可．
20.【答案】解：(1)依题意，当 x=5 时， y1=2 ，
∴ 2=k10+5 ，
∴ k=30 ．
(2)由(1)知 y2=4x+302x+5×15+20=4x+4502x+5+200≤x≤10 ，
∴ y2=22x+5+4502x+5+10≥2 22x+5⋅4502x+5+10=70 ，
当且仅当 22x+5=4502x+5 ，
即 x=5 时， y2 取最小值，最小值为70万元．
【解析】【分析】(1)当 x=5 时， y1=2 ，代入 y1=k2x+5 求出常数 k ；
(2)列出总费 y2 用关于 x 的函数表达式，使用基本不等式求最小值．
21.【答案】解：(1)因为 fx 是定义域为 R 的奇函数，则 f0=0 ，
所以 k=1 ， fx=ax-a-x
所以，当 a>1 时， fx 在 R 上单调递增，
∀x1 ，x2∈R，设 x1fx1-fx2=ax1-a-x1-ax2-a-x2=ax1-ax2-a-x1-a-x2=ax1-ax21+1ax1ax2
由于 a>1 ， x1则 ax1-ax2<0 ， 1+1ax1ax2>0 ，得 fx1-fx2<0 ， fx 在 R 上单调递增．
(2)f1=32 ，得 a=2 ， gx=a2x+a-2x-fx=22x+2-2x-2x-2-x=2x-2-x2-2x-2-x+2 ，
令 t=fx=2x-2-x ，由(1)知 fx 为增函数， x∈-1,1 ， t∈-32,32 ，
设 ht=t2-t+2=t-122+74 ，值域为 74,234 ．
【解析】【分析】(1)根据函数为 R 上的奇函数，可求得 k 的值，即可得函数 fx 的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
(2)根据 f1 的值，可以求得 a ，即可得 gx 的解析式，利用换元法，将函数 gx 转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域．
22.【答案】解：(1)a=2 时， fx=xx-2=xx-2,x>2x2-x,x≤2 增区间为 -∞,1 ， 2,+∞ ，
若 fx1-fx2x1-x2<2 ，不妨设 0≤x1对于 fx1-fx2x1-x2<2 ，则 fx1-fx2>2x1-2x2 ，
∴ fx1-2x1>fx2-2x2 ，即 rx=fx-2x 在 x1 ， x2∈0,m 上单调递减；
rx=xx-2-2x=-x2,x<2,x2-4x,x≥2 ，由图象知，m的最大值为2；
(2)hx=-x2+ax+1,x≥ax2-ax+1,x因为 y=-x2+ax+1 ， x≥a 对称轴为 x=a2 ，开口向下；
y=x2-ax+1 ， x于是最大值在 h1 ， h4 ， ha 中取得，
当 0≤a≤1 ，即 0≤a2≤12 时， hx 在 1,4 上单调递减．∴ hxmax=h1=a ；
当 1∴ hxmax=ha=1 ；
当 2a2,a 上单调递增，在 a,4 上单调递减，
∴ hxmax=maxh1,ha=max2-a,1=1 ；
当 4∴ hxmax=maxh1,h4=max2-a,17-4a=17-4a ，
∴ ga=a,0≤a≤11,1
【解析】【分析】(1) a=2 时求出 fx 增区间，设 0≤x12x1-2x2 得 rx=fx-2x 在 x1 ， x2∈0,m 上单调递减；再求 rx m的最大值；
(2)由最大值在 h1 ， h4 ， ha 中取得，分 0≤a≤1 、 1
1.“1
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.学校开运动会，设A=xx∣是参加100米跑的同学}，B=xx∣是参加200米跑的同学}，C=xx∣是参加400米跑的同学}.学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定
( )
A. A∩B∪C=⌀B. A∪B∩C=⌀
C. A∪B∪C=⌀D. A∩B∩C=⌀
3.命题“∃x>0，2x2-x-1≥0”的否定是
( )
A. ∀x≤0，2x2-x-1<0B. ∀x>0，2x2-x-1<0
C. ∀x≤0，2x2-x-1≥0D. ∃x≥0，2x2-x-1<0
4.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是( )
A. ①y=x3，②y=x2，③y=x12，④y=x-1
B. ①y=x2，②y=x13，③y=x12，④y=x-1
C. ①y=x2，②y=x3，③y=x12，④y=x-1
D. ①y=x13，②y=x12，③y=x2，④y=x-1
5.若x，y满足-1
6.下列大小关系错误的是( )
A. 30.1>π0B. 12-0.3>12-0.2
C. 0.30.9>0.90.3D. 312> 212
7.已知函数fx=x2+2ax+16,x≤2-ax-1,x>2在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是
( )
A. -4,-2B. -∞,-2C. -∞,0D. -4,-2
8.已知函数fx=ex-e-x2x+2-x-8，且fa=10，那么f-a等于
( )
A. -18B. -26C. -10D. 10
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题中，是真命题的有( )
A. fx=x+x03，gx=x+13是同一函数
B. ∀x∈R，x+x2≥0
C. 某些平行四边形是菱形
D. a3a=a13
10.设b>a>0，则下列不等关系正确的是
( )
A. 1b<1aB. ba
A. fx=x2+x+2B. fx=2x+1
C. fx=x+1xD. fx=x+3,-1
( )
A. fx的图象关于直线x=1对称B. fx是偶函数
C. f5-f2=3D. f-52>f54
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.y=fx是定义在1-2a,a+4上的奇函数，则实数a=______
14.已知函数y= -x2+2x+3的单调递增区间为______．
15.不等式2x-1x+1≥-1的解集为______．
16.已知实数x，y，且x+y+2xy=7.当x，y均为正数时，则x+y的最小值为 ；当x，y均为整数时，x+y的最小值为
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
函数fx是定义在R上的奇函数，当x∈0,+∞时，fx=x2+bx+c，且函数图象如图所示．
(1)求fx在R上的解析式；
(2)求f413×414÷216-1的值．
18.(本小题12分)
已知集合A=xx2-3x+2=0，集合B=xx2+2a+1x+a2-5=0．
(1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数fx=ax2+bx+ca≠0．
(1)若b=a，c=-2，不等式fx<0对一切实数x都成立，求a的取值范围；
(2)若fx>0的解集为-2,1，求关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集．
20.(本小题12分)
杭州第19届亚运会(The19thAsianGames)又称“杭州2022年第19届亚运会”，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本次亚运会共有45个国家(地区)12500余名运动员参加，赛事分6个赛区40多个场馆进行.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米隔热层的建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1=k2x+5(0≤x≤10,k为常数).当隔热层的厚度为5厘米时，y1等于2万元．已知15年的总维修费用为20万元，记y2为15年的总费用．(总费用=隔热层的建造成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用)．
(1)求常数k；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值．
21.(本小题12分)
设函数fx=ax-ka-x(a>0且a≠1，k∈R)，fx是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值，判断当a>1时，函数fx在R上的单调性并用定义法证明；
(2)若f1=32，函数gx=a2x+a-2x-fx，x∈-1,1求gx的值域．
22.(本小题12分)
已知函数fx=xx-a．
(1)当a=2时，求fx的单调增区间；此时若对任意x1，x2∈0,m，当x1≠x2时，都有fx1-fx2x1-x2<2，求m的最大值；
(2)当a∈0,5时，记函数hx=1-fx，在x∈1,4上的最大值为ga，求ga的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题．
结合充分条件与必要条件的概念即可求解．
【解答】
解：∵“2< x<4”⇒“1< x<5”，
但“1< x<5”⇏“2< x<4”，
故“1< x<5”是“2< x<4”的必要不充分条件．
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据交集的含义求解即可．
解：学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，
故没有同学参加三项比赛，即 A∩B∩C=⌀ ．
故选：D
3.【答案】B
【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．
解：命题： ∃x>0 ， 2x2-x-1≥0 的否定为： ∀x>0 ， 2x2-x-1<0 ．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查幂函数，属于基础题．
根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案．
【解答】
解：函数 y=x3 为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数 y=x2≥0 ，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
y=x12= x 的定义域、值域都是 0,+∞ ，该函数图像应与③对应；
y=x-1=1x ，其图像应与④对应．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
由已知结合不等式的性质即可得到x-y的取值范围．
本题考查不等式的性质，是基础题．
【解答】
解：∵-1
故选A．
6.【答案】C
【解析】【分析】由幂函数和指数函数的单调性对选项一一判断即可得出答案．
解：对于A， 30.1>1,π0=1 ，所以 30.1>π0 ，A正确；
对于B，因为 -0.3<-0.2 ，所以 12-0.3>12-0.2 ，B正确；
对于C，因为 y=x0.9 在 0,+∞ 上单调递增，所以 0.30.9<0.90.9 ，
又因为 0.3<0.9 ，所以 0.90.9<0.90.3 ，所以 0.30.9<0.90.3 ，故C错误；
对于D，因为 y=x12 在 0,+∞ 上单调递增， 3> 2 ，
所以 312> 212 ，故D正确．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解．
解：因为 y=x2+2ax+16 的对称轴为 x=-a ，
所以 y=x2+2ax+16 在 -∞,-a 上单调递减，在 -a,+∞ 上单调递增，
又 y=-ax-1 ，当 -a>0 即 a<0 时，在 1,+∞ 上单调递减，
函数 fx 是定义域上的减函数，则 -a≥2-a>020+4a≥-a ，解得 -4≤a≤-2 ．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质计算．
解：设 g(x)=f(x)+8=ex-e-x2x+2-x ，则 g(-x)=e-x-ex2-x+2x=-g(x) ，∴ g(x) 是奇函数，
又 g(a)=f(a)+8=18 ，所以 g(-a)=f(-a)+8=-18 ， f(-a)=-26 ，
故选：B．
9.【答案】BC
【解析】【分析】A选项，根据相同函数的定义可判断；B选项，根据全称命题的真假性可判断；C选项，由特称命题的真假性可判断；D选项，根据根式和分数指数幂互化可判断．
解：对于A， fx=x+x03 的定义域为 xx≠0 ，而函数 gx=x+13 的定义域为R，所以 fx 与 gx 不是同一函数，故A错误；
对于B， ∵x≥0 ， x2≥0 ， ∴x+x2≥0 ，故B正确；
对于C，两邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确；
对于D， a3a= a×a13= a43=a4312=a23 ，故D错误．
故选：BC．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】由题意，对每一选项结合作差法比较大小即可求解．
解：对于A，因为 b>a>0 ，所以 1b-1a=a-bab<0 ， 1b<1a ，故A正确；
对于B，因为 b>a>0 ，所以 ba-ab=b2-a2ab>0 ， ba>ab ，故B错误；
对于C，因为 b>a>0 ，所以 0
11.【答案】BCD
【解析】【分析】根据二次函数、指数函数的性质，基本不等式等求出函数的最小值然后判断．
解：选项A， f(x)=x2+x+2=(x+12)2+74 ， f(x)min=f(-12)=74 ，A错；
选项B， x≥0 ，∴ f(x)=2x+1≥20+1=2 ，且 f(0)=2 ，B正确；
选项C， f(x)=x+1x=x+1x≥2 ，当且仅当 x=±1 时等号成立，C正确；
选项D， -1
12.【答案】AC
【解析】【分析】根据平移结合已知可推得 y=fx 的图象关于点 0,0 对称， fx 是奇函数.进而根据奇函数的性质，结合已知即可判断A项，以及求出函数周期，进而判断C项；根据已知结合函数单调性的定义，即可得出函数在 0,1 上的单调性，结合函数的周期性以及对称性，即可判断D项．
解：对于A、B项，由已知函数 y=fx-1 的图象关于点 1,0 对称，
可得， y=fx 的图象关于点 0,0 对称．
又 y=fx 定义域为R，所以 fx 是奇函数，故B项错误．
由 fx 是奇函数，可得 f-x=-fx ．
又由已知 fx+2=-fx 可得， fx+2=f-x ，
所以有 f1+x=f1-x ，所以 fx 的图象关于直线 x=1 对称，故A项正确；
对于C项，由 fx+2=-fx 可得， fx+4=-fx+2 ，
所以有 fx+4=fx ，
所以 fx 的周期为4，所以 f5=f1=3 ．
又 fx 是奇函数，所以 f0=0 ．
由 fx+2=-fx 代入 x=0 可得， f2=-f0=0 ，
所以， f5-f2=3 ，故C项正确；
对于D项，由 fx 的周期为4，可得 f-52=f32 ．
又 fx 的图象关于直线 x=1 对称，
所以， f32=f12 ， f54=f34 ，
所以， f-52=f12 ．
由对任意的 x1 ， x2∈0,1 ， x1≠x2 ，都有 x1fx1+x2fx2>x1fx2+x2fx1 ，
可得， x1-x2fx1-fx2>0 ．
所以， ∀0
所以， f12
13.【答案】5
【解析】【分析】根据奇函数的定义求解．
解：由题意 f(x)的定义域关于原点对称，
∴ 1-2a+a+4=0 ， a=5 ，
故答案为：5．
14.【答案】-1,1
【解析】【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案．
解：令 -x2+2x+3≥0 ，解得 -1≤x≤3 ，故函数定义域为 -1,3 ，
其中 u=-x2+2x+3=-x-12+4 ，
故 u=-x2+2x+3=-x-12+4 在 -1,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
其中 y= u 在 0,+∞ 上单调递增，
由复合函数单调性可知， y= -x2+2x+3 的单调递增区间为 -1,1 ．
故答案为： -1,1
15.【答案】-∞,-1∪0,+∞
【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可．
解：由 2x-1x+1≥-1 可得： 2x-1x+1+1≥0 ，即 2x-1+x+1x+1=xx+1≥0 ，
所以 xx+1≥0x+1≠0 ，解得： x≥0 或 x<-1 ．
故答案为： -∞,-1∪0,+∞ ．
16.【答案】 15-1；-9
【解析】【分析】由基本不等式可得 x+y+2xy=7≤x+y+2x+y22 ，解不等式即可；由 x+y+2xy=7 可得 2x+12y+1=15 因为x，y均为整数，所以 2x+1 ， 2y+1 为整数，分类讨论 2x+1=1,3,5,15,-1,-3,-5,-15 ，即可得出答案．
解：因为x，y均为正数时， x+y+2xy=7 ，
则 x+y+2xy=7≤x+y+2x+y22 ，当且仅当 x=y=-1+ 152 时取等，
即 x+y2+2x+y-14≥0 ，
解得： x+y≥ 15-1 或 x+y≤- 15-1 ，
因为x，y均为正数，所以 x+y≥ 15-1 ，所以 x+y 的最小值为 15-1 ；
由 x+y+2xy=7 可得 2x+12y+1=15
因为x，y均为整数，所以 2x+1 ， 2y+1 为整数，
则 2x+1=1 ， 2y+1=15 ，解得： x=0,y=7 ，所以 x+y=7 ，
2x+1=3 ， 2y+1=5 ，解得： x=1,y=2 ，所以 x+y=3 ，
2x+1=5 ， 2y+1=3 ，解得： x=2,y=1 ，所以 x+y=3 ，
2x+1=15 ， 2y+1=1 ，解得： x=7,y=0 ，所以 x+y=7 ，
2x+1=-1 ， 2y+1=-15 ，解得： x=-1,y=-8 ，所以 x+y=-9 ，
2x+1=-3 ， 2y+1=-5 ，解得： x=-2,y=-3 ，所以 x+y=-5 ，
2x+1=-5 ， 2y+1=-3 ，解得： x=-3,y=-2 ，所以 x+y=-5 ，
2x+1=-15 ， 2y+1=-1 ，解得： x=-8,y=-1 ，所以 x+y=-9 ，
故 x+y 的最小值为 -9 ．
故答案为： 15-1 ； -9 ．
17.【答案】解：(1)由图象可知当 x∈0,+∞ 时的函数图象过点 (0,0),(2,0) ，
故 c=0,4+2b=0,∴b=-2 ，
即此时函数解析式为 fx=x2-2x ；
又函数 fx 是定义在R上的奇函数，
故当 x<0 时， -x>0 ，则 f(x)=-f(-x)=-x2-2x ，
故 fx 在R上的解析式 f(x)=x2-2x,x≥0-x2-2x,x<0 ；
(2)因为 413×414÷216=276-16=2 ，
则 f413×414÷216-1=f1=1-2=-1 ．
【解析】【分析】(1)结合函数图像求得 x∈0,+∞ 时的函数解析式，根据函数奇偶性即可求得 x<0 时的解析式，即得答案；
(2)根据指数幂的运算性质求得 413×414÷216 的值，结合函数解析式即可求得答案．
18.【答案】解：(1)集合B元素个数为1. Δ=4a+12-4a2-5=0 ，
即 8a+3=0 ，解得： a=-3 ；
(2)∵ A∩B=B ，∴ B⊆A
对集合B讨论：
当 Δ<0 时，即 a<-3 时， B=⌀ ，满足条件；
当 Δ=0 时，即 a=-3 ，此时 B=2 ，满足条件；
当 Δ>0 时，要满足条件，必有 B=1,2 ，
由根与系数的关系有： 1+2=-2a+11×2=a2-5 ，此方程组无解，不满足条件舍去
综上所述，实数a的取值范围是 aa≤-3
【解析】【分析】(1)由判别式为0可得；
(2)由 A∩B=B 得 B⊆A ，然后对 B 分类讨论可得；
19.【答案】解：(1)由题意 ax2+ax-2<0,a≠0 对一切实数x都成立恒成立，
a<0Δ=a2+8a<0 ，解不等式组得 -8
(2)由于 fx>0 即 ax2+bx+c>0,a≠0 的解集为 -2,1 ，所以 a<0-2+1=-ba-2×1=ca ，
即 {<0ba=1ca=-2 ，所以 a<0b=ac=-2a ，
所以不等式 cx2+bx+a>0 ，即 -2ax2+ax+a>0,a<0 ，
所以 2x2-x-1>0 ， 2x+1x-1>0 ，
解得 x<-12 或 x>1 ，
所以不等式 cx2+bx+a>0 的解集为 -∞,-12∪1,+∞ ．
【解析】【分析】(1)由题意一元二次不等式恒成立等价于 a<0Δ=a2+8a<0 ，解不等式组即可．
(2)由题意 fx>0 的解集为 -2,1 等价于 a<0-2+1=-ba-2×1=ca ，从而不等式 cx2+bx+a>0 等价于 -2ax2+ax+a>0,a<0 ，解一元二次不等式即可．
20.【答案】解：(1)依题意，当 x=5 时， y1=2 ，
∴ 2=k10+5 ，
∴ k=30 ．
(2)由(1)知 y2=4x+302x+5×15+20=4x+4502x+5+200≤x≤10 ，
∴ y2=22x+5+4502x+5+10≥2 22x+5⋅4502x+5+10=70 ，
当且仅当 22x+5=4502x+5 ，
即 x=5 时， y2 取最小值，最小值为70万元．
【解析】【分析】(1)当 x=5 时， y1=2 ，代入 y1=k2x+5 求出常数 k ；
(2)列出总费 y2 用关于 x 的函数表达式，使用基本不等式求最小值．
21.【答案】解：(1)因为 fx 是定义域为 R 的奇函数，则 f0=0 ，
所以 k=1 ， fx=ax-a-x
所以，当 a>1 时， fx 在 R 上单调递增，
∀x1 ，x2∈R，设 x1
由于 a>1 ， x1
(2)f1=32 ，得 a=2 ， gx=a2x+a-2x-fx=22x+2-2x-2x-2-x=2x-2-x2-2x-2-x+2 ，
令 t=fx=2x-2-x ，由(1)知 fx 为增函数， x∈-1,1 ， t∈-32,32 ，
设 ht=t2-t+2=t-122+74 ，值域为 74,234 ．
【解析】【分析】(1)根据函数为 R 上的奇函数，可求得 k 的值，即可得函数 fx 的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
(2)根据 f1 的值，可以求得 a ，即可得 gx 的解析式，利用换元法，将函数 gx 转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域．
22.【答案】解：(1)a=2 时， fx=xx-2=xx-2,x>2x2-x,x≤2 增区间为 -∞,1 ， 2,+∞ ，
若 fx1-fx2x1-x2<2 ，不妨设 0≤x1
∴ fx1-2x1>fx2-2x2 ，即 rx=fx-2x 在 x1 ， x2∈0,m 上单调递减；
rx=xx-2-2x=-x2,x<2,x2-4x,x≥2 ，由图象知，m的最大值为2；
(2)hx=-x2+ax+1,x≥ax2-ax+1,x因为 y=-x2+ax+1 ， x≥a 对称轴为 x=a2 ，开口向下；
y=x2-ax+1 ， x于是最大值在 h1 ， h4 ， ha 中取得，
当 0≤a≤1 ，即 0≤a2≤12 时， hx 在 1,4 上单调递减．∴ hxmax=h1=a ；
当 1
当 2
∴ hxmax=maxh1,ha=max2-a,1=1 ；
当 4
∴ ga=a,0≤a≤11,1
【解析】【分析】(1) a=2 时求出 fx 增区间，设 0≤x1
(2)由最大值在 h1 ， h4 ， ha 中取得，分 0≤a≤1 、 1
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