2023-2024学年四川省合江县高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省合江县高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是
A.B.C.D.
2.直线在轴和轴上的截距分别为
A. B.C. D.
3.下列试验中，是古典概型的有
A.种下一粒种子观察它是否发芽
B.从直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C.抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
4.在平行六面体中,向量一定是
A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量
5.某校高二（2）班的学习委员统计某次数学测验的平均分与方差，计算完毕后才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次.记原平均分和原方差分别为，，重算后新平均分和新方差分别为，.若未录入的得分恰好为，则
A.， B.，
C.， D.，
6.已知，则直线通过
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
7.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的两个顶点，直线与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点，若，则斜率k的值为
A.B.C.或D.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“”，事件“xy为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是
A.A与B互斥B.A与B对立C.D.A与C相互独立
10.已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是
A.存在不全为零的实数x，y，z，使得
B.对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组，使得
C.在a，b，c中，能与，构成空间另一个基底的只有c
D.不存在另一个基底，使得
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有
A.B.C.D.
12.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，心形曲线就是其中之一，则下列结论中正确的是
A．曲线C关于y轴对称
B．曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上存在到原点的距离超过的点
D．曲线C所围成的区域的面积大于3
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼________条.
14.已知分别是平面的法向量,则三个平面中互相垂直的有 对.
15.直线与圆相交于两点M，N.若满足，则(O为原点)等于___________.
16.设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）
甲乙两人各有5个材质、大小、形状完全相同的小球,甲的小球上面标有6,7,8,9,10五个数字,乙的小球上面标有1,2,3,4,5五个数字.把各自的小球放入两个不透明的口袋中,两人同时从各自的口袋中随机摸出1个小球.规定:若甲摸出的小球上的数字是乙摸出的小球上的数字的整数倍,则甲获胜,否则乙获胜.
（1）写出基本事件空间
（2）你认为“规定”对甲、乙二人公平吗?说出你的理由
18.（12分）
如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，E、F分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
在平面直角坐标系中，已知四点．
（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；
（2）以线段为直径作圆，过点作圆的切线，求切线的方程．
20.（12分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A，B两点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）是否存在实数k，使点在线段AB的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
21.（12分）
已知三棱柱中,,,,.
（1）求证:平面平面ABC.
（2）若,在线段AC上是否存在一点P使平面和平面所成角的余弦值为若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.
22.（12分）
设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点， 圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，求证：为定值.
数学试题答案
1.C 2.B 3.C 4.C 5.C 6.A 7.D 8.C 9.AD 10.BC 11.AB 12.ABD
13.350 14.0 15. 16.
17.（1）用表示发生的事件,其中甲摸出的小球上的数字为,乙摸出的小球上的数字为.则基本事件空间:
,
（2）由上一问可知,基本事件总数个,设甲获胜的事件为,它包括的基本事件有共含有基本事件个数,所以,
乙获胜的概率.显然
18.（1）连接，
是正方形，E是的中点，
E是的中点，F是的中点，
，平面，平面，
平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取得，设与平面所成角为，
则.
19.解（1）设经过三点的圆的方程为，
∴，解得，，，
∴经过，，三点的圆的方程为，
由于，故点也在这个圆上，
因此，四点，，，都在圆上．
（2）以线段为直径作圆，圆心，半径为：1，
过点作圆的切线，当切线斜率存在时，设切线方程为：，即
可得：，解得，
当切线的斜率不存在时，也满足题意，∴切线方程为：或．
20.解:（1）依题意有解得所以椭圆C的方程为.
（2）假设点在线段AB的中垂线上.联立得方程组
消去y并整理，得.
设，，则，.
所以.所以线段AB的中点，
所以，所以，即，解得.
所以存在，使点在线段AB的中垂线上.
21.解：（1）在三棱柱中,四边形是平行四边形,
而,则是菱形,连接,如图,则有,
因,,,平面,
于是得平面,
而平面,则,
由得,,AC,平面,
从而得平面,又平面ABC,
所以平面平面ABC.
（2）在平面内过C作,
由（1）知平面平面ABC,平面平面,
则平面ABC,以C为原点,射线CA,CB,Cz分别为x,y,z轴正半轴,
建立空间直角坐标系,如图,
因,,
则,,,
假设在线段AC上存在符合要求的点P,
设其坐标为,
则有,
设平面的一个法向量,
则有,令得,
而平面的一个法向量,
依题意,,
化简整理得： 而,解得,
所以在线段AC上存在一点P,且P是靠近C的四等分点,
使平面和平面所成角的余弦值为.
22.(1)设椭圆的半焦距为由椭圆的离心率为，
由题知 ，椭圆的方程为
易求得，点在椭圆上，
，解得，椭圆的方程为.
(2)当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为，
由(1)知，，
当过点与圆相线的切线斜率存在时，可设切线的方程为
，即
联立直线和椭圆的方程得，
，
得，
且