2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)第3章 函数的概念与性质

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)第3章 函数的概念与性质，共153页。试卷主要包含了1　函数的概念及其表示，故选D.等内容，欢迎下载使用。
3．1.1 函数的概念(1)
对应学生用书第048页
知识点 函数的概念
(1)A，B是非空的实数集．
(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
2．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( × )
3．根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( × )
4．在函数的定义中，集合B是函数的值域．( × )
5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，则从A到B的函数f(x)有8个．( √ )
对应学生用书第048页
类型一 函数的概念
【例1】 (1)(多选题)以下从M到N的对应关系表示函数的是( AB )
A.M＝R，N＝{y|y≥0}，f：x→y＝|x|
B.M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2
C.M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→y＝±eq \r(x)
D.M＝R，N＝R，f：x→y＝eq \f(1,x)
【解析】 M＝R，N＝{y|y≥0}，f：x→y＝|x|，集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，满足函数的定义；M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2－2x＋2，M中任一元素，在N中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义；M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→y＝±eq \r(x)，M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义；M＝R，N＝R，f：x→y＝eq \f(1,x)，M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义．故选AB.
(2)下列图象中，可作为函数图象的是①③④.(填序号)
【解析】 ②⑤中存在一个x的值，y有两个值与之对应，所以不是函数图象，①③④符合函数定义．
1．判断一个对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数，若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
【变式训练1】 (1)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译作“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中构成从M到N的函数的是( C )
A.y＝2xB.y＝x＋2
C.y＝2|x|D.y＝x2－1
解析：当x＝－1时，y＝－2∉N，故A错误；当x＝1时，y＝1＋2＝3∉N，故B错误；当x＝－1时，y＝2|－1|＝2∈N，当x＝1时，y＝2|1|＝2∈N，当x＝2时，y＝2|2|＝4∈N，当x＝4时，y＝2|4|＝16∈N，即任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故C正确；当x＝－1时，y＝(－1)2－1＝0∉N，故D错误．故选C．
(2)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的有( D )

A B C D
解析：由函数的定义知A的定义域不是P，不符合题意；B，C中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值，不符合函数定义；D能表示集合P到集合Q的函数关系．故选D．
类型二 函数的三要素
【例2】 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为{x|－2≤x≤4，或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}．
【解析】 根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4，或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}．
(2)若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为{0，1}．
【解析】 由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2，得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根据集合元素的互异性，得函数的值域为{0，1}．
关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围．
(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围．
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y.
【变式训练2】 (1)函数y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽eq \f(10,x).
(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋eq \f(20,x).
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥4eq \r(10)}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋eq \f(20,x).
(3)设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝eq \f(\r(x4＋100),x).
其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2eq \r(5)}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长eq \f(\r(x4＋100),x).
构建问题情境的步骤
(1)综合考虑构建具体的实际问题；
(2)赋予每个变量具体的实际意义；
(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题．
【变式训练3】 下列构建的问题情境中的变量关系不可以用同一个解析式来描述的是( C )
A.某商品的售价为2(单位：元/件)，销量为x(单位：件)，销售额为y(单位：元)，那么y＝2x，其中，x的取值范围是A＝N，y的取值范围是B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)∈N)))).对应关系f把商品的每一个销量x，对应到唯一确定的销售额2x
B.把y＝2x(x∈N)看成一次函数，那么它的定义域是N，值域是B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)∈N)))).对应关系f把定义域中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数2x
C.某物体做匀速运动，速度为2(单位：米/秒)，运动时间为x(单位：秒)，路程为y(单位：米)，那么y＝2x，其中，x的取值范围是A＝{x|x≥0}，y的取值范围是B＝{y|y≥0}．对应关系f把物体的每个时间x，对应到唯一确定的路程2x
D.某品牌汽车的装货量为2(单位：吨/台)，汽车数量为t(单位：台)，运载量为z(单位：吨)，那么z＝2t，其中，t的取值范围是A＝N，z的取值范围是B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(z\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z,2)∈N)))).对应关系f把每一个汽车数量t，对应到唯一确定的运载量2t
对应学生用书第050页
1．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( A )
A.y＝2x－1
B.y＝x2－1
C.y＝2x＋1
D.y＝1.5x2－2.5x＋2
解析：根据题表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入y＝2x－1中均成立，故选A．
2．函数y＝x2－1的值域为{y|y≥－1}．
解析：函数的值域为{y|y≥－1}．
3．由“不超过x的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为y＝[x]，如[1.2]＝1，[－0.3]＝－1，则函数y＝2[x]＋1，x∈[－1，3)的值域为{－1，1，3，5}．
解析：由取整函数定义可知：当－1≤x