适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练2（附解析）

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习压轴大题抢分练2（附解析），共3页。试卷主要包含了4,p1=0等内容，欢迎下载使用。

1.(12分)(2021新高考Ⅱ,21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下去,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代,……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X).
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1;当E(X)>1时,p<1.
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际意义.
2.(12分)(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3.
抢分练2
1.解 (1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)由题知,E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3.设f(x)=p3x3+p2x2+p1x+p0-x,
则有f(1)=p3+p2+p1+p0-1=0.
f'(x)=3p3x2+2p2x+p1-1,
则有f'(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1.
因为Δ=4+12p3(1-p1)>0,所以函数f'(x)有两个零点,则x1=<0,x2=>0,并且因为3p3>0,所以当xx2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(-∞,x1)和区间(x2,+∞)上单调递增;当x1f(1)=0,即方程f(x)=0在(0,1)内没有根,所以p=1就是f(x)=0的最小正根.
当E(X)>1时,f'(1)=E(X)-1>0,此时,必有x2<1.因为函数f(x)在[x2,+∞)上单调递增,所以必有f(x2)0以及函数f(x)的连续性,由零点存在定理知在0与1之间必有函数f(x)的零点,此零点就是原方程的一个正根x2,且比1小,故p<1.
(3)意义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后必然灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后灭绝的概率小于1.
2.解 (1) 设点P坐标为(x,y),由题意得=|y|,两边平方得x2+y2-y+=y2,整理,得y=x2+,经验证成立.故W的方程为y=x2+.
(2)(方法一)设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示,设直线AB的斜率为k(k>0).
不妨将A,B固定在y轴及y轴右侧.
A,B坐标满足y2-y1=k(x2-x1),A,D坐标满足y3-y1=-(x3-x1).
又A,B,D在抛物线上,即y1=,y2=,y3=,代入以上方程中,得x2=k-x1,x3=--x1.
矩形ABCD的周长为2|AB|+2|AD|≥4,当且仅当|AB|=|AD|时等号成立,此时矩形ABCD为正方形.(用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题)
要证矩形ABCD的周长大于3,只需证明正方形的面积大于.∵|AB|=·(x2-x1),|AD|=·(x1-x3),
∴·(x2-x1)=·(x1-x3),得x1-x3=k(x2-x1).将x2=k-x1,x3=--x1代入x1-x3=k(x2-x1),有2x1+=k(k-2x1),
即k2-=(2k+2)x1.∵x1≥0,∴k2-≥0.
∵k>0,∴k3≥1.∴k≥1.则|AB|=·(x2-x1)=·(k-2x1)=.
正方形面积S=|AB|2=.
∵k2+1≥2k,
∴≥4(当k=1时“=”成立).
∵k2+1≥2k,∴2(k2+1)≥k2+2k+1=(k+1)2,则(当k=1时“=”成立).
则S=≥2(当k=1时“=”成立).
显然S=≥2>.
即矩形ABCD的周长大于3.
(方法二)不妨设A,B,C三点在W上,且AB⊥BC.
设A(a,a2+),B(b,b2+),C(c,c2+),
则=(b-a,b2-a2),=(c-b,c2-b2).
由题意,知=0,
即(b-a)(c-b)+(b2-a2)(c2-b2)=0.
显然(b-a)(c-b)≠0,于是1+(b+a)(c+b)=0.
此时,|b+a|·|c+b|=1.于是min{|b+a|,|c+b|}≤1.
不妨设|c+b|≤1,则a=-b-.
AB+BC=|b-a|·+|c-b|·
=|b-a|·+|c-b|·
≥|b-a|·+|c-b|·
≥|c-a|·
=|b+c+|·.
设x=|b+c|,f(x)=(x+)·,
则f(x)=,
f'(x)==.
显然,x=为最小值点.故f(x)≥f()=.
而矩形ABCD的周长为2(AB+BC)≥2f(x)≥3.
注意这里有两个取等条件,一个是|b+c|=1,另一个是|b+c|=,这显然是无法同时取到的,所以等号不成立,命题得证.