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2023-2024学年浙江省绍兴市第一中学高一上学期期中数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省绍兴市第一中学高一上学期期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题“∀x≥2,x2≥4”的否定为
( )
A. “∀x≤2,x2≥4”B. “∀x≥2,x2<4”
C. “∃x<2,x2<4”D. “∃x≥2,x2<4”
2.已知全集U=R，N={x|-3( )
A. {x|-3C. {x|-1≤x<0}D. {x|x<-3}
3.已知函数f(x)=(m2-2m-2)⋅xm-2是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m=( )
A. -1B. -1或3C. 3D. 2
4.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. f(x)=|x|x，g(x)=1,x>0-1,x<0B. f(x)=2x，g(x)= 4x2
C. f(x)= -2x3，g(x)=x -2xD. f(x)=lgx2，g(x)=2lgx
5.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax与y=lg1ax的图象可能为
( )
A. B.
C. D.
6.针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾．已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强P(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为P=760e-hk(e为自然对数的底数，k是常数)，根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则当歼20战机巡航高度为1000m，歼16D战机的巡航高度为1500m时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的倍．( )
A. 0.67B. 0.92C. 1.09D. 1.5
7.设a=lg63，b=lg5，c=20.1，则
( )
A. a8.设函数f1(x)=x3，f2(x)=2(x-x2)，f3(x)=|2x2-x|，ai=i99，i=0,1,2,⋯,99，记Ik=fk(a1)-fk(a0)+fk(a2)-fk(a1)+⋯+fk(a99)-fk(a98)，k=1,2,3，则
( )
A. I1二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.奇函数y=f(x)在x∈[-4,0]的图象如图所示，则下列结论正确的有
( )
A. 当x∈[0,4]时，f(x)∈[-2,2]B. 函数f(x)在[2,4]上单调递减
C. f(12)>f(32)D. 方程f(x)=0有6个根
10.已知a>0,b>0，且a+b=ab则
( )
A. a-1b-1=1B. ab的最大值为4
C. a+4b的最小值为9D. 1a2+2b2的最小值为23
11.设m>1，lgma=mb=c，若a，b，c互不相等，则
( )
A. a>1B. c≠e
C. b12.定义在R上的函数fx满足f2-x=fx,f1=2,f3x+2为奇函数，函数gxx∈R满足gx=-g4-x，若y=fx与y=gx恰有2023个交点x1,y1,x2,y2,⋯,x2023,y2023，则下列说法正确的是
( )
A. f2023=2B. x=1为y=fx的对称轴
C. f0=0D. i=12023xi+yi=4046
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知a<-2，b>4，则a2+b的取值范围是__________．
14.已知函数f(x)=x3+2,x<1x2-ax,x≥1，若f(f(0))=-2，则实数a=__________．
15.已知函数f(x)=lg2x的反函数为g(x)，且有g(a)g=16，若a≥0，b≥0，则42a+b+1a+2b的最小值为__________．( )
16.已知实数x，y满足ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023)，则ex+y+2024的最小值是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)计算51160.5-2×21027-23-2× 2+π0÷34-2；
(2)计算3lg32-2lg23⋅lg278+13lg68+2lg6 3．
18.(本小题12分)
在①A∪B=B：②“x∈A”是“x∈B”的充分条件：③A∩(∁RB)=⌀这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A={xx-a+1x-a-1≤0}，B=xx-12≤32}
(1)当a=2时，求A∪B；
(2)若________，求实数a的取值范围.【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=a⋅3x+13x为偶函数．
(1)求a的值，并证明f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)求满足f(lgx)20.(本小题12分)
近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)=10+kx(k为常数，且k>0)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四个函数模型：①Q(x)=ax+b；②Q(x)=ax-m+b；③Q(x)=a-bx；④Q(x)=a⋅lgbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域；
(3)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lg2x8)⋅[lg2(2x)]，函数g(x)=4x-2x+1-3．
(1)当x∈[12,2]时，求函数g(x)的值域；
(2)若不等式f(x)-g(a)≤0对任意实数a∈[12,2]恒成立，试求实数x的取值范围．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=x2-ax+b(a,b∈R)．
(1)若f(x)在区间[0,1]上的最大值为b，求a的取值范围；
(2)存在实数a，使得当x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查全称命题的否定，属于基础题．
根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答．
【解答】
解：命题“ ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“ ∀x≥2,x2≥4 ”的否定是： ∃x≥2,x2<4 ．
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考察集合运算问题以及韦恩图的应用，属于基础题．
图中阴影部分表示的集合是∁UM∩N，进而求解即可．
【解答】
解：图中阴影部分表示的集合是∁UM∩N，由于N={x|-3∁UM={x|x⩾-1}，
则∁UM∩N=x-1⩽x<0．
故选C
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的概念及其性质，考查函数的单调性，属于基础题．
据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，m2-2m-2=1，即(m+1)(m-3)=0，解得m=-1或m=3，
∴当m=-1时，m-2=-3，则f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减，不合题意;
当m=3时，m-2=1，则f(x)=x在(0,+∞)上单调递增，符合题意，
∴m=3，
故选：C
4.【答案】A
【解析】【分析】利用同一函数的定义判断即可．
解：对于A. f(x)=xx=1,x>0-1,x<0 与 g(x)=1,x>0-1,x<0 的定义域均为 x|x≠0 ，对应关系相同，则 f(x) 与 g(x) 为同一函数；
对于B. f(x)=2xx∈R 与 g(x)= 4x2=2xx∈R 的对应关系不同，则 f(x) 与 g(x) 不是同一函数；
对于C. f(x)= -2x3=x -2x=-x -2xx≤0 与 g(x)=x -2xx≤0 的对应关系不同，则 f(x) 与 g(x) 不是同一函数；
对于D. f(x)=lgx2 的定义域为 x|x≠0 ， g(x)=2lgx 的定义域为 x|x>0 ，定义域不同，则 f(x) 与 g(x) 不是同一函数．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】先利用指数函数的性质排除选项AD，再结合对数函数的单调性排除选项B，再检验选项C中图像性质，由此得解．
解：因为 a>1 ，所以 y=ax 单调递增，且 y=ax>0 恒成立，即 x 轴上方的图像是 y=ax 的图像，且图像单调递增，从而排除选项AD；
而 0<1a<1 ，所以 y=lg1ax 单调递减，从而排除选项B，
而选项C中的图像性质满足要求，故C正确．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
根据已知条件，结合指数幂的运算性质，即可求解．
【解答】解：由题意，可设当歼20战机巡航高度为1000m，P1=760e-1000k，
歼16D战机的巡航高度为1500m，P2=760e-1500k，
则P1P2=e500k，
又∵500m高空处的大气压强是700mmHg，
∴700=760e-500k，
∴e500k=760700≈1.09．
故选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】设 fx=lgxx2 可判断 fx 的单调性，利用单调性可比较 a,b 的值，由指数函数的单调性可判断 c 的范围，即可得正确选项．
解：令 fx=lgxx2=lgxx-lgx2=1-1lg2x ，
因为 y=lg2x 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 fx=lgxx2=1-1lg2x 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 a=lg63=f6 ， b=lg5=f10 ，
所以 a因为 y=2x 在 R 上单调递增，所以 c=20.1>20=1 ，
所以 a故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，结合函数的单调性，对称性及绝对值的定义，分别求出 I1,I2,I3 与1的关系，进而得出答案．
解：函数 f1(x)=x3 在 R 上单调递增， ai=i99 随 i 的增大而增大，
从而 f1(a0)I1=f1(a1)-f1(a0)+f1(a2)-f1(a1)+⋯+f1(a99)-f1(a98)
=f1(a1)-f1(a0)+f1(a2)-f1(a1)+⋯+f1(a99)-f1(a98)
=f1(a99)-f1(a0)=99993-0993=1 ．
f2(x)=2(x-x2) 的对称轴为 x=12 ，
f2(x) 在 -∞,12 上单调递增，在 12,+∞ 上单调递减，
当 i=0,1,2,⋯,49 时， ai=i99<12 ，则 f2(a0)当 i=50,51,52,⋯,99 时， ai=i99>12 ，则 f2(a50)>f2(a51)>⋯>f2(a99) ，
又 a49=4999,a50=5099 ， 12-a49=a50-12 ，则 f2(a49)=f2(a50) ，同理 f2(a0)=f2(a99)
I2=f2(a1)-f2(a0)+f2(a2)-f2(a1)+⋯+f2(a99)-f2(a98)
=f2(a1)-f2(a0)+f2(a2)-f2(a1)+⋯+f2(a49)-f2(a48)+0+f2(a50)-f2(a51) +f2(a51)-f2(a52)+⋯+f2(a98)-f2(a99)
=f2(a49)-f2(a0)+f2(a50)-f2(a99)=2f2(a49)-2f2(a0)
=44999-49992-4099-0992=94089801<1 ．
当 0≤x≤12 时， 2x2-x≤0 ，则 f3(x)=x-2x2 ，图象关于 x=14 对称，
则 f3(x) 在 0,14 上单调递增，在 14,12 上单调递减，
当 x>12 时， 2x2-x>0 ， f3(x)=2x2-x ，则 f3(x) 在 12,+∞ 上单调递增，
当 i=0,1,2,⋯,24 时， ai=i99<14 ，则 f3(a0)当 i=25,26,⋯,49 时， 14f3(a26)>⋯>f3(a49) ；
又 a24=2499,a25=2599 ， 14-a24=a25-14 ，则 f3(a24)=f3(a25) ；
当 i=50,51,⋯,99 时， ai=i99>12 ，则 f3(a50)f3(a49)=4999-249992=499801,f3(a50)=250992-5099=509801 ，即 f3(a49)I3=f3(a1)-f3(a0)+f3(a2)-f3(a1)+⋯+f3(a99)-f3(a98)
=f3(a1)-f3(a0)+f3(a2)-f3(a1)+⋯+f3(a24)-f3(a23)+0+f3(a25)-f3(a26)+⋯+f3(a48)-f3(a49) +f3(a50)-f3(a49)+f3(a51)-f3(a50)+f3(a52)-f3(a51)+⋯+f3(a99)-f3(a98)
=f3(a24)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a49) +f3(a99)-f3(a49)
=f3(a24)-f3(a0)+f3(a25)-2f3(a49)+f3(a99)
=2499-224992-099-20992+2599-225992-49×29801+299992-9999=121529801>1 ．
所以 I2故选：B．
9.【答案】AB
【解析】【分析】结合 fx 的图像，根据奇函数的对称性，分析函数 fx 的性质，由此得解．
解：根据图像可知，当 x∈-4,0 时， fx∈-2,2 ， fx 在 -4,-2,-12,0 上递减，在 -2,-12 上递增，
所以根据奇函数性质可，当 x∈0,4 时， fx∈-2,2 ，故A正确；
当 x∈[0,4] 时， fx 在 0,12,2,4 上递减，在 12,2 上递增，故B正确；
由于 fx 在 12,2 上递增，所以 f12当 x∈-4,0 时，由图象可知 fx=0 有两个根，
所以在 x∈0,4 上， fx=0 也有两个根，又 f0=0 ，
所以方程 f(x)=0 有5个根，故D错误．
故选：AB．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】由条件变形后分解因式可判断A；利用基本不等式结合解不等式可判断B；由条件变形可得 1a+1b=1 ，结合1的妙用可判断C；由条件可得 a=bb-1 ，代入 1a2+2b2 结合二次函数的性质可判断D．
解：由 a+b=ab ，得 ab-1-b+1=1 ，即 a-1b-1=1 ，故A正确；
ab=a+b≥2 ab ，(当且仅当 a=b=2 时取等号)，解得 ab≥4 ，故B错误；
由 a+b=ab 变形可得 1a+1b=1 ，
所以 a+4b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba+ab≥5+2 4ba⋅ab=9 ，
当且仅当 a=2b 且 a+b=ab ，即 a=3,b=32 时取等号，故C正确；
由 a+b=ab ，得 a=bb-1 ， 0所以 1a2+2b2=(b-1)2b2+2b2=3b2-2b+1=31b-132+23 ，
因为 1b>1 ，则 1b=13 ，即 b=3,a=32 时， 1a2+2b2 取最小值 23 ，故D正确．
故选：ACD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】本题关键点是将 a,b,c 看成函数 y=lgmx,y=mx,y=x 与 y=c 图象的交点横坐标，作出函数 y=lgmx,y=mx,y=x 与 y=c 图象，讨论 m 的取值即可比较 a,b,c 的大小．
由 lgma>0 ，可解得 a>1 ，可判断A；当 c=e 时，取 m=e1e>1 ，可得 a=b=c ，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将 a,b,c 看成函数 y=lgmx,y=mx,y=x 与 y=c 图象的交点，可判断C，D．
解：由 mb=c>0 ，可得 lgma>0 ，因为 m>1 ，所以 a>1 ，故A正确；
当 c=e 时， lgma=mb=c=e ，若 m=e1e>1 ，则 a=me=e,c=e,b=lgme=e ，
故 a=b=c ，不满足a，b，c互不相等，所以 c≠e ，故B正确，
因为 m>1 ， lgma=mb=c ，
可将 a,b,c 看成函数 y=lgmx,y=mx,y=x 与 y=c 图象的交点横坐标，
当 m=1.1 时，图象如下图，
可得： a当 m=3 时，图象如下图，
可得： b故选：ABD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】由 f(2-x)=f(x) ，得函数 f(x) 图象关于直线 x=1 对称，由 f(3x+2) 是奇函数，得 f(x) 的图象关于点 (2,0) 对称，从而得 f(x) 是周期函数，4是它的一个周期，由 g(x)=-g(4-x) ，得 g(x) 图象关于点 (2,0) 对称，从而知 f(x) 与 g(x) 的图象的交点关于点 (2,0) 对称，点 (2,0) 是它们的一个公共点，由此可判断各选项．
解： f(2-x)=f(x) ，则函数 f(x) 图象关于直线 x=1 对称，B正确；
f(3x+2) 是奇函数，即 f(-3x+2)=-f(3x+2) ， f(-t+2)=-f(t+2) ，则 f(x) 的图象关于点 (2,0) 对称， f(2)=0 ， f(0)=f(2)=0 ，C正确；
所以 f(x+2)=-f(2-x)=-f[1-(1-x)]=-f(x) ，从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ，所以 f(x) 是周期函数，4是它的一个周期， f(2023)=f(3)=-f(1)=-2 ，A错；
又 g(x)=-g(4-x) ， g(x) 图象关于点 (2,0) 对称，因此 f(x) 与 g(x) 的图象的交点关于点 (2,0) 对称，点 (2,0) 是它们的一个公共点，
i=12023(xi+yi)=i=12023xi+i=12023yi=2×2023=4046 ，D正确．
故选：BCD．
13.【答案】(8,+∞)
【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解．
解：∵ a<-2 ，∴ a2>4 ，又 b>4 ，
∴ a2+b>8 ，即 a2+b 的取值范围是 (8,+∞) ．
故答案为： (8,+∞) ．
14.【答案】3
【解析】【分析】先由分段函数求得 f(0) ，进而得解关于 a 的方程，从而得解．
解：因为 f(x)=x3+2,x<1x2-ax,x≥1 ，则 f(0)=03+2=2 ，
所以由 f(f(0))=-2 ，得 f2=-2 ，
所以 4-2a=-2 ，解得 a=3 ．
故答案为： 3 ．
15.【答案】34
【解析】【分析】由题意可求得 a+b=4 ，从而变形得 42a+b+1a+2b=4a+4+1b+4=112a+4+b+44a+4+1b+4 ，然后利用基本不等式求解即可．
解：函数 f(x)=lg2x 的反函数为 g(x)=2x ，
∵ g(a)g=16 ，∴ 2a×2b=16 ，即 2a+b=16 ，则 a+b=4 ，( )
又 a≥0 ， b≥0 ，则 a+4>0,b+4>0 ，
∴ 42a+b+1a+2b=4a+4+1b+4=112a+4+b+44a+4+1b+4
=1125+4b+4a+4+a+4b+4≥1125+2 4b+4a+4⋅a+4b+4=34 ，
当且仅当 a=4,b=0 时取等号，
故 42a+b+1a+2b 的最小值为 34 ．
故答案为： 34 ．
16.【答案】2 e2023+1
【解析】【分析】本题把 ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023) 变形为 ex+lnex=e2023y+2023+lne2023y+2023 ，通过构造函数 fx=x+lnx ，利用函数单调性得到 ex=e2023y+2023 ，是解题关键．
已知等式变形为 ex+lnex=e2023y+2023+lne2023y+2023 ，由函数 fx=x+lnx 在 0,+∞ 上单调递增，得 ex=e2023y+2023 ，代入 ex+y+2024 中利用基本不等式求最小值．
解： ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023) ，有 ex+x=e2023y+2023+2023-ln(y+2023) ，
得 ex+lnex=e2023y+2023+lne2023-ln(y+2023)=e2023y+2023+lne2023y+2023 ，
函数 fx=x+lnx 在 0,+∞ 上单调递增， fex=fe2023y+2023 ，所以 ex=e2023y+2023 ，
则 ex+y+2024=e2023y+2023+y+2023+1≥2 e2023y+2023⋅y+2023+1=2 e2023+1 ，
当且仅当 e2023y+2023=y+2023 ，即 y= e2023-2023 时等号成立，
所以 ex+y+2024 的最小值是 2 e2023+1 ．
17.【答案】解：(1) 51160.5-2×21027-23-2× 2+π0÷34-2
=811612-2×6427-23-2×1×342 =94212-2×433-23-2×916
=94-2×43-2-98 =94-98-98 =0 ．
(2) 3lg32-2lg23⋅lg278+13lg68+2lg6 3
=2-2lg23×lg32+13lg623+2lg6312
=2-2+lg62+lg63 =1.
【解析】【分析】(1)利用指数幂与根式的运算法则求解即可；
(2)利用对数的运算法则即可得解．
18.【答案】解：(1)当a =2时， A=xx-1x-3≤0=x1≤x≤3 ， B={x-1≤x≤2} ，
∴ A∪B={x-1≤x≤3} ；
(2)由题可得 A={xa-1≤x≤a+1} ， B={x-1≤x≤2} ，
选择①，A∪B= B，则 A⊆B ，
∴ a-1≥-1a+1≤2 ，解得 0≤a≤1 ，
∴实数a的取值范围是 0,1 ；
选择②，由“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分条件，可得 A⊆B ，
∴ a-1≥-1a+1≤2 ，解得 0≤a≤1
∴实数a的取值范围是 0,1 ；
选择③，
∵ B={x-1≤x≤2} ，∴ ∁RB={xx<-1 或 x>2} ，
∵ A∩(∁RB)=⌀ ，
∴ a-1≥-1a+1≤2 ，解得 0≤a≤1
∴实数a的取值范围是 0,1 ．
【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式以及绝对值不等式化简集合 A,B ，然后根据并集的定义求解；
(2)将问题转化成 A⊆B ，然后利用集合的包含关系求解．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=a⋅3x+13x为偶函数，
∴f(-x)=f(x)，即a⋅3-x+3x=a⋅3x+3-x，
∴(a-1)3x-3-x=0对任意x∈R恒成立，
解得a=1，
∴f(x)=3x+13x．
任取0=(3x1-3x2)(1-13x13x1)=(3x1-3x2)(3x1+x2-13x1+x2)，
由于01，
∴f(x1)-f(x2)<0，即fx1∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)由偶函数的对称性可得f(x)在(-∞,0)上单调递减，
∴f(lg x)即|lg x|<1，
∴-1∴满足f(lgx)
【解析】本题考查利用函数奇偶性解决参数问题，判断函数的单调性，属于中档题．
(1)由偶函数的定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结论；
(2)由偶函数的性质以及单调性，得出|lg x|<1，即可得到x的取值范围．
20.【答案】解：(1)因为每件的销售价格 P(x)=10+kx ，第10天的日销售收入为505元，
则 10+k10×50=505 ，解得 k=1 ．
(2)由表格中的数据知，当时间 x 变长时， Q(x) 先增后减，
而①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．
所以选择模型②： Q(x)=ax-m+b ，
由 Q(15)=Q(25) ，可得 15-m=25-m ，解得 m=20 ，
由 Q(15)=5a+b=55Q(20)=b=60 ，解得 a=-1 ， b=60 ，
所以 Q(x)=-x-20+60 ，定义域为 {x∈N*|1≤x≤30} ．
(3)由(1)知 Qx=-x-20+60=x+40,1≤x≤20,x∈N*-x+80,20由 f(x)=Px⋅Qx=10x+40x+401,1≤x≤20,x∈N*-10x+80x+799,20当 1≤x≤20 ， x∈N* 时， fx=10x+40x+401≥2 10x⋅40x+401=441 ，
当且仅当 10x=40x 时，即 x=2 时等号成立，
当 20所以函数的最小值为 fxmin=f30=499+83>441 ，
综上可得，当 x=2 时，函数 fx 取得最小值441．
【解析】【分析】(1)根据题意，代入第10天的日销售收入为505元，即可得解；
(2)先利用函数的单调性，结合题设条件排除①③④，从而利用待定系数法即可得解；
(3)由题意得 f(x)=Px⋅Qx ，从而结合基本不等式与函数的单调性，分段讨论 f(x) 的最小值，由此得解．
21.【答案】解：(1)设 t=2x,x∈[12,2] ，则 t∈[ 2,4] ，
则 g(x)=4x-2x+1-3 即化为 y=t2-2t-3 ，
y=t2-2t-3=(t-1)2-4 在 [ 2,4] 上单调递增，
当 x= 2 时， y=-1-2 2 ，当 x=4 时， y=5 ，
即 y∈[-1-2 2,5]
∴g(x) 的值域是 [-1-2 2,5] ．
(2)由不等式 f(x)≤g(a) 对任意实数 a∈[12,2] 恒成立得 f(x)≤g(a)min,a∈[12,2] ，
由(1)可知， g(a)min=-1-2 2 ．
∴f(x)≤-1-2 2 ， ∴(lg2x8)⋅[lg2(2x)]≤-1-2 2 ，即 (lg2x-3)⋅(lg2x+1)≤-1-2 2 ，
即 (lg2x-1)2-4≤-1-2 2 ，
整理得 1- 2≤lg2x-1≤ 2-1 ，即 2- 2≤lg2x≤ 2 ，
解得 22- 2≤x≤2 2 ，
∴ 实数x的取值范围为 [22- 2,2 2] ．
【解析】【分析】(1)利用换元，设 t=2x,x∈[12,2] ，将 g(x)=4x-2x+1-3 化为 y=t2-2t-3 ，结合二次函数的性质即可求得答案；
(2)结合(1)的结论，将不等式 f(x)-g(a)≤0 对任意实数 a∈[12,2] 恒成立转化为 f(x)≤g(a)min,a∈[12,2] ，整理为 (lg2x-1)2-4≤-1-2 2 ，求出 lg2x 的范围，即可求得答案．
22.【答案】解：(1)函数 f(x) 的图象是开口向上的抛物线，
则 f(x) 在区间 [0,1] 上的最大值必是 f(0) 和 f(1) 中较大者，而 f(0)=b ，
于是 f(0)≥f(1) ，即 b≥1-a+b ，所以 a≥1 ．
(2)由当 x∈[0,b] 时， 2≤f(x)≤6 恒成立，得 2≤f(0)≤6 ，即 2≤b≤6 ，
①当 a≤0 时，如图，
显然函数 f(x) 在区间 [0,b] 上单调递增， f(x)min=f(0) ， f(x)max=f ，( )
故 b≥2b2-ab+b≤6 ，即 b≥2a≥b-6b+1 ，而函数 g=b-6b+1 在 [2,6] 上是增函数，( )
于是 g(b)min=g(2)=0 ，即有 a≥0 ，
因此 a=0 ，此时 b2+b≤6 ， b=2 ；
②当 0显然函数 f(x) 在区间 [0,b] 上单调递减， f(x)min=f ， f(x)max=f(0) ，( )
于是 b≤a2fb≥2f0=b≤6 ，即 a≥2bb2-ab+b≥2b≤6 ，则 a≥2ba≤b-2b+1b≤6 ，由不等式性质得 2b≤b-2b+1 ，
即 b+2b≤1 ，而当 2≤b≤6 时， b+2b≥3 ，因此 b+2b≤1 不可能成立；
③当 a2于是 f(x)min=f(a2) ， f(x)max=f(0) ，则 b≤64b-a24≥2a2必有 2+a24≤a ，即 (a-2)2+4≤0 ，显然此不等式不成立；
④当 b>a 时，如图，
于是 f(x)min=f(a2) ， f(x)max=f ，则 b2-ab+b≤64b-a24≥2b>a>02≤b≤6 ，即 a≥b-6b+1b≥2+a240因此 b-6b+1≤2 b-2 ，即 (b2+b-6b)2-4(b-2)≤0 ，整理得 (b-2)(b-3)(b2+3b+6)≤0 ，解得 2≤b≤3 ，
所以 b 的最大值是3，此时 a=2 ．
【解析】【分析】二次函数在闭区间上的最值主要有三个影响因素：开口方向、对称轴位置以及区间，常见的题型有：轴定区间定，轴定区间动，轴动区间定及轴动区间动问题，解决的途径都是讨论对称轴和所给区间的位置关系分类讨论求解.一般情况下要分轴在区间左，轴在区间内和轴在区间右三种情况讨论，在求解过程中注意结合二次函数的图象与性质分析．
(1)利用二次函数的性质，确定最大值点列式求解即得．
(2)按 a≤0 ， 0a 分类讨论，借助函数对称轴的情况，探讨函数 fx 在 x∈0,b 上的单调性及最值，使 2≤fx≤6 时，得到关于 a ， b 的不等式组求解即得．
x
10
15
20
25
30
Q(x)
50
55
60
55
50
1.命题“∀x≥2,x2≥4”的否定为
( )
A. “∀x≤2,x2≥4”B. “∀x≥2,x2<4”
C. “∃x<2,x2<4”D. “∃x≥2,x2<4”
2.已知全集U=R，N={x|-3
A. {x|-3
3.已知函数f(x)=(m2-2m-2)⋅xm-2是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m=( )
A. -1B. -1或3C. 3D. 2
4.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. f(x)=|x|x，g(x)=1,x>0-1,x<0B. f(x)=2x，g(x)= 4x2
C. f(x)= -2x3，g(x)=x -2xD. f(x)=lgx2，g(x)=2lgx
5.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax与y=lg1ax的图象可能为
( )
A. B.
C. D.
6.针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾．已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强P(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为P=760e-hk(e为自然对数的底数，k是常数)，根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则当歼20战机巡航高度为1000m，歼16D战机的巡航高度为1500m时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的倍．( )
A. 0.67B. 0.92C. 1.09D. 1.5
7.设a=lg63，b=lg5，c=20.1，则
( )
A. a
( )
A. I1
9.奇函数y=f(x)在x∈[-4,0]的图象如图所示，则下列结论正确的有
( )
A. 当x∈[0,4]时，f(x)∈[-2,2]B. 函数f(x)在[2,4]上单调递减
C. f(12)>f(32)D. 方程f(x)=0有6个根
10.已知a>0,b>0，且a+b=ab则
( )
A. a-1b-1=1B. ab的最大值为4
C. a+4b的最小值为9D. 1a2+2b2的最小值为23
11.设m>1，lgma=mb=c，若a，b，c互不相等，则
( )
A. a>1B. c≠e
C. b
( )
A. f2023=2B. x=1为y=fx的对称轴
C. f0=0D. i=12023xi+yi=4046
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知a<-2，b>4，则a2+b的取值范围是__________．
14.已知函数f(x)=x3+2,x<1x2-ax,x≥1，若f(f(0))=-2，则实数a=__________．
15.已知函数f(x)=lg2x的反函数为g(x)，且有g(a)g=16，若a≥0，b≥0，则42a+b+1a+2b的最小值为__________．( )
16.已知实数x，y满足ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023)，则ex+y+2024的最小值是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)计算51160.5-2×21027-23-2× 2+π0÷34-2；
(2)计算3lg32-2lg23⋅lg278+13lg68+2lg6 3．
18.(本小题12分)
在①A∪B=B：②“x∈A”是“x∈B”的充分条件：③A∩(∁RB)=⌀这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A={xx-a+1x-a-1≤0}，B=xx-12≤32}
(1)当a=2时，求A∪B；
(2)若________，求实数a的取值范围.【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=a⋅3x+13x为偶函数．
(1)求a的值，并证明f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)求满足f(lgx)
近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)=10+kx(k为常数，且k>0)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四个函数模型：①Q(x)=ax+b；②Q(x)=ax-m+b；③Q(x)=a-bx；④Q(x)=a⋅lgbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域；
(3)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lg2x8)⋅[lg2(2x)]，函数g(x)=4x-2x+1-3．
(1)当x∈[12,2]时，求函数g(x)的值域；
(2)若不等式f(x)-g(a)≤0对任意实数a∈[12,2]恒成立，试求实数x的取值范围．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=x2-ax+b(a,b∈R)．
(1)若f(x)在区间[0,1]上的最大值为b，求a的取值范围；
(2)存在实数a，使得当x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查全称命题的否定，属于基础题．
根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答．
【解答】
解：命题“ ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“ ∀x≥2,x2≥4 ”的否定是： ∃x≥2,x2<4 ．
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考察集合运算问题以及韦恩图的应用，属于基础题．
图中阴影部分表示的集合是∁UM∩N，进而求解即可．
【解答】
解：图中阴影部分表示的集合是∁UM∩N，由于N={x|-3
则∁UM∩N=x-1⩽x<0．
故选C
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的概念及其性质，考查函数的单调性，属于基础题．
据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，m2-2m-2=1，即(m+1)(m-3)=0，解得m=-1或m=3，
∴当m=-1时，m-2=-3，则f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减，不合题意;
当m=3时，m-2=1，则f(x)=x在(0,+∞)上单调递增，符合题意，
∴m=3，
故选：C
4.【答案】A
【解析】【分析】利用同一函数的定义判断即可．
解：对于A. f(x)=xx=1,x>0-1,x<0 与 g(x)=1,x>0-1,x<0 的定义域均为 x|x≠0 ，对应关系相同，则 f(x) 与 g(x) 为同一函数；
对于B. f(x)=2xx∈R 与 g(x)= 4x2=2xx∈R 的对应关系不同，则 f(x) 与 g(x) 不是同一函数；
对于C. f(x)= -2x3=x -2x=-x -2xx≤0 与 g(x)=x -2xx≤0 的对应关系不同，则 f(x) 与 g(x) 不是同一函数；
对于D. f(x)=lgx2 的定义域为 x|x≠0 ， g(x)=2lgx 的定义域为 x|x>0 ，定义域不同，则 f(x) 与 g(x) 不是同一函数．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】先利用指数函数的性质排除选项AD，再结合对数函数的单调性排除选项B，再检验选项C中图像性质，由此得解．
解：因为 a>1 ，所以 y=ax 单调递增，且 y=ax>0 恒成立，即 x 轴上方的图像是 y=ax 的图像，且图像单调递增，从而排除选项AD；
而 0<1a<1 ，所以 y=lg1ax 单调递减，从而排除选项B，
而选项C中的图像性质满足要求，故C正确．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
根据已知条件，结合指数幂的运算性质，即可求解．
【解答】解：由题意，可设当歼20战机巡航高度为1000m，P1=760e-1000k，
歼16D战机的巡航高度为1500m，P2=760e-1500k，
则P1P2=e500k，
又∵500m高空处的大气压强是700mmHg，
∴700=760e-500k，
∴e500k=760700≈1.09．
故选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】设 fx=lgxx2 可判断 fx 的单调性，利用单调性可比较 a,b 的值，由指数函数的单调性可判断 c 的范围，即可得正确选项．
解：令 fx=lgxx2=lgxx-lgx2=1-1lg2x ，
因为 y=lg2x 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 fx=lgxx2=1-1lg2x 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 a=lg63=f6 ， b=lg5=f10 ，
所以 a因为 y=2x 在 R 上单调递增，所以 c=20.1>20=1 ，
所以 a
8.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，结合函数的单调性，对称性及绝对值的定义，分别求出 I1,I2,I3 与1的关系，进而得出答案．
解：函数 f1(x)=x3 在 R 上单调递增， ai=i99 随 i 的增大而增大，
从而 f1(a0)
=f1(a1)-f1(a0)+f1(a2)-f1(a1)+⋯+f1(a99)-f1(a98)
=f1(a99)-f1(a0)=99993-0993=1 ．
f2(x)=2(x-x2) 的对称轴为 x=12 ，
f2(x) 在 -∞,12 上单调递增，在 12,+∞ 上单调递减，
当 i=0,1,2,⋯,49 时， ai=i99<12 ，则 f2(a0)
又 a49=4999,a50=5099 ， 12-a49=a50-12 ，则 f2(a49)=f2(a50) ，同理 f2(a0)=f2(a99)
I2=f2(a1)-f2(a0)+f2(a2)-f2(a1)+⋯+f2(a99)-f2(a98)
=f2(a1)-f2(a0)+f2(a2)-f2(a1)+⋯+f2(a49)-f2(a48)+0+f2(a50)-f2(a51) +f2(a51)-f2(a52)+⋯+f2(a98)-f2(a99)
=f2(a49)-f2(a0)+f2(a50)-f2(a99)=2f2(a49)-2f2(a0)
=44999-49992-4099-0992=94089801<1 ．
当 0≤x≤12 时， 2x2-x≤0 ，则 f3(x)=x-2x2 ，图象关于 x=14 对称，
则 f3(x) 在 0,14 上单调递增，在 14,12 上单调递减，
当 x>12 时， 2x2-x>0 ， f3(x)=2x2-x ，则 f3(x) 在 12,+∞ 上单调递增，
当 i=0,1,2,⋯,24 时， ai=i99<14 ，则 f3(a0)
又 a24=2499,a25=2599 ， 14-a24=a25-14 ，则 f3(a24)=f3(a25) ；
当 i=50,51,⋯,99 时， ai=i99>12 ，则 f3(a50)
=f3(a1)-f3(a0)+f3(a2)-f3(a1)+⋯+f3(a24)-f3(a23)+0+f3(a25)-f3(a26)+⋯+f3(a48)-f3(a49) +f3(a50)-f3(a49)+f3(a51)-f3(a50)+f3(a52)-f3(a51)+⋯+f3(a99)-f3(a98)
=f3(a24)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a49) +f3(a99)-f3(a49)
=f3(a24)-f3(a0)+f3(a25)-2f3(a49)+f3(a99)
=2499-224992-099-20992+2599-225992-49×29801+299992-9999=121529801>1 ．
所以 I2
9.【答案】AB
【解析】【分析】结合 fx 的图像，根据奇函数的对称性，分析函数 fx 的性质，由此得解．
解：根据图像可知，当 x∈-4,0 时， fx∈-2,2 ， fx 在 -4,-2,-12,0 上递减，在 -2,-12 上递增，
所以根据奇函数性质可，当 x∈0,4 时， fx∈-2,2 ，故A正确；
当 x∈[0,4] 时， fx 在 0,12,2,4 上递减，在 12,2 上递增，故B正确；
由于 fx 在 12,2 上递增，所以 f12
所以在 x∈0,4 上， fx=0 也有两个根，又 f0=0 ，
所以方程 f(x)=0 有5个根，故D错误．
故选：AB．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】由条件变形后分解因式可判断A；利用基本不等式结合解不等式可判断B；由条件变形可得 1a+1b=1 ，结合1的妙用可判断C；由条件可得 a=bb-1 ，代入 1a2+2b2 结合二次函数的性质可判断D．
解：由 a+b=ab ，得 ab-1-b+1=1 ，即 a-1b-1=1 ，故A正确；
ab=a+b≥2 ab ，(当且仅当 a=b=2 时取等号)，解得 ab≥4 ，故B错误；
由 a+b=ab 变形可得 1a+1b=1 ，
所以 a+4b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba+ab≥5+2 4ba⋅ab=9 ，
当且仅当 a=2b 且 a+b=ab ，即 a=3,b=32 时取等号，故C正确；
由 a+b=ab ，得 a=bb-1 ， 0
因为 1b>1 ，则 1b=13 ，即 b=3,a=32 时， 1a2+2b2 取最小值 23 ，故D正确．
故选：ACD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】本题关键点是将 a,b,c 看成函数 y=lgmx,y=mx,y=x 与 y=c 图象的交点横坐标，作出函数 y=lgmx,y=mx,y=x 与 y=c 图象，讨论 m 的取值即可比较 a,b,c 的大小．
由 lgma>0 ，可解得 a>1 ，可判断A；当 c=e 时，取 m=e1e>1 ，可得 a=b=c ，不满足a，b，c互不相等，可判断B；将 a,b,c 看成函数 y=lgmx,y=mx,y=x 与 y=c 图象的交点，可判断C，D．
解：由 mb=c>0 ，可得 lgma>0 ，因为 m>1 ，所以 a>1 ，故A正确；
当 c=e 时， lgma=mb=c=e ，若 m=e1e>1 ，则 a=me=e,c=e,b=lgme=e ，
故 a=b=c ，不满足a，b，c互不相等，所以 c≠e ，故B正确，
因为 m>1 ， lgma=mb=c ，
可将 a,b,c 看成函数 y=lgmx,y=mx,y=x 与 y=c 图象的交点横坐标，
当 m=1.1 时，图象如下图，
可得： a
可得： b
12.【答案】BCD
【解析】【分析】由 f(2-x)=f(x) ，得函数 f(x) 图象关于直线 x=1 对称，由 f(3x+2) 是奇函数，得 f(x) 的图象关于点 (2,0) 对称，从而得 f(x) 是周期函数，4是它的一个周期，由 g(x)=-g(4-x) ，得 g(x) 图象关于点 (2,0) 对称，从而知 f(x) 与 g(x) 的图象的交点关于点 (2,0) 对称，点 (2,0) 是它们的一个公共点，由此可判断各选项．
解： f(2-x)=f(x) ，则函数 f(x) 图象关于直线 x=1 对称，B正确；
f(3x+2) 是奇函数，即 f(-3x+2)=-f(3x+2) ， f(-t+2)=-f(t+2) ，则 f(x) 的图象关于点 (2,0) 对称， f(2)=0 ， f(0)=f(2)=0 ，C正确；
所以 f(x+2)=-f(2-x)=-f[1-(1-x)]=-f(x) ，从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ，所以 f(x) 是周期函数，4是它的一个周期， f(2023)=f(3)=-f(1)=-2 ，A错；
又 g(x)=-g(4-x) ， g(x) 图象关于点 (2,0) 对称，因此 f(x) 与 g(x) 的图象的交点关于点 (2,0) 对称，点 (2,0) 是它们的一个公共点，
i=12023(xi+yi)=i=12023xi+i=12023yi=2×2023=4046 ，D正确．
故选：BCD．
13.【答案】(8,+∞)
【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解．
解：∵ a<-2 ，∴ a2>4 ，又 b>4 ，
∴ a2+b>8 ，即 a2+b 的取值范围是 (8,+∞) ．
故答案为： (8,+∞) ．
14.【答案】3
【解析】【分析】先由分段函数求得 f(0) ，进而得解关于 a 的方程，从而得解．
解：因为 f(x)=x3+2,x<1x2-ax,x≥1 ，则 f(0)=03+2=2 ，
所以由 f(f(0))=-2 ，得 f2=-2 ，
所以 4-2a=-2 ，解得 a=3 ．
故答案为： 3 ．
15.【答案】34
【解析】【分析】由题意可求得 a+b=4 ，从而变形得 42a+b+1a+2b=4a+4+1b+4=112a+4+b+44a+4+1b+4 ，然后利用基本不等式求解即可．
解：函数 f(x)=lg2x 的反函数为 g(x)=2x ，
∵ g(a)g=16 ，∴ 2a×2b=16 ，即 2a+b=16 ，则 a+b=4 ，( )
又 a≥0 ， b≥0 ，则 a+4>0,b+4>0 ，
∴ 42a+b+1a+2b=4a+4+1b+4=112a+4+b+44a+4+1b+4
=1125+4b+4a+4+a+4b+4≥1125+2 4b+4a+4⋅a+4b+4=34 ，
当且仅当 a=4,b=0 时取等号，
故 42a+b+1a+2b 的最小值为 34 ．
故答案为： 34 ．
16.【答案】2 e2023+1
【解析】【分析】本题把 ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023) 变形为 ex+lnex=e2023y+2023+lne2023y+2023 ，通过构造函数 fx=x+lnx ，利用函数单调性得到 ex=e2023y+2023 ，是解题关键．
已知等式变形为 ex+lnex=e2023y+2023+lne2023y+2023 ，由函数 fx=x+lnx 在 0,+∞ 上单调递增，得 ex=e2023y+2023 ，代入 ex+y+2024 中利用基本不等式求最小值．
解： ex+x-2023=e2023y+2023-ln(y+2023) ，有 ex+x=e2023y+2023+2023-ln(y+2023) ，
得 ex+lnex=e2023y+2023+lne2023-ln(y+2023)=e2023y+2023+lne2023y+2023 ，
函数 fx=x+lnx 在 0,+∞ 上单调递增， fex=fe2023y+2023 ，所以 ex=e2023y+2023 ，
则 ex+y+2024=e2023y+2023+y+2023+1≥2 e2023y+2023⋅y+2023+1=2 e2023+1 ，
当且仅当 e2023y+2023=y+2023 ，即 y= e2023-2023 时等号成立，
所以 ex+y+2024 的最小值是 2 e2023+1 ．
17.【答案】解：(1) 51160.5-2×21027-23-2× 2+π0÷34-2
=811612-2×6427-23-2×1×342 =94212-2×433-23-2×916
=94-2×43-2-98 =94-98-98 =0 ．
(2) 3lg32-2lg23⋅lg278+13lg68+2lg6 3
=2-2lg23×lg32+13lg623+2lg6312
=2-2+lg62+lg63 =1.
【解析】【分析】(1)利用指数幂与根式的运算法则求解即可；
(2)利用对数的运算法则即可得解．
18.【答案】解：(1)当a =2时， A=xx-1x-3≤0=x1≤x≤3 ， B={x-1≤x≤2} ，
∴ A∪B={x-1≤x≤3} ；
(2)由题可得 A={xa-1≤x≤a+1} ， B={x-1≤x≤2} ，
选择①，A∪B= B，则 A⊆B ，
∴ a-1≥-1a+1≤2 ，解得 0≤a≤1 ，
∴实数a的取值范围是 0,1 ；
选择②，由“ x∈A ”是“ x∈B ”的充分条件，可得 A⊆B ，
∴ a-1≥-1a+1≤2 ，解得 0≤a≤1
∴实数a的取值范围是 0,1 ；
选择③，
∵ B={x-1≤x≤2} ，∴ ∁RB={xx<-1 或 x>2} ，
∵ A∩(∁RB)=⌀ ，
∴ a-1≥-1a+1≤2 ，解得 0≤a≤1
∴实数a的取值范围是 0,1 ．
【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式以及绝对值不等式化简集合 A,B ，然后根据并集的定义求解；
(2)将问题转化成 A⊆B ，然后利用集合的包含关系求解．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=a⋅3x+13x为偶函数，
∴f(-x)=f(x)，即a⋅3-x+3x=a⋅3x+3-x，
∴(a-1)3x-3-x=0对任意x∈R恒成立，
解得a=1，
∴f(x)=3x+13x．
任取0
由于0
∴f(x1)-f(x2)<0，即fx1
(2)由偶函数的对称性可得f(x)在(-∞,0)上单调递减，
∴f(lg x)
∴-1
【解析】本题考查利用函数奇偶性解决参数问题，判断函数的单调性，属于中档题．
(1)由偶函数的定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结论；
(2)由偶函数的性质以及单调性，得出|lg x|<1，即可得到x的取值范围．
20.【答案】解：(1)因为每件的销售价格 P(x)=10+kx ，第10天的日销售收入为505元，
则 10+k10×50=505 ，解得 k=1 ．
(2)由表格中的数据知，当时间 x 变长时， Q(x) 先增后减，
而①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．
所以选择模型②： Q(x)=ax-m+b ，
由 Q(15)=Q(25) ，可得 15-m=25-m ，解得 m=20 ，
由 Q(15)=5a+b=55Q(20)=b=60 ，解得 a=-1 ， b=60 ，
所以 Q(x)=-x-20+60 ，定义域为 {x∈N*|1≤x≤30} ．
(3)由(1)知 Qx=-x-20+60=x+40,1≤x≤20,x∈N*-x+80,20
当且仅当 10x=40x 时，即 x=2 时等号成立，
当 20
综上可得，当 x=2 时，函数 fx 取得最小值441．
【解析】【分析】(1)根据题意，代入第10天的日销售收入为505元，即可得解；
(2)先利用函数的单调性，结合题设条件排除①③④，从而利用待定系数法即可得解；
(3)由题意得 f(x)=Px⋅Qx ，从而结合基本不等式与函数的单调性，分段讨论 f(x) 的最小值，由此得解．
21.【答案】解：(1)设 t=2x,x∈[12,2] ，则 t∈[ 2,4] ，
则 g(x)=4x-2x+1-3 即化为 y=t2-2t-3 ，
y=t2-2t-3=(t-1)2-4 在 [ 2,4] 上单调递增，
当 x= 2 时， y=-1-2 2 ，当 x=4 时， y=5 ，
即 y∈[-1-2 2,5]
∴g(x) 的值域是 [-1-2 2,5] ．
(2)由不等式 f(x)≤g(a) 对任意实数 a∈[12,2] 恒成立得 f(x)≤g(a)min,a∈[12,2] ，
由(1)可知， g(a)min=-1-2 2 ．
∴f(x)≤-1-2 2 ， ∴(lg2x8)⋅[lg2(2x)]≤-1-2 2 ，即 (lg2x-3)⋅(lg2x+1)≤-1-2 2 ，
即 (lg2x-1)2-4≤-1-2 2 ，
整理得 1- 2≤lg2x-1≤ 2-1 ，即 2- 2≤lg2x≤ 2 ，
解得 22- 2≤x≤2 2 ，
∴ 实数x的取值范围为 [22- 2,2 2] ．
【解析】【分析】(1)利用换元，设 t=2x,x∈[12,2] ，将 g(x)=4x-2x+1-3 化为 y=t2-2t-3 ，结合二次函数的性质即可求得答案；
(2)结合(1)的结论，将不等式 f(x)-g(a)≤0 对任意实数 a∈[12,2] 恒成立转化为 f(x)≤g(a)min,a∈[12,2] ，整理为 (lg2x-1)2-4≤-1-2 2 ，求出 lg2x 的范围，即可求得答案．
22.【答案】解：(1)函数 f(x) 的图象是开口向上的抛物线，
则 f(x) 在区间 [0,1] 上的最大值必是 f(0) 和 f(1) 中较大者，而 f(0)=b ，
于是 f(0)≥f(1) ，即 b≥1-a+b ，所以 a≥1 ．
(2)由当 x∈[0,b] 时， 2≤f(x)≤6 恒成立，得 2≤f(0)≤6 ，即 2≤b≤6 ，
①当 a≤0 时，如图，
显然函数 f(x) 在区间 [0,b] 上单调递增， f(x)min=f(0) ， f(x)max=f ，( )
故 b≥2b2-ab+b≤6 ，即 b≥2a≥b-6b+1 ，而函数 g=b-6b+1 在 [2,6] 上是增函数，( )
于是 g(b)min=g(2)=0 ，即有 a≥0 ，
因此 a=0 ，此时 b2+b≤6 ， b=2 ；
②当 0
于是 b≤a2fb≥2f0=b≤6 ，即 a≥2bb2-ab+b≥2b≤6 ，则 a≥2ba≤b-2b+1b≤6 ，由不等式性质得 2b≤b-2b+1 ，
即 b+2b≤1 ，而当 2≤b≤6 时， b+2b≥3 ，因此 b+2b≤1 不可能成立；
③当 a2
④当 b>a 时，如图，
于是 f(x)min=f(a2) ， f(x)max=f ，则 b2-ab+b≤64b-a24≥2b>a>02≤b≤6 ，即 a≥b-6b+1b≥2+a240
所以 b 的最大值是3，此时 a=2 ．
【解析】【分析】二次函数在闭区间上的最值主要有三个影响因素：开口方向、对称轴位置以及区间，常见的题型有：轴定区间定，轴定区间动，轴动区间定及轴动区间动问题，解决的途径都是讨论对称轴和所给区间的位置关系分类讨论求解.一般情况下要分轴在区间左，轴在区间内和轴在区间右三种情况讨论，在求解过程中注意结合二次函数的图象与性质分析．
(1)利用二次函数的性质，确定最大值点列式求解即得．
(2)按 a≤0 ， 0
x
10
15
20
25
30
Q(x)
50
55
60
55
50
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