2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区平江中学校九年级上学期10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区平江中学校九年级上学期10月月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程中一次项系数、常数项分别是
( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
3.下列函数中，随增大而增大的是
( )
A. B. C. D.
4.若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是
( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为
( )
A. B. C. D.
6.由二次函数，可知( )
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线
C. 其最小值为D. 当时，随的增大而增大
7.函数和为常数，且，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
( )
A. B. C. D.
8.如图，垂直于轴的直线分别与抛物线：和抛物线：交于，两点，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.若关于的方程有一个根是，则_____．
10.方程的解为_______．
11.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
12.若一元二次方程配方后为，则_______．
13.某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是_____．
14.已知二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，，则____填“”“”或“”
15.用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是_______．
16.如图，抛物线其中为常数的对称轴为直线，与轴交于点，点，则的长度为________．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解下列方程
18.本小题分
某品牌服装平均每天可以售出件，每件盈利元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价元，平均每天就可以多售出件，如果需要盈利元，那么每件降价多少元？
19.本小题分
已知关于的一元二次方程为常数
当时，求出该一元二次方程实数根；
若，是这个一元二次方程两根，且，是以为斜边的直角三角形两直角边，求的值．
20.本小题分
如图，已知二次函数的图像经过点，．
求该二次函数的表达式；
用无刻度直尺画出抛物线的对称轴；用虚线表示画图过程，实线表示画图结果
结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ．
21.本小题分
把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个黑色三角形，第个图案中有个黑色三角形，第个图案中有个黑色三角形按此规律排列下去，解答下列问题：
第个图案中黑色三角形的个数有__个．
第个图案中黑色三角形的个数能是个吗？如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点的坐标为，连接．

填空：__，__，__；
若点在直线下方的抛物线上一动点，当恰好平分时，求点横坐标．
23.本小题分
如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为，动点分别从点出发向右移动，点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动．
请你在图中，求出秒时的线段的长度：
如图，在动点运动的过程中，当运动时间为何值时，？( )
在动点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间；若不能，请说明理由．
24.本小题分
已知如图，抛物线是常数，且的图象与轴交于两点点在点的左侧，与轴交于点，顶点为其对称轴与线段交于点，与轴交于点连接．

填空：__；
设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值；
将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此逐项分析即可解题．
【详解】解：．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B.，是分式方程，故本选项不合题意；
C.，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.，是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，是基础考点，难度较易，掌握一元二次方程的概念是解题关键．
2.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的一次项系数和常数项即可．
【详解】解：中一次项系数、常数项分别是，，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式是常数且，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】由一次函数，二次函数的性质判断各选项．
【详解】解：选项A，，随的增大而减小，不符合题意；
选项B，，随的增大而减小，不符合题意；
选项C，，随的增大而增大，符合题意；
选项D，，开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小，不符合题意．
符合条件的只有选项C，
故选：．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的性质，解题关键是掌握函数图像的特征．
4.【答案】
【解析】【分析】根据根的判别式列出不等式求出的范围即可求出答案．
【详解】解：一元二次方程没有实数根，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】解：的顶点坐标为
将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为，
所得抛物线对应的函数表达式为，
故选B
【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】由解析式可知，对称轴为，最小值为，在对称轴的左侧随的增大而减小，可得出答案．
【详解】由二次函数，可知：
：，其图象的开口向上，故此选项错误；
B.其图象的对称轴为直线，故此选项错误；
C.其最小值为，故此选项正确；
D.当时，随的增大而减小，故此选项错误．
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值及对称轴两侧的增减性是解题的关键．属于基础题目．
7.【答案】
【解析】【分析】由二次函数的解析式可得二次函数的图象的顶点为即可排除、，由一次函数的解析式可得一次函数的图象经过点即可排除，从而得到答案．
【详解】解：，
二次函数的图象的顶点为，故 A、不符合题意；
在中，当时，，解得，
一次函数的图象经过点，故 C不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【详解】解：设点横坐标为，则点纵坐标为点的纵坐标为
轴，
点纵坐标为
点是抛物线上的点，
点横坐标为
轴，点纵坐标为
点是抛物线上的点，
点横坐标为


故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程求解即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是直接把已知解代入方程求出未知系数．
10.【答案】
【解析】【分析】直接因式分解法解一元二次方程即可
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】且
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即，
解得，
又为一元二次方程的二次项系数，
．
的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】根据完全平方公式得出，求出，代入求值即可．
【详解】解：，
，
一元二次方程配方后为，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，将变形为．
13.【答案】
【解析】【分析】根据增长率问题公式：变化前的量变化后的量，列方程求解即可．
【详解】设每次降价百分率为，由题意得，解得，故百分率为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟记增长率问题方程的形式是关键．
14.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，和二次函数的性质可以判断和的大小关系．
【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
该函数经过点，，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】设另一个因式为，则，根据题意得出，，求出、即可．
【详解】解：设另一个因式为，
则，
，，
，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，能得出和是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】根据对称轴求得的值，解方程，即可求解．
【详解】解：抛物线其中为常数的对称轴为直线，
解得：，
抛物线解析式为：，
令，即，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，求得抛物线的解析式是解题的关键．
17.【答案】，

【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可；
首先去分母转化成整式方程，然后利用因式分解法解一元二次方程，然后检验即可．
【详解】
直接开方得
解得：，；
去分母得：
或
解得：，
检验：将代入，符合题意；
将代入，是增根，应舍去
．
【点睛】此题考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
18.【答案】每件降价元或元
【解析】【分析】设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件降价元或元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】，；．
【解析】【分析】将代入关于的一元二次方程，利用公式法解一元二次方程，先求出，然后代入公式计算即可；
利用因式分解法解一元二次方程，解得，根据，是以为斜边的直角三角形两直角边，可求，然后利用勾股定理列出方程，用直接开平方法求解即可．
【详解】解：时关于的一元二次方程，
，
，
，；
，
因式分解得，
化为，
解得，
，是以为斜边的直角三角形两直角边，
根据勾股定理，
解得，
舍去．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，公式法与因式分解法，勾股定理，直接开平方法，掌握一元二次方程的解法与步骤，勾股定理，注意字母的范围是解题关键．
20.【答案】
见解析

【解析】【分析】将，代入即可得到二次函数表达式．
根据二次函数的对称性即可画出抛物线的对称轴．
根据图象即可直接写出时，的取值范围．
【详解】将，代入二次函数，
得
解得
该二次函数的表达式为．
如图，直线为所求对称轴．
．
【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求解以及二次函数对称性的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】；不能，理由见详解．
【解析】【分析】第个图案中黑色三角形的个数有个；
根据图形的变化规律总结出第个图形黑色三角的个数为，即可求解．
【详解】解：由图形的变化规律知，第个图案中黑色三角形的个数有：，
故答案是：；
不能，理由如下：
第个图案中黑三角的个数为，
根据题意，得，
解得：不是整数，不合题意，
所以第个图案中黑色三角形的个数不能是个．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第个图形黑色三角的个数为是解题的关键．
22.【答案】，，
点的横坐标为

【解析】【分析】由抛物线解析式可得，将代入直线解析式可得，根据直线解析式求出点，将，代入抛物线即可求得的值；
作轴，交的延长线于，则，可证，得到，从而得出点的坐标，求得的解析式，再由，进行计算即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
，
将代入得：，
直线的解析式为：，
在中，当时，，
解得：，
，
将，代入得：
解得：
故答案为：，，；
解：如图，作轴，交的延长线于，则，
，
，，，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
设直线的关系式为：，
将，代入可得：
解得：
直线的关系式为：，
由，
解得：，，
点在直线下方的抛物线上一动点，
，
点的横坐标为．
【点睛】本题考查了求二次函数和一次函数解析式、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．
23.【答案】
或

【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据图形利用勾股定理求解即可．
构建方程求解即可．
分三种情形，分别构建方程求解即可．
【详解】解：如图，
由图可得；
解：由题意，得，
解得．
解：如图中，作于，则，
在中，，即，
当时，，；
解得，或舍去；
当时，，；
解得，；
当时，，；
整理得，，
；
无解．
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，网格与勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】
，的最大值为

【解析】【分析】先求出点的坐标，得出，根据，即可得到答案；
先求出顶点的坐标，然后求出直线的解析式，求出点的坐标，根据，得出，并求出的最大值即可；
根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：把代入得：，
解得：，，
，
，
，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
，
把代入得：，
点的坐标为，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：；
解：抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入，
得，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得：
解得：
直线的解析式为，
把代入得：，
，
，
，
，
当时，有最大值，且最大值为；
解：，，
点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，可以得到点，
，
根据平移可知，点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
当在抛物线上时，，
解得：或舍去．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与轴、轴的交点及定点坐标．