浙江省宁波市三锋教研联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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高一年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在中，角所对边分别为，且，（ ）
A. B. 或C. D. 或
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
3. 已知是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 下列结论正确的是（ ）
A. 若直线不平行于平面，且，那么内存在一条直线与平行
B. 已知平面和直线，则内至少有一条直线与垂直
C. 如果两个平面相交，则它们有有限个公共点
D. 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
5. 已知内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形
6. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 空间三点可以唯一确定一个平面
B. 为两个不同的平面，直线，则“”是“”必要不充分条件
C. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D. 长方体是直平行六面体
10. 已知是夹角为单位向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D. 在方向上的投影向量为
11. 正方体的棱长为1，分别为的中点，则（ ）
A. 直线与平面平行
B.
C. 过的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形
D. 过的平面截此正方体所得的截面的面积范围是
12. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13. 已知一个球的半径是，则它的表面积是_____．
14. 如图，甲乙两人做游戏，甲在处发现乙在北偏东方向，相距6百米的处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要_________分钟．
15. 四棱锥底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则_________

16. 已知中，，，若在平面内一点满足，则的最大值为_________
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与平行，求实数的值．
18. 记的内角的对边分别为，面积为，且．
（1）求的外接圆的半径；
（2）若，且边上的高，求角．
19. 如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面
（1）证明：平面
（2）证明：
20. 在中，角所对的边分别为，且满足
（1）求角的值；
（2）若且，求取值范围．
21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，是边长为1的正三角形，且分别是棱上的动点，为中点．
（1）若为中点，证明：∥面
（2）求的最小值
22. 在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足．
（1）若，求的值；
（2）在（1）条件下，求的最小值；
（3）若，求的取值范围．