2023-2024学年安徽省芜湖市高二上学期期中联考数学试卷(含解析 )

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市高二上学期期中联考数学试卷(含解析 )，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在空间直角坐标系中，已知A(1,-2,3)，B(0,-1,2)，则AB的模为( )
A. 1B. 11C. 3D. 3
2.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在线段OC上，且OM=2MC，点N为AB中点，则MN=( )
A. 12a+12b-23c
B. 12a+12b-12c
C. 12a-23b+12c
D. -23a+12b+12c
3.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行，则m的值是( )
A. 13B. -2C. 2D. -13
4.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，垂足为2,p，则p+m+n的值为
( )
A. -6B. 6C. 4D. 10
5.已知圆E:x2+y2-ax-2y-2=0关于直线l:x-y=0对称，则a=( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
6.若P(3,1)为圆x2+y2-2x-24=0的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A. x+2y-5=0B. x-y-2=0C. 2x-y-5=0D. 2x+y-7=0
7.已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A. m<2B. 1C. m<-1或18.已知椭圆x29+y26=1，F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cs∠F1PF2=35，则|OP|=( )
A. 25B. 302C. 35D. 352
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线l:x- 3y+1=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的倾斜角是π6
B. 若直线m: 3x-y+1=0，则l⊥m
C. 点(0, 3)到直线l的距离是1
D. 过点(1, 3)与直线l平行的直线方程是x- 3y+2=0
10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0，下列说法正确的是( )
A. 圆心为(1,2)B. 半径为2
C. 圆C与直线3x+4y+5=0相离D. 圆C被直线x=0所截弦长为2 3
11.已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有
( )
A. 点P到右焦点的距离的最大值为9
B. 焦距为10
C. 若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为9
D. △F1PF2的周长为20
12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是
( )
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2]
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点，且垂直于直线x-2y=0的直线的斜截式方程为 ．
14.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的公切线有 条.
15.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AB=2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为 ．
16.已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x-3)2+(y-2)2=1上任意一点，则|MN|-|MF1|的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题14.0分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△ABD和△PBD为正三角形，E为PC的中点．
(1)证明：PA//平面BDE．
(2)若AB=2，PC=3，求平面PAD与平面BDE夹角的余弦值．
18.(本小题14.0分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90∘，|AC|=|BC|=|CC1|=2．
(1)求证：AB1⊥BC1;
(2)求点B到平面AB1C1的距离．
19.(本小题14.0分)
已知△ABC的三个顶点分别为A3,-4，B6,0，C-5,2．
(1)求边AC上的高BD所在直线的方程；
(2)求边AC上的中线BE所在直线的方程．
20.(本小题14.0分)
已知圆C:x2+y2-2x-6=0和定点A(-4,0)，直线l:y=m(x+6)-8 (m∈R)．
(1)当m=1时，求直线l被圆C所截得的弦长;
(2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足|MA|= 2|MB|，求m的取值范围．
21.(本小题14.0分)
若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点P(-1,-32).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点R(0,2)的直线与椭圆C交于不同的两点M，N(均与P不重合)，证明：直线PM，PN的斜率之和为定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查向量的坐标运算，向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
由空间向量的线性运算求出AB的坐标，再利用模的运算公式求解即可．
【解答】
解：已知A(1,-2,3)，B(0,-1,2)，
则AB=(0,-1,2)-(1,-2,3)=(-1,1,-1)，
所以|AB|= (-1)2+12+(-1)2= 3．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量的加减和数乘运算，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
由空间向量的加减和数乘运算法则，结合空间向量基本定理可得所求向量．
【解答】
解：由OM=2MC，可得OM=23OC，
由点N为AB中点，可得ON=12(OA+OB)，
则MN=ON-OM=12OA+12OB-23OC=12a+12b-23c．
故答案选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了两条直线平行与斜率的关系，涉及到过两点的斜率公式，属基础题．
显然两直线的斜率存在，根据斜率相等即可求解．
【解答】
解：由题知kPQ=kMN，即2-2m-m-3=4-(-1)-3-2，解得m=-13，
故选D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
由直线的垂直关系可得m值，再由垂足在两直线上可得n、p的方程组，解方程组计算可得．
【解答】
解：∵直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直，
∴2×3+(-2)·m=0，解得m=3，
由垂足在两直线上可得4+3p-1=06-2p+n=0,
解得p=-1且n=-8，∴m+n+p=-6，
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查圆关于直线对称问题，属于基础题．
由题意根据圆心在直线上，求得a的值．
【解答】
解：由于圆E：x2-ax+y2-2y-2=0关于直线l：x-y=0对称，
故圆心(a2,1)在直线l：x-y=0上，∴a2-1=0，a=2，
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查垂径定理，直线的点斜式方程．圆的标准方程等知识．属于基础题．
由垂径定理可知，圆心C与点P的连线与AB垂直．可求直线AB的斜率，从而由点斜式方程得到直线AB的方程．
【解答】
解：由x2+y2-2x-24=0，即(x-1)2+y2=25，
可得，圆心C(1,0)．
∴kPC=0-11-3=12．
∵PC⊥AB，
∴kAB=-2．
∴直线AB的方程为
y-1=-2(x-3)．
即2x+y-7=0．
故选D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，属于基础题．
根据焦点在y轴上的椭圆的方程的特点，列出不等式组，求出m的范围．
【解答】
解：x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴2-m>|m|-1>0
解得m<-1或1故选D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，余弦定理的应用，属于中档题．
由椭圆标准方程得出a，b，c，在焦点三角形PF1F2中，PF1+PF2=2a,|F1F2|=2c，由余弦定理可得出PF1⋅PF2，又OP是ΔPF1F2的中线，则PO=12PF1+PF2，转化为向量求模长解决．
【解答】
解：设PF1=m,PF2=n,在椭圆x29+y26=1中a2=9,b2=6，则c2=3，
所以F1F2=2c=2 3,m+n=2a=6，
在ΔPF1F2中，cs∠F1PF2=m2+n2-(2 3)22mn=35，整理，得(m+n)2=165mn+12，
所以mn=152，又PO=12PF1+PF2，
所以|OP|=12 (PF1+PF2)2=12 m2+n2+2mn×35=12 (m+n)2-45mn
=12 36-45×152= 302，故选 B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率，两条直线垂直的判定，点到直线距离公式，直线方程的求法，属于基础题．
根据直线l的斜率 kl= 33，可得直线l的倾斜角是 π6 ，即可得A正确；根据直线m的斜率 km= 3，可得 kl ⋅ km=1，即可判断B；运用点到直线距离公式即可判断C；根据直线点斜式写出直线方程即可判断D．
【解答】
解：由题意，直线l：x - 3y+1=0的斜率 33，则直线l的倾斜角是 π6，故A正确；
直线m： 3x-y+1=0的斜率 km= 3，则 kl ⋅ km=1，则两直线不垂直，故B错误；
点(0， 3)到直线l的距离d= |0- 3× 3+1| 1+3=1，故C正确；
易知过(1， 3)与直线l平行的直线的斜率为 33，
即所求直线方程为y- 3= 33(x-1)，即 x- 3y+2=0，故D正确．
故选ACD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了圆的一般方程与标准方程之间的互化和直线与圆的位置关系，是基础题．
先得出圆C的标准方程，再由直线与圆的位置关系逐一判定即可．
【解答】
解：将圆C:x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=4，
可知圆心C(-1,2)，半径R为2，故A错误，B正确;
C(-1,2)到直线3x+4y+5=0的距离d=|-3+4×2+5|5=2=R，则圆C与直线3x+4y+5=0相切，故C错误;
圆心到直线x=0的距离为1，由垂径定理可得弦长为2 22-12=2 3，故D正确．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的定义，性质及几何意义，属于中档题．
对于A选项，由椭圆性质知：当点P为椭圆的左右顶点时，点P到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得．
【解答】
解：由椭圆C: x225+y29=1的方程得：
a=5,b=3,c=4，A-5,0,B5,0，F1-4,0,F24,0．
对A.当点P为椭圆的左顶点A时，点P到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；
对B.焦距为2c=8，B错误；
对C.由题意得：F1F22=PF12+PF22，①
由椭圆定义得：PF1+PF2=2a=10，
即PF12+PF22+2PF1·PF2=100，②
②-①得：PF1·PF2=18，
△F1PF2的面积为12PF1·PF2=12×18=9，故C正确
对D．△F1PF2的周长为2a+2c=18，故D错误；
故选：AC
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定，异面直线所成角，线面角等，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于拔高题．
在选项A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在选项B中，由B1C/​/平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P-A1C1D的体积为定值；在选项C中，可得异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π3,π2];在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
【解答】
解：在选项A中，
∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，
且B1D1，BB1⊂平面BB1D1
∴A1C1⊥平面BB1D1，BD1⊂平面BB1D1，
∴A1C1⊥BD1，
同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1=C1，且A1C1 ， DC1⊂平面A1C1D，
∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确;
在选项B中，
∵A1D/​/B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，
∴B1C/​/平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，
∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，
∴三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确;
在选项C中，
∵A1D/​/B1C，∴异面直线AP与A1D所成角为直线AP与直线B1C的夹角．
易知△AB1C为等边三角形，
当P为B1C的中点时，AP⊥B1C；
当P与点B1或C重合时，直线AP与直线B1C的夹角为π3．
故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π3,π2]，故C错误;
在选项D中，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P(a,1,a)，则C1(0,1,1)，B1,1,0,D10,0,1，
C1P=(a,0,a-1)，D1B=1,1,-1．
由A选项正确：可知D1B=1,1,-1是平面A1C1D的一个法向量，
∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：
|C1P⋅D1B|C1P⋅|D1B|=1 a2+(a-1)2· 3=1 3· 2(a-12)2+12，
∴当a=12时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63，故D正确．
故选ABD．
13.【答案】y=-2x+8
【解析】【分析】
本题考查两直线的交点坐标和直线方程的求法，属于基础题．
求出交点坐标，由直线垂直求出斜率，由点斜式即可求解．
【解答】
解：由2x-y+4=0x-y+5=0解得x=1y=6，
所以直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点为(1,6)
因为所求直线垂直于直线x-2y=0，且直线x-2y=0的斜率为12
所以其斜率为k=-2，
则直线方程为y-6=-2(x-1)，
所以直线的斜截式方程为y=-2x+8
14.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查两圆公切线的条数，属于基础题．
判断两圆外切，即可得两圆公切线的条数．
【解答】
解：圆x2+y2-4x+2y+1=0整理可得(x-2)2+(y+1)2=4，可得圆心C1的坐标为(2,-1)，半径r1=2;
(x+2)2+(y-2)2=9的圆心C2坐标(-2,2)，半径r2=3;
所以圆心距|C1C2|= (2+2)2+(2+1)2=5=r1+r2，
所以可得两个圆外切，
所以公切线有3条．
15.【答案】713
【解析】【分析】
本题考查求异面直线的夹角，属于一般题．
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
【解答】
解：以A为原点，在平面ABC内过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系．
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=3，AB=2，
则A(0,0,0)，A1(0,0,3)，B( 3,1,0)，B1( 3,1,3)，C(0,2,0)，
故A1B=( 3,1,-3)，B1C=(- 3,1,-3)，
设异面直线AB1与B1C所成角为θ，θ∈(0,π2]，
所以csθ=|AB1⋅B1C||AB1||B1C|=|-3+1+9| 13⋅ 13=713，
∴异面直线AB1与B1C所成角的余弦值为713，
故答案为：713．
16.【答案】2 2-5
【解析】【分析】
本题考查与椭圆有关的最值问题，属于一般题．
首先根据椭圆的定义将|MN|-|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|-4，再根据|MN|≥|ME|-1(当且仅当M、N、E共线时取等号)，最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|-|MF1|的最小值．
【解答】
解：由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4
又N为圆E:(x-3)2+(y-2)2=1上任意一点，
则|MN|≥|ME|-1(当且仅当M、N、E共线时取等号)，
则|MN-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|ME|+|MF2|-5≥|EF2|-5
当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立．
∵F2(1,0)，E(3.2)，
则|EF2|= 3-12+2-02=2 2
∴|MN|-|MF1|的最小值为2 2-5．
故答案为：2 2-5．
17.【答案】(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OE．
因为ABCD为菱形，所以O为AC的中点．
因为E为PC的中点，所以OE为△PAC的中位线，所以OE//PA．
因为PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PA//平面BDE．
(2)在正△PBD中，连接PO，因为AB=BD=2，则PO= 3．
因为AO=OC= 3，PC=3，所以cs∠POC=PO2+OC2-PC22PO⋅OC=-12，所以∠POC=120∘．
因为BD⊥AC，BD⊥PO，AC⋂ PO=O，AC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC．
因为BD⊂平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，
因为平面PAC∩平面ABCD=AC，过点P作PH⊥AC于点H，PH⊂平面PAC，
则PH⊥平面ABCD.AO=OC=PO= 3，所以PA⊥PC，又PC=3，AC=2 3，
则PA= 3，PH=PA⋅PCAC=3× 32 3=32，OH= 32．
如图，以O为坐标原点，OA，OB的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则
A( 3,0,0)，B(0,1,0)，C(- 3,0,0)，D(0,-1,0)，P( 32,0,32)，E(- 34,0,34).
设平面PAD的法向量为m=(x1,y1,z1)，因为AD=(- 3,-1,0)，
AP=(- 32,0,32)，所以m⋅AD=- 3x1-y1=0,m⋅AP=- 32x1+32z1=0,
令z1=1，则x1= 3,y1=-3，得m=( 3,-3,1)．
设平面BDE的法向量为n=(x2,y2,z2)，
因为DB=(0,2,0)，BE=(- 34,-1,34)，
所以n⋅DB=2y2=0,n⋅BE=- 34x2-y2+34z2=0,令z2=1，则x2= 3,y2=0，
得n=( 3,0,1)，
因为|cs|=|m·n||m||n|=4 13×2=2 1313，
所以平面PAD与平面BDE夹角的余弦值为2 1313．

【解析】本题主要考查线面平行的判定定理，考查面面垂直的判定定理及性质定理，利用空间向量求平面与平面所成的角，属于较难题．
(1)连接AC，交BD于点O，连接OE．由三角形中位线定理可得OE//PA，然后由线面平行的判定得答案；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量为n和平面PAD的法向量为m，再利用空间向量的数量积求解即可．
18.【答案】证明：(1)如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，
由题意A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，
B1(0,2,2)，C1(0,0,2)．
∵AB1⋅BC1=(-2,2,2)⋅(0,-2,2)=0，∴AB1⊥BC1，∴AB1⊥BC1
解：(2)设n1=(x1,y1,z1)是平面AB1C1的一个法向量，
由n1⋅AB1=0,n1⋅AC1=0得-x1+y1+z1=0-x1+z1=0所以y1=0x1=z1.
令z1=1,n1=(1,0,1)
∵AB=(-2,2,0)，∴点B到平面AB1C1的距离d=|AB⋅n1||n1|= 2．
【解析】本题考查了利用向量证明线线垂直及点到直线距离，属于中档题．
(1)以C点为坐标原点，CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB1与BC1的方向向量，代入数量积公式，得到其数量积为0，即可得到AB1⊥BC1；
(2)求出平面AB1C1的一个法向量，则AB的方向向量，代入到公式d=|AB⋅n1||n1|，即可求出点B到平面AB1C1的距离；
19.【答案】解：(1)由题意得 kAC=-4-23-(-5)=-34 ，且 kBD⋅kAC=-1 ，所以 kBD=43 ．
则边 AC 上的高 BD 所在直线的方程为 y=43x-6 ，化简得 4x-3y-24=0 ．
(2)由题知 AC 的中点 E-1,-1 ，所以 kBE=17 ，
则边 AC 上的中线 BE 所在直线的方程为 y=17x-6 ，化简得 x-7y-6=0 ．

【解析】本题考查直线方程的综合求法及应用，是中档题．
(1)由两点式斜率公式求出 AC 斜率，利用垂直关系得 BD 的斜率，代入点斜式即可求解；
(2)求出点 E 的坐标为 -1,-1 ，由两点式斜率公式求出 BE 的斜率，代入点斜式即可求解．
20.【答案】解：(1)圆C:(x-1)2+y2=7，圆心C(1,0)，半径r= 7，
当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，
所以圆心C到直线l的距离d=|1-0-2| 2= 22，
故弦长为2 r2-d2=2 7-( 22)2= 26；
(2)设M(x,y)，则|MB|= MC2-r2= x2+y2-2x-6，
由A(-4,0)，|MA|= 2|MB|，得(x+4)2+y2=2(x2+y2-2x-6)．
化简得(x-6)2+y2=64，
所以点M的轨迹是以D(6,0)为圆心，8为半径的圆．
又因为点M在直线l上，所以l与圆D有公共点，
所以 6m+6m-8 m2+1≤8 ，
解得0≤m≤125，
所以m的取值范围是[0,125].

【解析】本题考查了直线与圆的位置关系、弦长、切线长问题，属于中档题．
(1)先求得圆心C到直线l的距离d，利用弦长为2 r2-d2可得答案；
(2)设M(x,y)，由|MA|= 2|MB|，可得(x-6)2+y2=64，再结合直线与圆的位置关系可得m的取值范围.，
21.【答案】解：(1)由题意得离心率为12，点P(-1,-32)在椭圆上，
所以ca= 1-b2a2=121a2+94b2=1，解得a2=4，b2=3，
所以椭圆方程为x24+y23=1．
(2)当直线l的斜率不存在时，M，N为椭圆的上下顶点，即为(0,± 3)，
则KPM+KPN= 3+321+- 3+321=3，
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，
联立x24+y23=1y=kx+2，消去y并整理得，(3+4k2)x2+16kx+4=0，
则Δ=256k2-16(3+4k2)>0，得k2>14，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=-16k3+4k2，x1x2=43+4k2，
所以KPM+KPN=y1+32x1+1+y2+32x2+1=kx1+72x1+1+kx2+72x2+1
=2k+12(7-2k)x1+x2+2(x1+1)(x2+1)=2k+12(7-2k)x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=2k+12(7-2k)-16k3+4k2+243+4k2-16k3+4k2+1=2k-12(2k-7)8k2-16k+64k2-16k+7=2k-(2k-7)(2k-3)(2k-1)(2k-7)(2k-1)
=2k-(2k-3)=3．
综上可得，直线PM，PN的斜率之和为定值．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点、定值、定直线问题，，属于中档题．
(1)依题意得ca= 1-b2a2=121a2+94b2=1求解即可；
(2)当斜率不存在时求出KPM+KPN为定值3；当斜率存在时，设l的方程为y=kx+2把直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．