2023-2024学年湖南省郴州市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省郴州市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析），共9页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，已知， ABD 10， 【正确答案】，【正确答案】等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
第 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷 选择题（60分）
一、（1-8题）单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在空间直角坐标系中，向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，与向量相反的向量是（ ）
A．B．C．D．
3．直线l经过，两点，则l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．设，，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．直线的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．120°D．90°
7．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．（本题5分）曲线与轴所围成区域的面积为（ ）
A．B．4C．D．π
（9-12题）多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知圆的方程为，则圆上的点有（ ）
A． B． C．D．
11．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过点B．直线的斜率为
C．直线在上的截距为D．直线在上的截距为
12．如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点使得平面
B．若，则动点的轨迹长度为
C．若平面，则动点的轨迹长度为
D．若平面，则三棱锥的体积为定值
第 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．圆心C为，且半径为3的圆的方程是 .
14．直线与之间的距离是 .
15．向量且，则 .
16．将直线绕着原点顺时针旋转90°，得到新直线的斜率是 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知：，，，求：
(1)；
(2)
18．（本题12分）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
19．（本题12分）求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心为原点，半径是3；
(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；
(3)经过点，圆心为点．
20．（本题12分）已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．
21．（本题12分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，､分别是棱､的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
22．（本题12分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为．
(1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD．
(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
答案
（1-8题）单项选择题：1-5 DABCB 6-8 BCD
（9-12题）多项选择题：9. ABD 10. AD 11. BD 12. BD
填空题
13. 14/ 15.1 16.

解答题
17.【正确答案】(1)， (2)
解：（1）因为，所以设，即，
故，解得，
，
，
∴，解得，
；
（2），
.
18. 【正确答案】
(1)
(2)
(3)
（1）由题意，单位向量有共个；
（2）由题意，与相等有；
（3）由题意，的相反向量有.
19.【正确答案】
(1)
(2)
(3)
（1）根据圆的标准方程可知，所有可得.
（2）由题，所以其垂线斜率，且中点为，即，所以可求得其垂直平分线为，
由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为.
（3）圆的半径，圆心为点
所以圆的方程是
20.【正确答案】
(1)；
(2)或．
（1）因为直线与直线垂直，
所以可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为
（2）当直线过原点时，直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或
21.【正确答案】
(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）因为,所以
又因为平面，平面，
所以,且平面,
所以平面,平面,
所以,
又因为,,
,,
所以,所以,
且,平面，
所以平面.
（2）
以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
,
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
,
所以，令 则，
所以，
所以.
（3）,
设平面的法向量为，
,
所以，令 则，
所以，
所以点到平面的距离为.
22.【正确答案】
(1)证明见解析
(2)存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处
（1）因为E、F分别是SA、SB的中点，
所以EF AB，
在矩形ABCD中，AB CD，
所以EF CD，CD 平面SCD，EF平面SCD，
∴ EF 平面SCD，
又因为E、P分别是SA、AD的中点，
所以EP SD，SD 平面SCD，EP平面SCD，
∴ EP 平面SCD，
又EF∩EP＝E，EF，EP平面PEF，
所以平面PEF 平面SCD．
（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，
在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以，
又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD，
所以平面ABCD，所以SP是四棱锥的高．
设，则，，
所以，所以m＝2．
以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，．
设，所以．
设平面PMB的一个法向量为，则，
所以取．易知平面SAD的一个法向量为，
所以，
因为，所以，
所以存在点M，位于AS的靠近点A的三等分点处满足题意．