2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高一（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x<3}，则A∩B=( )
A. {x|x<3}B. {x|x≤3}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}
2.命题“∃x∈R，x2+2x+2<0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2+2x+2≥0B. ∀x∈R，x2+2x+2≥0
C. ∃x∈R，x2+2x+2>0D. ∀x∉R，x2+2x+2≥0
3.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A(4,2)，B(16,m)，则m=( )
A. 4B. 8C. ±4D. ±8
4.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=xB. y=|x|C. y=−x2D. y=1x
5.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A. −x2−2xB. −x2+2xC. x2+2xD. 以上都不对
6.若a>b，c>d，则下列不等式中必然成立的一个是( )
A. a+d>b+cB. ac>bdC. d−abd
7.已知函数y=f(x+1)的定义域是[−1,2]，则函数y=f(−x)的定义域为( )
A. [−3,0]B. [−1,2]C. [0,3]D. [−2,1]
8.若存在x∈[0,1]，有x2+(1−a)x+3−a>0成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,52)B. (−∞,3)
C. (−∞,2 3−1)D. (−∞,52)∪(3,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. f(x)=x,g(x)= x2B. f(x)=x2,g(x)=3x6
C. f(x)=x+1,g(x)=x2−1x−1D. f(x)=x0x,g(x)=xx2
10.“关于x的不等式ax2−2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件有( )
A. 0≤a<1B. 011.已知a，b∈R*且a+b=1，那么下列不等式中，恒成立的有( )
A. ab≤14B. ab+1ab≥174C. a+ b≤ 2D. 1a+12b≥2 2
12.设f(x)=(x+1)2,x≤04x,x>0，则下列选项中正确的有( )
A. 若f(x)=a有两个不同的实数解，则a∈[1,+∞)
B. 若f(x)=a有三个不同的实数解，则a∈(0,1]
C. 0≤f(x)≤1的解集是[−2,0]∪[4,+∞)
D. 0≤f(f(x))≤1的解集是(−∞,−3]∪(0，1]
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知函数f(x)=2x,x≥0x2,x<0，则f[f(−12)]= ______ ．
14.已知f(x)= x2−5x−6，则f(x)的单调递增区间为 ．
15.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减，则满足f(2x−1)16.已知函数f(x)= x+1+m，若存在区间[a,b](b>a≥−1)，使得函数f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则实数m的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|1−a(1)若a=1，求A∩B和(∁RA)∪B；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
18.(本小题8分)
(1)计算：(214)0.5−(827)−23+ ( 2−2)2+3( 2−2)3；
(2)已知a12+a−12=3，求a32+a−32a12+a−12的值．
19.(本小题10分)
已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)xm−1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=f(x)−ax−3在区间[2,3]上不单调，求实数a的取值范围．
20.(本小题10分)
函数f(x)=ax−b4−x2是定义在(−2,2)上的奇函数，且f(1)=13．
(1)确定f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(−2,2)上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于t的不等式f(t2)+f(2t−3)<0．
21.(本小题10分)
天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a万件与投入的促销费用x万元(x≥0)满足关系式a=8−kx+1(k为常数)，而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为(36+10a)元，设该产品的利润为y万元.(注：利润=销售收入−投入成本−促销费用)
(1)求出k的值，并将y表示为x的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
22.(本小题10分)
已知函数f(x)=x2−2x|x−a|+1(a∈R)．
(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，若函数f(x)在[0,2]上的最小值为0，求a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={0,1,2,3}，B={x|x<3}，
所以A∩B={0,1,2}．
故选：C．
根据交集运算直接求解即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：“∃x∈R，x2+2x+2<0”的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0．
故选：B．
将存在改成任意，且将x2+2x+2<0改成x2+2x+2≥0，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：幂函数f(x)=xα的图象经过点A(4,2)，B(16,m)，
则4α=2，即22α=2，所以2α=1，解得α=12，
所以f(x)=x12，则m=f(16)=1612=4．
故选：A．
首先求出函数解析式，再代入计算可得．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：A：y=x为奇函数，不符合题意；
B：y=|x|为偶函数且在(0,+∞)上单调递增，符合题意；
C：y=−x2在(0,+∞)上单调递减，不符合题意；
D:y=1x为奇函数，不符合题意．
故选：B．
结合基本初等函数单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，设x<0，则−x>0，
函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x，
则f(x)=−f(−x)=−[(−x)2−2(−x)]=−(x2+2x)=−x2−2x．
故选：A．
根据题意，设x<0，则−x>0，利用奇函数的性质求x<0时的函数解析式即可．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若a=4，b=−2，c=2，d=1，满足a>b，c>d，但不满足a+d>b+c，A错误，
对于B，若a=4，b=−2，c=−1，d=−2，满足a>b，c>d，但不满足ac>bd，B错误，
对于C，若a>b，则−a<−b，又由c>d，则d−a对于D，若a=4，b=−2，c=−1，d=−2，满足a>b，c>d，但不满足ac>bd，D错误，
故选：C．
根据题意取特殊值即可判断ABD，利用不等式的基本性质即可判断C．
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数定义域的定义及求法，已知f[g(x)]的定义域求f(x)定义域的方法，已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域的方法，考查了计算能力，属于基础题．
解：∵y=f(x+1)的定义域是[−1,2]，
∴−1≤x≤2，
∴0≤x+1≤3，
∴y=f(−x)需满足0≤−x≤3，∴−3≤x≤0，
∴y=f(−x)的定义域为[−3,0]．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：因为存在x∈[0,1]，有x2+(1−a)x+3−a>0成立，
所以a记f(x)=x2+x+3x+1，x∈[0,1]，令t=x+1，则t∈[1,2]，
则y=t2−t+3t=t+3t−1，t∈[1,2]，
由对勾函数单调性知，y=t+3t−1在[1, 3)上单调递减，在[ 3,2]上单调递增，
又当t=2时，y=t+3t−1的函数值为52，当t=1时，y=t+3t−1的函数值为3，且3>52，
所以f(x)在[0,1]上的最大值为3，
所以a<3，即实数a的取值范围是(−∞,3)．
故选：B．
分离参数得a本题考查了一元二次不等式有解问题，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：f(x)的值域为R，g(x)= x2=|x|的值域为[0,+∞)，不是同一函数，故A错误；
f(x)=g(x)=x2，二者的定义域、值域、对应法则均相同，为同一函数，故B正确；
f(x)定义域都为R，g(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，不是同一函数，故C错误；
f(x)=g(x)=1x，二者的定义域、值域、对应法则均相同，为同一函数，故D正确．
故选：BD．
判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：若关于x的不等式ax2−2ax+1>0对∀x∈R恒成立，
当a=0时，不等式为1>0，满足题意；
a≠0时，则必有a>0且Δ=(−2a)2−4a×1<0
解得0故a的范围为0≤a<1，
故“关于x的不等式ax2−2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合{a|0≤a<1}．
故选：CD．
讨论二次项系数，求出满足条件的a的范围，根据题中条件考查选项即可．
本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：∵a，b∈R*且a+b=1，
∴a+b=1≥2 ab，即ab≤14，当且仅当a=b=12时，等号成立，即选项A正确；
令t=ab，则t∈(0,14]，
∴y=ab+1ab=t+1t在t∈(0,14]上单调递减，
∴当t=14时，y取得最小值，为174，即ab+1ab≥174，故选项B正确；
∵( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤1+2× 14=2，
∴ a+ b≤ 2，即选项C正确；
∵1a+12b=(1a+12b)⋅(a+b)=1+12+ba+a2b≥32+2 ba⋅a2b=32+ 2，当且仅当ba=a2b时，等号成立，即选项D错误．
故选：ABC．
选项A，由a+b≥2 ab，得解；
选项B，令t=ab，则y=ab+1ab=t+1t，再结合对勾函数的图象与性质，可得解；
选项C，由( a+ b)2=a+b+2 ab，再根据选项A的推导，得解；
选项D，由“乘1法”，可得解．
本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和对勾函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】 解：画出函数f(x)=(x+1)2,x≤04x,x>0的图象，如图所示：
由图可知，y=f(x)与y=a，a∈R的图象有两个交点，则a∈(1,+∞)，选项A错误；
y=f(x)与y=a，a∈R的图象有三个不同的交点时，a∈(0,1]，所以选项B正确；
不等式0≤f(x)≤1的解集是[−2,0]∪[4,+∞)，所以选项C正确；
令f(x)=t，由0≤f(f(x))≤1，即0≤f(t)≤1，可得−2≤t≤0或t≥4，
则−2≤f(x)≤0或f(x)≥4，解得x=−1或x≤−3或0所以f(f(x))≤1的解集是(−∞,−3]∪{−1}∪(0，1]，选项D错误．
故选：BC．
根据题意画出函数f(x)的图象，结合图象求解即可．
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式解集的判断问题，是中档题．
13.【答案】12
【解析】解：因为f(x)=2x,x≥0x2,x<0，所以f(−12)=(−12)2=14，
则f[f(−12)]=f(14)=2×14=12．
故答案为：12．
根据分段函数解析式计算可得．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】[6,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．
由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数y=x2−5x−6在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．
【解答】
解：∵f(x)= x2−5x−6，
∴x2−5x−6≥0，解得x≤−1，或x≥6，
故函数的定义域为{x|x≤−1或x≥6 }，
本题即求函数y=x2−5x−6在定义域内的增区间．
再利用二次函数的性质可得函数y=x2−5x−6在定义域内的增区间为[6,+∞)，
故答案为：[6,+∞)．
15.【答案】(−∞,13)∪(23,+∞)
【解析】解：因为f(x)为偶函数，所以f(2x−1)=f(|2x−1|)，
所以f(2x−1)又f(x)在[0,+∞)上单调递减，
所以|2x−1|>13，解得x<13，或x>23，
所以x的取值范围为(−∞,13)∪(23,+∞)，
故答案为(−∞,13)∪(23,+∞)．
由偶函数性质得f(2x−1)=f(|2x−1|)，根据f(x)在[0,+∞)上的单调性把该不等式转化为具体不等式，解出即可．
本题考查函数的奇偶性、单调性的综合，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，解决本题的关键是利用函数的性质把抽象不等式具体化．
16.【答案】{m|−178【解析】解：由函数f(x)= x+1+m，显然该函数在[a,b]上单调递增，
由函数f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则f(a)= a+1+m=2af(b)= b+1+m=2b，
等价于4x2−(4m+1)x+m2−1=0存在两个不相等且大于等于−1的实数根，
且2x−m≥0在x∈[−1,0)上恒成立，则Δ=(4m+1)2−4×4×(m2−1)>04+(4m+1)+m2−1≥0−−(4m+1)2×4>−1m≤−2，
解得−178故答案为：{m|−178根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案．
本题主要考查了函数值域的求解，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由x2−2x−3≤0，即(x+1)(x−3)≤0，解得−1≤x≤3，
所以A={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，
当a=1时，B={x|0所以A∩B={x|03}，
所以(∁RA)∪B={x|x<−1或x>0}．
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
当B=⌀时，1−a≥2a+2，解得a≤−13，
当B≠⌀时，1−a<2a+21−a≥−12a+2≤3，解得−13综上，实数a的取值范围是(−∞,12]．
【解析】(1)首先解一元二次不等式求出集合A，再根据集合的运算法则计算可得；
(2)依题意可得B⊆A，分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论，分别计算可得．
本题考查集合的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)原式=(94)0.5−[(23)3]−23+| 2−2|+ 2−2
=32−(23)−2+2− 2+ 2−2
=32−94=−34；
(2)因为a12+a−12=3，所以(a12+a−12)2=32，
即a+a−1+2=9，所以a+a−1=7，
所以a32+a−32=(a12)3+(a−12)3
=(a12+a−12)[(a12)2−(a12)⋅(a−12)+(a−12)2]
=(a12+a−12)(a+a−1−1)=3×(7−1)=18，
所以a32+a−32a12+a−12=183=6．
【解析】(1)根据根式的性质及幂的运算法则计算可得；
(2)根据幂的运算法则计算可得．
本题主要考查了指数幂的运算性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)为幂函数，则m2−5m+7=1，解得m=2或m=3，
当m=2时，则f(x)=x为奇函数，不合题意；
当m=3时，则f(x)=x2为偶函数，符合题意；
综上所述：f(x)=x2；
(2)由(1)可得：g(x)=x2−ax−3，其对称轴x=a2，
因为g(x)在区间[2,3]上不单调，则2实数a的取值范围(4,6)．
【解析】(1)根据幂函数的定义结合函数奇偶性分析求解；
(2)根据二次函数单调性运算求解．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及其运用，是基础题．
20.【答案】解：(1)由函数f(x)=ax−b4−x2是定义在(−2,2)上的奇函数，得f(0)=−b4=0，解得b=0，
经检验，b=0时，f(−x)=a(−x)4−(−x)2=−ax4−x2=−f(x)，
所以f(x)=ax4−x2是(−2,2)上的奇函数，满足题意，
又f(1)=a42−1=13，解得a=1，
故f(x)=x4−x2，x∈(−2,2)；
(2)函数f(x)在(−2,2)上单调递增．证明如下：
任取x1，x2∈(−2,2)且x1则f(x2)−f(x1)=x24−x22−x14−x12=(x2−x1)(4+x1x2)(4−x22)(4−x12)，
因为x1，x2∈(−2,2)且x10，x1x2>−4，
4+x1x2>0，4−x12>0，4−x22>0，
所以(x2−x1)(4+x1x2)(4−x22)(4−x12)>0，所以f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(−2,2)上单调递增．
(3)因为f(x)在(−2,2)上单调递增，且为奇函数，
所以不等式f(t2)+f(2t−3)<0，即f(t2)等价于t2<3−2t−2即不等式f(t2)+f(2t−3)<0的解集为(12,1)．
【解析】(1)由已知得f(0)=0，f(1)=13求出a、b的值，即可求得函数的解析式，再检验即可；
(2)根据函数单调性的定义可证明；
(3)根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题知，x=0时，a=4，
所以8−k0+1=4，解得k=4．
所以a=8−4x+1.根据题意，y=a(36+10a)−20a−x，
即y=16a+10−x=138−64x+1−x，
所以y=138−x−64x+1(x≥0)．
(2)y=138−x−64x+1=139−(x+1+64x+1)
≤139−2 (x+1)⋅64x+1=123，
当且仅当x+1=64x+1，即x=7时，等号成立．
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元．
【解析】(1)先由已知条件求出待定系数k，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
(2)将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值．
本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
22.【答案】解：(1)根据题意，当a=1时，f(x)=x2−2x|x−1|+1=−x2+2x+1,x≥13x2−2x+1,x<1，
其图象大致如图：

由此可知函数f(x)在区间(−∞,13)和(1,+∞)上为单调减函数，在区间(13,1)上为单调增函数，
所以f(x)的单调增区间为(13,1)，单调减区间为(−∞,13)和(1,+∞)；
(2)因为a>0，
当x≥a时，f(x)=x2−2x|x−a|+1=x2−2x(x−a)+1=−x2+2ax+1，
此时函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=a；
当x此时函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=a3又因为f(a3)=1−a23，
作出函数的大致图象，如图所示：

又因为f(x)在[0,2]上的最小值为0，
所以当26时，由题意可知f(x)min=f(2)=13−4a=0，解得a=134<6，不满足a>6，舍去；
当a3≤2≤a，即2≤a≤6时，由题意可知f(x)min=f(a3)=1−a23=0，解得a= 3∈[2,6]，满足题意；
当a>2时，f(2)=4a−3，此时f(x)min=min{f(a3),f(2)}=min{1−a23,4a−3}，
当1−a23≤4a−3，即a≥4 3−6时，由题意可知f(x)min=f(a3)=1−a23=0，解得a= 3，
因为 3−(4 3−6)=6−3 3= 36− 27>0，
所以 3>4 3−6，满足题意；
当1−a23>4a−3，即a<4 3−6时，由题意可知f(x)min=f(2)=4a−3=0，解得a=34<2，不满足题意，故舍去．
综上，a= 3．
【解析】(1)将a=1代入，作出函数的图象，结合图象即可得答案；
(2)将函数写成分段函数，作出大致图象，结合图象分a>6、2≤a≤6结合函数图象分别求解即可．
本题考查了二次函数的最值、单调性、数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．