2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)第4章 指数函数与对数函数

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)第4章 指数函数与对数函数，共197页。试卷主要包含了1　指数，任意实数的奇次方根只有1个，已知a>0，b>0，化简等内容，欢迎下载使用。
4．1 指数
4．1.1 n次方根与分数指数幂
对应学生用书第085页
知识点一 n次方根
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.可用下表表示：
知识点二 根式
1.式子eq \r(n,a)叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数．
2.性质：当n>1，n∈N*时，
(1)(eq \r(n,a))n＝a；
(2)当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)

分数指数幂中，规定底数a>0，因为当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a0，r，s∈Q)．
2.(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
3.(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(1)eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(r)＝eq \f(ar,br)(a>0，b>0，r∈Q)．
(1)分数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))不可理解为eq \f(m,n)个a相乘，它是根式的一种写法．
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．任意实数的奇次方根只有1个．( √ )
2．正数的偶次方根有两个且互为相反数．( √ )
3.eq \r((3－π)2)＝3－π．( × )
4．用分数指数幂表示eq \r((a－b)3)(a>b)为(a－b)eq \s\up6(\f(2,3)).( × )
5.eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,a2)b－1))－\f(1,2)a－\f(1,2)b\s\up6(\f(1,3)),\r(6,ab5))＝eq \f(1,a)(a>0，b>0)．( √ )
对应学生用书第086页
类型一 根式的化简与求值
【例1】 (1)化简下列各式：
①eq \r(6,(－2)6)＋(eq \r(6,2))6；
②(eq \r(a－1))2＋eq \r((1－a)2)＋eq \r(3,(1－a)3)；
(2)已知x≤－3，求eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)的值．
【解】 (1)①原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
②由题意知a－1≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
(2)原式＝eq \r((x－1)2)－eq \r((x＋3)2)＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，
∴x－11，
∴aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)，故A正确；显然a0＝1，故B正确；a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))，故C不正确；当n取偶数，eq \r(n,an)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))；当n取奇数，eq \r(n,an)＝a，故D不正确．故选AB．
三、 填空题
8．二次根式eq \r(x2)＝－x成立的条件是x≤0.
解析：因为eq \r(x2)＝|x|＝－x，所以x≤0.
9．已知a>0，b>0，化简：(eq \r(3,a))3•eq \r(ab3)＝aeq \s\up6(\f(3,2))beq \s\up6(\f(3,2)).(用分数指数幂表示)
解析：(eq \r(3,a))3•eq \r(ab3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,3))))eq \s\up12(3)•eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ab3))eq \s\up6(\f(1,2))＝a•aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(3,2))＝aeq \s\up6(\f(3,2))beq \s\up6(\f(3,2)).
10．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是③.(填序号)
①－eq \r(x)＝(－x)eq \s\up6(\f(1,2))(x＞0)；
②eq \r(6,y2)＝yeq \s\up6(\f(1,3)) (y＜0)；
③x－eq \f(3,4)＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3) (x＞0)；
④x－eq \f(1,3)＝－eq \r(3,x) (x≠0)．
解析：当x>0时，－eq \r(x)＝－xeq \s\up6(\f(1,2))，故①错误；当y0，yeq \s\up6(\f(1,3))0时，x－eq \f(3,4)＝eq \r(4,x－3)＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3)，故③正确；当x≠0时，x－eq \f(1,3)＝eq \f(1,\r(3,x))，故④错误．
四、解答题
11．计算下列各式(式中字母均为正数)．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(2,3)y\s\up6(\f(1,2))))•eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)x－1y\s\up6(\f(1,2))))•eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)x\s\up6(\f(1,3))y－\f(1,6)))；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－9.50－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2).
解：(1)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)))))x－eq \f(2,3)＋(－1)＋eq \f(1,3)yeq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))＝eq \f(25,24)x－eq \f(4,3)yeq \s\up6(\f(5,6)).
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－9.50－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＝eq \f(3,2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＝eq \f(1,2).
12. (1)化简：27－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)))eq \s\up6(\f(1,2))－(eq \r(2))0.
(2)先化简，再求值．已知a＝2eq \r(7)，b＝5eq \r(2)，求eq \f(a6－9b4,\r(a6＋6a3b2＋9b4))•eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))的值．
解：(1)27－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)))eq \s\up6(\f(1,2))－(eq \r(2))0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(33))－eq \f(1,3)－7＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))2))eq \s\up6(\f(1,2))－1＝eq \f(1,3)－7＋eq \f(5,3)－1＝－6.
(2)eq \f(a6－9b4,\r(a6＋6a3b2＋9b4))•eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3＋3b2)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3＋3b2))2))•eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3＋3b2)),a3＋3b2)•
eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))＝eq \f(b2,a2)，
因为a＝2eq \r(7)，b＝5eq \r(2)，所以
eq \f(a6－9b4,\r(a6＋6a3b2＋9b4))•eq \f(b2,a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－3b2)))＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5\r(2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(7)))2)＝eq \f(50,28)＝eq \f(25,14)..
13．化简eq \f(\r(3,ab2)•a2b2,\r(\r(3,b)•(a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,4)))4))(a，b为正数)的结果是( C )
A．eq \f(b2,a2)B．eq \f(a2,b2)
C．a2b2D．ab
解析：eq \f(\r(3,ab2)a2b2,\r(\r(3,b)(a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,4)))4))＝eq \f((ab2)\s\up6(\f(1,3))a2b2,[b\s\up6(\f(1,3))(a\s\up6(\f(2,3))b)]\s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(a\s\up6(\f(7,3))b\s\up6(\f(8,3)),a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(2,3)))＝a2b2.
14．化简：eq \r(3,a\s\up6(\f(9,2))\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－7)•\r(3,a13))＝1.
解析：因为eq \r(a－3)有意义，所以a>0，所以原式＝eq \r(3,a\s\up6(\f(9,2))•a－\f(3,2))÷eq \r(a－\f(7,3)•a\s\up6(\f(13,3)))＝eq \r(3,a3)÷eq \r(a2)＝a÷a＝1.
15. 求值：
(1)eq \f(\r(6•\r(3,6)•\r(6,64)),\r(6,63))；
(2)0.008－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0＋(2－eq \f(2,3))3＋8－eq \f(2,3).
解：(1)eq \f(\r(6•\r(3,6)•\r(6,64)),\r(6,63))＝
eq \f(\r(6•6\s\up6(\f(1,3))•6\s\up6(\f(2,3))),6\s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(\r(62),6\s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(6,6\s\up6(\f(1,2)))＝6eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(6).
(2)0.008－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0＋(2－eq \f(2,3))3＋8－eq \f(2,3)＝
(0.23)－ eq \f(1,3)－1＋2－ eq \f(2,3)×3＋2－ eq \f(2,3)×3＝5－1＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,2).
4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
对应学生用书第088页
知识点 无理数指数幂的运算
1.无理数指数幂的运算的实质：即当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它仍然是一个确定的实数，并且在数轴上有唯一的一个点与它对应．
2.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．
3.实数指数幂的运算法则：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
(4)拓展：eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈R)．
特别强调底数a>0，如果a0时，(ar)s＝(as)r.( √ )
2．6－eq \r(3)是一个确定的实数．( √ )
3．(eq \r(3)＋eq \r(2))eq \r(3)－eq \r(2)•(eq \r(3)－eq \r(2))eq \r(3)－eq \r(2)＝1.( √ )
4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \r(3)•4π＝22π－eq \r(3).( √ )
对应学生用书第088页
类型一 无理数指数幂的运算
【例1】 计算下列各式的值(式中字母均为正数)：
(1)(2eq \r(5)eq \r(m\r(5)))2eq \r(5)；
(2)4xeq \f(1,\r(2))•3x－eq \f(1,\r(2))(－yeq \r(3))•y－eq \f(\r(3),3).
【解】 (1)原式＝(2eq \r(5)meq \s\up6(\f(\r(5),2)))2eq \r(5)＝
2eq \r(5)×2eq \r(5)meq \f(\r(5),2)×2eq \r(5)＝1 024m5.
(2)原式＝－12xeq \f(1,\r(2))－eq \f(1,\r(2))yeq \r(3)－eq \f(\r(3),3)＝－12yeq \s\up6(\f(2 \r(3),3)).
1．无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．
2.在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式．
【变式训练1】 计算下列各式的值：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)×\r(3)))eq \s\up12(6)－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,49)))eq \s\up12(－\f(1,2))－(2 023)0＋eq \r(4,(－5)4)－4eq \r(3)·21－2 eq \r(3)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(π\r(3),\r(3,π\r(3)))))eq \s\up6(\f(\r(3),2)).
解：(1)原式＝22×33－4×eq \f(7,4)－1＋5－2＝108－7－1＋3＝103.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π\r(3),π\s\up6(\f(\r(3),3)))))eq \s\up6(\f(\r(3),2)) ＝(πeq \s\up6(\f(2 \r(3),3)))eq \s\up6(\f(\r(3),2))＝π．
类型二 指数运算在实际问题中的应用
【例2】 从盛满2.5升饮料瓶中倒出一半，然后加满水后摇匀，再倒出一半，后又用水填满摇匀，以此方式继续下去，则至少应倒4次后才能使饮料的浓度低于10%．
【解析】 由题意，得第n次操作后溶液的浓度为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(n)，令eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)1，且α0，所以m＝3，即xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \s\up6(\f(1,2))＝3.
②设n＝xeq \s\up6(\f(1,2))－x－eq \s\up6(\f(1,2))，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，
因为n∈R，所以n＝±eq \r(5)，
即xeq \s\up6(\f(1,2))－x－eq \s\up6(\f(1,2))＝±eq \r(5).
所以x－x－1＝(xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \s\up6(\f(1,2)))(xeq \s\up6(\f(1,2))－x－eq \s\up6(\f(1,2)))＝±3 eq \r(5)，
x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21eq \r(5).
(2)由xα＋x－α＝2eq \r(5)，两边平方，
得x2α＋x－2α＋2＝20，
则x2α＋x－2α＝18，
∴(xα－x－α)2＝x2α＋x－2α－2＝16.
∵x>1，且α0，b>0，以下运算正确的是( B )
A．ar•as＝arsB．(ar)s＝ars
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(r)＝arbrD．arbs＝(ab)r＋s
解析：根据实数指数幂的运算性质进行判断．
2．下列运算中正确的是( D )
A．a2 eq \r(2)a3 eq \r(2)＝a6 eq \r(2)(a>0)
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(eq \r(a)－2)0＝1(a≥0)
D．(－a2 eq \r(2))5＝－a10 eq \r(2)(a>0)
解析：a2 eq \r(2)a3 eq \r(2)＝a5 eq \r(2)(a>0)，故A错误；(－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B错误；当a＝4时，(eq \r(a)－2)0无意义，故C错误；(－a2 eq \r(2))5＝－a10 eq \r(2)(a>0)，故D正确．
3．若3a•9b＝eq \f(1,3)，则下列等式正确的是( C )
A．a＋b＝－1B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1D．a＋2b＝1
解析：∵3a•9b＝3a•32b＝3a＋2b＝eq \f(1,3)＝3－1，
∴a＋2b＝－1.
4．3π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12()π＋(22 eq \r(2))eq \r(2)＋1eq \r(5)＝( B )
A．17B．18
C．6D．5
解析：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(1,3)))eq \s\up12()π＋22 eq \r(2)×eq \r(2)＋1＝1π＋24＋1＝18.
5．22k－1－22k＋1＋22k＝( C )
A．22kB．22k－1
C．－22k－1D．－22k＋1
解析：原式＝22k－1－22×22k－1＋2×22k－1＝(1－4＋2)×22k－1＝－22k－1.
二、多项选择题
6．下列计算正确的是( BC )
A．eq \r(12,(－3)4)＝eq \r(3,－3)
B．(aeq \s\up6(\f(2,3))beq \s\up6(\f(1,2)))(－3aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,3)))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(5,6))))＝－9a(a>0，b>0)
C．eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3)
D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
解析：eq \r(12,(－3)4)＝eq \r(12,34)＝eq \r(3,3)，故A错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(2,3))b\s\up6(\f(1,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3a\s\up6(\f(1,2))b\s\up6(\f(1,3))))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(5,6))))＝
－9aeq \f(2,3)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,6)beq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(5,6)＝－9a，故B正确；由于eq \r(\r(3,9))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9\s\up6(\f(1,3))))eq \s\up6(\f(1,2))＝(32)eq \s\up6(\f(1,6))＝3eq \s\up6(\f(1,3))＝eq \r(3,3)，故C正确；因为x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝2，所以(x＋x－1)2＝4，则x＋x－1＝±2，故D不正确．
7．已知a－ eq \r(3)＋aeq \r(3)＝3，下列各式中正确的是( ABCD )
A．a2 eq \r(3)＋a－2 eq \r(3)＝7
B．a3 eq \r(3)＋a－3 eq \r(3)＝18
C．aeq \s\up6(\f(\r(3),2))＋a－eq \f(\r(3),2)＝eq \r(5)
D．a－2 eq \r(3)eq \r(a\r(3))＋eq \f(1,a－2 \r(3)\r(aeq \r(3)))＝2eq \r(5)
解析：因为a2 eq \r(3)＋a－2 eq \r(3)＝(a－ eq \r(3)＋aeq \r(3))2－2＝9－2＝7，所以A正确；a3 eq \r(3)＋a－3 eq \r(3)＝(a－ eq \r(3)＋aeq \r(3))(a－2 eq \r(3)－1＋a2 eq \r(3))＝3×6＝18，所以B正确；由a－ eq \r(3)＋aeq \r(3)＝3可知a>0，aeq \s\up6(\f(\r(3),2))＋a－eq \f(\r(3),2)>0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(\r(3),2))＋a－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝aeq \r(3)＋2＋a－ eq \r(3)＝5，所以aeq \s\up6(\f(\r(3),2))＋a－ eq \f(\r(3),2)＝eq \r(5)，所以C正确；因为a－2 eq \r(3)eq \r(a\r(3))＋eq \f(1,a－2 \r(3)\r(a\r(3)))＝a－eq \f(3 \r(3),2)＋aeq \s\up6(\f(3 \r(3),2))，又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(3 \r(3),2)＋a\s\up6(\f(3 \r(3),2))))eq \s\up12(2)＝a－3 eq \r(3)＋a3 eq \r(3)＋2＝20，所以原式＝2eq \r(5)，所以D正确．故选ABCD．
三、 填空题
8．若xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \f(1,2)＝3，则eq \f(x\s\up6(\f(3,2))＋x－\f(3,2)－3,x2＋x－2－2)＝eq \f(1,3).
解析：由xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \f(1,2)＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45，xeq \s\up6(\f(3,2))＋x－eq \f(3,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(1,2))))3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))3＝(xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \f(1,2))(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.∴eq \f(x\s\up6(\f(3,2))＋x－\f(3,2)－3,x2＋x－2－2)＝eq \f(1,3).
9．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α•2β＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2eq \s\up6(\f(1,5)).
解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝eq \f(1,5).则2α•2β＝2α＋β＝2－2＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝2eq \s\up6(\f(1,5)).
10．当a0，eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))＝2，所以xeq \s\up6(\f(1,2))＋x－eq \s\up6(\f(1,2))＝2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(1,2))＋x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝x＋x－1＋2＝4.∴x＋x－1＝2.∴xeq \s\up6(\f(3,2))＋x－eq \s\up6(\f(3,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(1,2))＋x－\f(1,2)))(x－1＋x－1)＝2.
12．已知a2x＝3，求eq \f(a4x－a－4x,a2x＋a－2x)的值．
解：原式＝eq \f((a2x－a－2x)(a2x＋a－2x),a2x＋a－2x)＝a2x－a－2x＝3－eq \f(1,3)＝eq \f(8,3).
13．已知2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝( A )
A．eq \r(10) B．10
C．20 D．100
解析：由题意得m>0，∵2a＝m，5b＝m，∴2＝meq \s\up6(\f(1,a))，5＝meq \s\up6(\f(1,b))，∵2×5＝meq \s\up6(\f(1,a))•meq \s\up6(\f(1,b))＝meq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，∴m2＝10，∴m＝eq \r(10).
14．已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝27.
解析：由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9.② 联立①②，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
15．已知方程x2－8x＋4＝0的两根为x1，x2(x10且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．
2.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当00)是指数函数．( × )
4．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)是指数衰减型函数模型．( √ )
5．我国2010年底的人口数为M，人口年平均增长率为p，到2024年底我国的人口数是M(1＋p)14.( √ )
对应学生用书第090页
类型一 指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，指数函数的个数是( D )
①y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－8))x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2•3x.
A．1B．2
C．3D．0
【解析】 ①中底数－80且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D．
(2)若p：函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2－3m＋3))mx是指数函数，q：m2－3m＋2＝0，则q是p的( C )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 命题p真，则m2－3m＋3＝1，解得m＝1或2，又m≠1，∴m＝2；q为真，则m＝1或2，∴q是p的必要不充分条件．故选C．
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求．
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求．
【变式训练1】 下列函数既不是幂函数又不是指数函数的是( C )
A．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xB．f(x)＝eq \r(x)
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x2D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝22x
解析：对于A， feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是指数函数，不合题意；对于B， feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \r(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))是幂函数，不合题意；对于C，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x2既不是指数函数，又不是幂函数，符合题意；对于D，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝22x＝4x是指数函数，不合题意．故选C．
类型二 求指数函数的解析式或求值
【例2】 (1)已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图象过点(2，4)，则a＝2.
【解析】 由指数函数的定义可知，(a－2)(a－3)＝0，解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，指数函数y＝2x的图象过点(2，4)，符合题意；
当a＝3时，指数函数y＝3x的图象不过点(2，4)，应舍去．综上，a＝2.
(2)若指数函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,9)))，则f(2)•f(1)＝( C )
A．－3B．9
C．27D．81
【解析】 由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,9)))，可得a－2＝eq \f(1,9)，解得a＝3，函数的解析式为y＝3x，f(2)•f(1)＝32×31＝27.
求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
【变式训练2】 (1)设函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)满足f(2)＝9，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( D )
A．eq \f(9,2)B．3
C．eq \f(1,2)D．eq \r(3)
解析：∵f(x)＝ax，f(2)＝9，∴ a2＝9，又a>0，∴a＝3，∴f(x)＝3x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(3)，故选D．
(2)已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为实数集上的增函数，且满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－2x))＝3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－2x))＝3，所以令feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－2x＝t可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x＋t，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t))＝3，所以2t＋t＝3，所以t＝1，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x＋1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝5.故选C．
类型三 指数增长型和指数衰减型函数模型的应用)
【例3】 (1)将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
【解】
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)(x∈N*)．
(2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k，e为常数，且e＝2.718 28…，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为21_870.
【解析】 设原来的细菌数为a，由题意可得，
当t＝1时，y＝3a，所以3a＝10ek，即ek＝eq \f(3a,10).
当a＝10时，ek＝3，所以y＝10ekt＝10•3t，
若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21 870.
关于函数y＝kax在实际问题中的应用
(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若00且a≠1.
课时作业29
对应学生用书第282页
一、单项选择题
1．下列函数是指数函数的是( C )
A．y＝x4B．y＝3•2x
C．y＝πxD．y＝(－4)x
解析：对于A，y＝x4是幂函数；对于B，y＝3×2x系数不为1，不是指数函数；对于C， y＝πx是底数为π的指数函数；对于D，y＝(－4)x底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选C．
2.已知f(x)＝2x＋1，则f(0)＝( D )
A．－1B．0
C．1D．2
解析：f(0)＝20＋1＝2.故选D．
3．若指数函数f(x)的图象过点(4，81)，则f(x)的解析式为( B )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝3x
C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)
D．f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,3))
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.
4．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对于任意实数x，y都有( C )
A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C．
5．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%的衰减率衰减，则t年后，这种放射性元素质量w的表达式为( A )
A．w＝500×0.9t
B．w＝500×0.9t－1
C．w＝500×0.1t
D．w＝500×0.1t－1
解析：最初的质量为500 g，经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.91；
经过2年，w＝500×0.92，…，
由此推出，t年后，w＝500×0.9t.
二、多项选择题
6．若函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－3))•ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是( AC )
A．a＝8
B．f(0)＝－3
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2eq \r(2)
D．a＝4
解析：因为函数f(x)是指数函数，所以eq \f(1,2)a－3＝1，解得a＝8，所以f(x)＝8x.所以f(0)＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝8eq \s\up6(\f(1,2))＝2eq \r(2)，因此选项A，C正确．
7．若函数f(x)＝(m2－2m－2)ax是指数函数，则实数m的值可能为( BC )
A．2B．3
C．－1D．1
解析：∵函数f(x)＝(m2－2m－2)ax是指数函数，∴m2－2m－2＝1，解得m＝3或－1.
三、 填空题
8．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(eq \r(2))x.
解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝eq \r(2)，所以f(x)＝(eq \r(2))x.
9．若 f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2，4)，则f(f(－1))＝eq \f(1,4).
解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，所以f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).
10．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份甲食堂的营业额比乙食堂的营业额高．(填“高”“低”或“相等”)
解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝eq \r(m(m＋8a)).因为yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
四、解答题
11．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y(h)与储藏温度x(℃)的关系式为y＝kerx(k，r，e为常数，且e＝2.718 28…)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少小时？
解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r，e为常数)．
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ker×0＝100，,ker×5＝80，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝100，,er＝\r(5,\f(4,5))，))
所以y＝100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5,\f(4,5))))eq \s\up12(x)，
所以当x＝10时，
y＝100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5,\f(4,5))))eq \s\up12(10)＝64.
故在10 ℃的冰箱中保鲜时间是64 h．
12．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
解：(1)由a2＋a－5＝1，
可得a＝2或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝2x－2－x是奇函数，证明如下：
∵F(x)的定义域为R，且F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数．
13．某股民购买一公司股票10万元，在连续10个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为( D )
A．赚723元B．赚145元
C．亏145元D．亏723元
解析：由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7(万元)，∵100 000－99 277＝723(元)，
∴股民亏723元．
14．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－x2，x≥5，,f(x＋3)，x0，,x＋1≠1，))
解得－12，所以函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，＋∞)).
(2)函数y＝eq \f(5,x－3)＋lg2 023(x－1)的定义域为(1，3)∪(3，＋∞)．
解析：要使函数y＝eq \f(5,x－3)＋lg2 023(x－1)有意义，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3≠0，,x－1>0，))解得x>1且x≠3，
所以函数y＝eq \f(5,x－3)＋lg2 023(x－1)的定义域为(1，3)∪(3，＋∞)．
类型三 对数函数模型的应用
【例3】 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2lg5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解】 (1)由题意知
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.15x，0≤x≤10，,1.5＋2lg5(x－9)，x>10.))
(2)由题意知1.5＋2lg5(x－9)＝5.5，即lg5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，解得x＝34.
∴老江的销售利润是34万元．
利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝lgax.
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
【变式训练3】 (1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
(2)森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S的关系是Q＝Alg2eq \f(S,10)，且当森林面积为40个单位时，森林净化量Q为100个单位．
①求A的值；
②当某森林面积为320个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？
解：(1)设经过y年后公司的研发资金为x万元，则x＝130(1＋12%)y，即eq \f(x,130)＝1.12y，所以y＝lg1.12eq \f(x,130)，令x＝200，所以y＝lg1.12eq \f(200,130)＝lg1.12eq \f(2,1.3)＝eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈3.8，所以到2026年，公司研发资金开始超过200万元．
(2)①由题意知Alg2eq \f(40,10)＝100，∴A＝50.
②把S＝320代入Q＝50 lg2eq \f(S,10)，得Q＝250.
所以当某森林面积为320个单位时，它能净化的空气量为250个单位．
对应学生用书第108页
1．下列函数中，是对数函数的是( D )
A．y＝lgxa(x>0，且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．y＝lg x2
D．y＝lg5x
解析：A，B，C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．故选D．
2. 对数函数的图象过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为( A )
A．y＝lg5xB．y＝lgeq \s\d9(\f(1,5))x
C．y＝lgeq \s\d9(\f(1,3))xD．y＝lg3x
解析：设函数解析式为y＝lgax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图象过点M(125，3)，所以3＝lga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝lg5x.故选A．3.已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∣x2－x≤0))，B＝{x∣y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x))}，则A∪B＝( C )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，1))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，1))
解析：x2－x＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))≤0，解得0≤x≤1，所以A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1)).由1－x>0，得x0，,1－x>0，))解得－21)，所以f(x)＝lgeq \f(2,x－1)(x>1)．故选B．
1．知识回顾
(1)对数函数的概念和定义域．
(2)对数函数模型的简单应用．
2．易错提醒
易忽视对数函数底数有限制条件．
课时作业35
对应学生用书第296页
一、单项选择题
1．下列函数是对数函数的是( D )
A．y＝lga(5x)B．y＝lg 100x
C．y＝lgm(x3＋x)D．y＝ln x
解析：只有D符合对数函数的定义，故选D．
2．已知集合A＝{x|y＝lg2(x2＋x－6)}，B＝{x|10⇒x2，所以A＝{x|x2}，所以A∩B＝{x|21，,2x，x≤1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3))))＝( B )
A．0B．2
C．1D．eq \f(1,2)
解析：根据题意，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2(x－1)，x>1，,2x，x≤1，))则f(3)＝lg22＝1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3))))＝f(1)＝21＝2，故选B．
5．已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－x))的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( C )
A．{x|x>－1}B．{x|x2，,a≠3，,a0，))解得00，且a≠1)．当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
解：设t(x)＝3－ax(a>0，且a≠1)，
∴t(x)＝3－ax为减函数，
则当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a.
∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
故当x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0，∴a0且a≠1，
∴0