2023-2024学年安徽省A10联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省A10联盟高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z满足z1−4i=3+2i，则在复平面内复数z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(−2,3)，b=(1,m)，则“m<23”是“a，b的夹角是钝角”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=2A′B′=4.则该平面图形的面积为( )
A. 12 2
B. 9 2
C. 8 2
D. 6 2
4.在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且AE=2EC，记AB=a，AC=b．DE=xa+yb，则x−y=( )
A. −13B. 13C. −23D. 23
5.已知i为虚数单位，复数z满足|z−i|=|z|，则z−的虚部为( )
A. 12B. −12C. 1D. −1
6.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态.|F1|=1N，|F2|= 3N．F1与F2的夹角为150°，则|F3|=( )
A. 1NB. 3NC. 5ND. 7N
7.用一个圆心角为23π的扇形OMN(O为圆心)围成一个圆锥(点M，N恰好重合)，该圆锥顶点为S，底面圆的直径为AB，则sin∠ASB的值为( )
A. 2 23B. 79C. 13D. 4 29
8.在△ABC中．tanA=13，tanB=−2，若△ABC的最长边的长为2 5，则最短边的长为( )
A. 102B. 5C. 10D. 5 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1−,z2−，则下列说法一定正确的是( )
A. 若复数z1∈R，则z1−∈R
B. 若复数z2=m+2i(m∈R)，且|z2|= 5，则m=1
C. |z1⋅z2|=|z1−⋅z2−|
D. 若z12+z22=0，则z1=z2=0
10.下列说法正确的是( )
A. 已知P在△ABC所在平面内，满足PA+PB+PC=0，则点P是△ABC的外心
B. 长方体是平行六面体
C. 已知e1，e2是夹角为π3的单位向量，且a=e1+2e2，b=e1−e2，则|a+b|= 7
D. 在复平面内，已知平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D对应的复数分别是1+i，2−3i，−2i，z，则z=−1+2i
11.在△ABC中，∠C=π2，M是AC的中点，则( )
A. 若AC=BC，则tan∠AMB=2
B. 若sin∠ABM=13，则tan∠BMC= 2
C. 若sinA=35，AB=10，则△BCM外接圆的面积为13π
D. 若AC=2，则当sin∠ABM取得最大值时，BC=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=m2−2i+m+4ii3(m∈R)是纯虚数，则m的值为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，a=2，sinA=13，b=x，若符合条件的三角形有2个，则整数x构成的取值集合为______．
14.在△ABC中，AB=5，BC=7，∠A=2π3，点D是BC边上一点，且AD=xAC+yAB，当AD取得最小值时，x的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z满足z−|z|=−1−3i．
(1)求z；
(2)若z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，求方程的另一个根和bc的值．
16.(本小题15分)
(1)如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长(π取3)；
(2)如图2，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M是CC1的中点，AB=BB1=4cm，BC=3cm，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长．
17.(本小题15分)
已知向量a=(2,−1)，b=(3,4)．
(1)求向量a在向量b上的投影向量的坐标；
(2)已知AB=3a−b，BC=a+mb，m∈R．
①若A、B、C三点共线，求m的值；
②若AB⊥BC，求m的值．
18.(本小题17分)
如图，四边形ABCD是正方形.E在边AB上运动，F在边BC上运动，AF与DE交于点G．
(1)若E是AB的中点，BC=3BF，AG=λAF，求实数λ的值；
(2)若AE=BF，DG=mDA+nDF，求nm的最大值．
19.(本小题17分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinAsinB=c2b2+c2−a2．
(1)若b=2，2sin(A+π6)=a+bc，求△ABC的面积；
(2)若△ABC是锐角三角形，A<π4，求b+2ca的取值范固．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：z=(3+2i)(1−4i)=3−12i+2i+8=11−10i，
在复平面内对应的点是(11,−10)，位于第四象限．
故选：D．
化简复数z，根据复数的几何意义求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：a，b的夹角是钝角，
则a⋅b<0且a，b不反向共线，
故−2+3m<0且−2m≠3，解得m<23且m≠−32，
故“m<23”是“a，b的夹角是钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
根据已知条件，结合向量的数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量的数量积运算，以及向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，直观图为直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=2A′B′=4．
其面积S′=(2+4)×22=6 2，
故原图的面积S=2 2S′=12 2．
故选：A．
根据题意，求出直观图的面积，进而由原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：D是边BC的中点，AE=2EC，
则DE=DB+BE=12CB+BC+CE=12BC+CE=12(AC−AB)+(−13AC)=−12AB+16AC
=−12a+16b，
DE=xa+yb，
则x=−12，y=16，
所以x−y=−23．
故选：C．
根据已知条件，结合向量的线性运算法则，即可求解．
本题主要考查向量的基本定理，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设复数z=a+bi(a,b∈R)，
因为|z−i|=|z|，
所以|a+(b−1)i|=|a+bi|，
即a2+(b−1)2=a2+b2，
即a2+b2−2b+1=a2+b2，
得b=12，
所以复数z−的虚部为−12．
故选：B．
由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态．|
则F3=−(F1+F2)，
|F1|=1N，|F2|= 3N．F1与F2的夹角为150°，
故|F3|= F12+F12+2F1⋅F2= 1+3+2×1× 3×cs150°=1．
故选：A．
根据已知条件，推得F3=−(F1+F2)，再将两边同时平方，即可求解．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则2π3⋅l=2πr，解得l=3r，
所以在圆锥的轴截面△SAB中，
SA=SB=3r，AB=2r，
由余弦定理得cs∠ASB=SA2+SB2−AB22SA⋅SB=(3r)2+(3r)2−(2r)22⋅3r⋅3r=79，
所以sin∠ASB= 1−cs2∠ASB= 1−(79)2=4 29．
故选：D．
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长求出l=3r，利用圆锥的轴截面△SAB求出cs∠ASB和sin∠ASB．
本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：在△ABC中．tanA=13，tanB=−2，△ABC的最长边的长为2 5，
设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由题意得，
tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−13−21+13×2=1>0，
因为tanC>tanA>0，tanB<0，
故B>π2>C=π4>A，故b=2 5，
又tanA=sinAcsA=13，sin2A+cs2A=1，
解得sinA=1 10，同理可得sinB=2 5，
由正弦定理得asinA=bsinB，即a 10=2 5 5，解得a= 102，
则最短边的长为 102．
故选：A．
设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，利用两角和的正切公式得tanC=1，则B>π2>C=π4>A，b=2 5，根据切化弦求得sinA和sinB，利用正弦定理即可求解．
本题考查了两角和的正切公式和正弦定理的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】AC对于A，设z1=a+b(a,b∈R)，若复数z1∈R，即b=0，则Z=z=a∈R，故A正确；
对于B.z2=m+2i(m∈R)则|z2|= m2+4= 5，解得m=±1，故B错误；
对于C.设z1=a+b，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则z1−=a−bi，z2−=c−di，
所以|z1z2|=|(a+bi)(c+di)|=|(ac−bd)+(ad+bc)i|= (ac−bd)2+(ad+bc)2，
|z1−⋅z2−|=|(a−bi)(c−di)|=|ac−bd−(ad+bc)i|= (ac−bd)2+(ad+bc)2，故C正确；
对于D.令z1=1+i，z2=1−i，此时z12+z22=2i+(−2i)=0，故D错误．
故选：AC．
由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及模长公式的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，记BC的中点为D，
因为PA+PB+PC=0，
所以PA=−(PB+PC)=−2PD，
所以P，A，D三点共线，
故点P在中线AD上，同理点P也在△ABC的另外两条中线上，则点P是△ABC的重心，故A错误；
对于B，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，则长方体是平行六面体．故B正确；
对于C，e1，e2是夹角为π3的单位向量，
则e1⋅e2=1×1×12=12，
a=e1+2e2，b=e1−e2，
则a+b=2e1+e2，
故|a+b|= (2e1+e2)2= 4+1+4×12= 7，故C正确；
对于D，A(1,1)，B(2,−3)．
C(0,−2)，∴AB=(1,−4)，
设D(x,y)，则DC=(−x,−2−y)，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC，即−x=1−2−y=−4，解得x=−1y=2，
故点D对应的复数为z=−1+2i，故D正确．
故选：BCD．
结合外心、平行六面体的定义，判断AB，结合向量的数量积运算，判断C，结合复数的几何意义，以及平行四边形的性质，判断D．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，若AC=BC，且M是AC的中点，则BC=2CM，
则tan∠CMB=2，则tan∠AMB=−2，故A错误；
对于B，sin∠ABM=13，由正弦定理BMsinA=AMsin∠ABM．
所以sinA=BM3AM，因为sinA=BCAB，所以BCAB=BM3AM，
设BC=x、AM=CM=y，所以x x2+4y2= x2+y23y，
得x4−4x2y2+4y4=(x2−2y2)2=0，
所以x= 2y所以tan∠BMC=BCCM=xy= 2，故B正确；
对于C，在Rt△ABC中，sinA=35AB=10.则BC=6，AC=8，
所以CM=4，BM=2 13，
则△BCM外接圆的半径为 13面积为13π，故C正确；
对于D，由BMsinA=AMsin∠ABM，可得sin∠ABM=AMBM⋅BCAB，
设BC=x，则sin∠ABM= 4x2+x2+5≤ 12 4x2⋅x2+5=13，
当且仅当 4x2=x2，即x= 2时等号成立，故D错误．
故选：BC．
根据正弦定理，余弦定理，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，诱导公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
12.【答案】−2
【解析】解：z=m2−2i+m+4ii3=m2−2i+(m+4i)ii4=m2−4+(m−2)i，
令m2−4=0且m−2≠0，解得m=−2．
故答案为：−2．
根据纯虚数的定义求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
13.【答案】{3,4,5}
【解析】解：当bsinA所以x3<2故答案为：{3,4,5}．
由已知结合正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
14.【答案】6598
【解析】解：由余弦定理得，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA，
即72=52+AC2−2×5⋅AC×(−12)，
解得AC=3(AC=−8舍去)，
因为点D是BC边上一点，且AD=xAC+yAB，
所以x+y=1，
所以AD=xAC+(1−x)AB，
所以AD2=9x2+25(1−x)2−15x(1−x)=49x2−65x+25．
所以当x=6598时．AD取最小值．
故答案为：6598．
由余弦定理可得AC=3，由B，C，D三点共线，可得x+y=1，从而得AD=xAC+(1−x)AB，两边平方，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了余弦定理的应用、向量的线性运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)设z=m+ni(m,n∈R)，
z−|z|=−1−3i，
则m+ni− m2+n2=−1−3i，
故m− m2+n2=−1n=−3，解得m=4n=−3，
故z=4−3i；
(2)z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，
则z−=4+3i也为实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，
故4+3i+4−3i=−b(4+3i)(4−3i)=c，解得b=−8，c=25，
故bc=−200．
【解析】(1)结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解；
(2)根据已知条件，推得z−=4+3i也为实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，再结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示，

连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离，
因为AC=3cm，CB=π×1=3cm，
所以AB= AC2+CB2= 32+32=3 2(cm)，
所以蚂蚁爬行的最短路线长为3 2cm；
(2)根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法，
①如图1，以DC为轴展开，

此时AM= 42+(3+2)2= 41cm，
②如图2.以BC为轴展开，

此时，AM= 32+(4+2)2= 45=3 5cm，
③如图3、以BB1为轴展开，

此时AM= 22+(4+3)2= 53cm，
综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 41cm．
【解析】(1)根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案；
(2)根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案．
本题考查圆柱、长方体的结构特征，涉及圆柱的侧面展开图，属于基础题．
17.【答案】解：(1)已知向量a=(2,−1)，b=(3,4)，
则a⋅b=2×3+(−1)×4=2，
又|b|= 9+16=5，
则向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|b|b|=225b=(625,825)；
(2)由题意得．AB=3a−b=(3,−7)，BC=a+mb=(3m+2,4m−1)，
①若A、B、C三点共线，
则AB//BC，
则3(4m−1)=−7(3m+2)，
解得m=−13；
②若AB⊥BC，
则AB⋅BC=0，
即3(3m+2)−7(4m−1)=13−19m=0，
解得m=1319．
【解析】(1)结合向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|b|b|求解；
(2)①若A、B、C三点共线，则AB//BC，然后利用平面向量数量积的运算求解；
②若AB⊥BC，则AB⋅BC=0，然后利用平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量共线及垂直的运算，属中档题．
18.【答案】解：(1)如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，

则A(0,6)，F(6,4)，D(0,0)，E(3,6)，
所以AF=(6,−2)，DE=(3,6)，
设点G(x,y)，则AG=(x,y−6)，
由AG=λAF，得(x,y−6)=λ(6,−2)，
所以x=6λy−6=−2λ，所以x=6λy=6−2λ，即G(6λ,6−2λ)，
设DG=μDE，则(6λ,6−2λ)=μ(3,6)，
所以6λ=3μ6−2λ=6μ，解得λ=37；
(2)因为A，G，F三点共线，且DG=mDA+nDF，
所以m>0，n>0，m+n=1，
设正方形的边长为1，AE=BF=x(0≤x≤1)．
则A(0,1)，B(1,1)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,1)，F(1,1−x)．
所以DA=(0,1)，DF=(1,1−x)，DE=(x,1)，
所以DG=mDA+nDF=(n,m+n−nx)=(n,1−nx)，
又DG//DE，所以n=x−nx2，
所以n=x1+x2，m=1−n=x2−x+11+x2，
所以nm=x1+x2x2−x+11+x2=xx2−x+1，
若x=0.则nm=0，
若x∈(0,1]，则nm=xx2−x+1=1x+1x−1≤12 x⋅1x−1=1，
当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立，
综上所述：nm的故大值为1．
【解析】(1)建系，利用向量坐标运算，建立方程，即可求解；
(2)建系，设正方形的边长为1，AE=BF=x(0≤x≤1)，构建函数模型，根据基本不等式，即可求解．
本题考查向量的线性运算，向量共线定理的推论的应用，函数思想的应用，属中档题．
19.【答案】解：(1)因为sinAsinB=c2b2+c2−a2，
所以sinAsinB=c22bccsA=sinC2sinBcsA，
所以2sinAcsAsinB=sinBsinC，
因为sinB>0，
所以sinC=2sinAcsA=sin2A，
所以C=2A或C+2A=π，
由2sin(A+π6)=a+bc及正弦定理得2sin(A+π6)=sinA+sinBsinC，
即3sinAsinC+csAsinC=sinA+sinB，
又sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以 3sinAsinC=sinA+sinAcsC，
因为sinA>0，
所以 3sinC=1+csC，即sin(C−π6)=12，
因为0所以−π6所以C−π6=π6，
所以C=π3，
当C=2A时，A=π6，B=π2，由b=2，得a=1．b= 3，
则△ABC的面积为12×1× 3= 32，
当C+2A=π时，A=B=C=π3由b=2得，a=b=c=2，
则△ABC的面积为12×2× 3= 3，
综上，△ABC的面积为 32或 3；
(2)因为△ABC是锐角三角形，A<π4，
所以C+2A<π，
所以C=2A，
则sinC=2sinAcsA，csC=cs2A=2cs2A−1，
则b+2ca=sinB+2sinCsinA
=sinAcsC+csAsinC+4sinAcsAsinA
=4csA+csC+csA⋅2sinAcsAsinA
=4csA+2cs2A−1+2cs2A
=4csA+2cs2A−1+2cs2A
=4cs2A+4csA−1
=4(csA+12)2−2，
因为△ABC为锐角三角形，C=2A，A<π4，
则0解得π6设=csA∈( 22, 32)，可得y=4(t+12)2−2At∈( 22, 32)上单调函递增，
故y=4(t+12)2−2∈(1+2 2,2+2 3)，
即b+2ca的取值范围是(1+2 2,2+2 3)．
【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(C−π6)=12，结合−π6(2)利用三角函数恒等变换的应用可求b+2ca=4cs2A+4csA−1=4(csA+12)2−2，可求得π6本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦函数的性质以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．