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2023-2024学年江苏省南通市海安市十三校联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安市十三校联考八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式： 5, 13, 0.5a,−2 b2c, c2+b2是最简二次根式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.下列各组线段，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 6，8，10C. 3，2， 5D. 5，12，13
3.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB=DC，∠ABC=∠ADCB. AD//BC，AB//DC
C. AB=DC，AD=BCD. OA=OC，OB=OD
4.数轴上表示6− 13的点A的位置应在( )
A. 1与2之间B. 2与3之间C. 3与4之间D. 4与5之间
5.如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为( )
A. 30米
B. 32米
C. 36米
D. 48米
6.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为( )
A. 9B. 6C. 5D. 92
8.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是( )
A. 4
B. 125
C. 5
D. 245
9.在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为( )
A. 13或14B. 26或28C. 13D. 无法确定
10.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为( )
A. 4
B. 5
C. 3 2
D. 2+ 2
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.使代数式 3−2x有意义的x的取值范围是______．
12.若x= 2−1，则x2+2x的值为______．
13.一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和2cm，则第三边长______cm．
14.若最简二次根式2a−43a+b与 a−b是同类根式，则a+b= ______．
15.在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结AB、AC，则∠1+∠2= ______°.
16.如图，在▱ABCD中∠BAD=90°.以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径作弧.两弧交于点P，作射线AP交CD于E，连接BE，若AE=AB，则∠BEC的度数为______．
17.如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，∠ABC=60°.BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE=2ED，则CE的长为______．
18.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ADC+∠BCD=90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2=S1+S3，已知AB的长度为7，则CD的长度为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1)(5 48−6 27+ 15)÷ 3．
(2) 18−2 2− 82+( 5−1)0．
20.(本小题10分)
已知a= 2−1，b= 2+1．
求：(1)a2b+ab2的值；
(2)ba+ab的值．
21.(本小题8分)
用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法．
(1)如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．
(2)如图2，在8×6的正方形网格中，请用无刻度直尺画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上．
22.(本小题10分)
小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示.具体要求如下：在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB=90°，AB=13米，BC=12米，CD=3米，AD=4米．
(1)求线段AC的长；
(2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O．
(1)求证：OE=12EC；
(2)若OD=2，求AB的长．
24.(本小题12分)
已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE=CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接BE、DF，求证：四边形BFDE为平行四边形．
25.(本小题14分)
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如3+2 2=(1+ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b 2=(m+n 2)2=m2+2n2+2mn 2(其中，a，b，m，n均为整数)，则有a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找到一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法.请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若a+b 5=(m+n 5)2，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a= ______，b= ______．
(2)若a+6 7=(m+n 7)2，当a，m，n均为正整数时，求a的值..
(3)化简： 6−2 5+ 6+2 5．
26.(本小题14分)
折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点Dʹ处，MD′与BC交于点N．
【猜想】(1)请直接写出线段MN、CN的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD′上，点A落在点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．
(2)若CD=4，MD=8，求EC的长．
(3)猜想MN、EM、MC的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 5, 13, 0.5a,−2 b2c, c2+b2是最简二次根式的有 5， c2+b2．
故选：A．
利用最简二次根式的定义：(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵32+42=52，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵( 3)2+22≠( 5)2，∴该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵52+122=132，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】A
【解析】解：A、AB=DC，∠ABC=∠ADC不一定是平行四边形，故此选项符合题意；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据根据平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4.【答案】B
【解析】解：∵3< 13<4，
∴2<6− 13<3，
故选：B．
直接估算出3< 13<4，进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 13的取值范围是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B．
由三角形中位线定理得到DE=12AB，而DE=16米，即可求出AB=32米．
本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到DE=12AB．
6.【答案】B
【解析】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形AD边的高，
∴S△EAD+S△ECB
=12AD⋅h1+12CB⋅h2=12AD(h1+h2)
=12S四边形ABCD
=4．
故选B．
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影=12S四边形ABCD．
本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质(平行四边形的两组对边分别相等).要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．
7.【答案】B
【解析】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，
x+4y=6，
所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．
故选：B．
据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=18求出是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=CD=3，AD= AB2−BD2= 52−32=4，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BP，可得6×4=5×BP，解得BP=245；
即线段BP的最小值是245．
故选：D．
作AD⊥BC于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利用三角形的面积求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA=∠DAE，
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=EB，
当EB=5，EC=4时，如图1，
则AB=EB=5，BC=EB+EC=9，
∴2AB+2BC=2×5+2×9=28；
当EB=4，EC=5时，如图2，
则AB=EB=4，BC=EB+EC=9，
∴2AB+2BC=2×4+2×9=26，
∴平行四边形ABCD的周长为26或28，
故选：B．
设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB=EB，再分两种情况讨论，一是EB=5，EC=4，则AB=EB=5，BC=EB+EC=9；二是EB=4，EC=5时，则AB=EB=4，BC=EB+EC=9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH=1，然后连接HG′交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD、AD=BC=2、DC=AB=4，
∵CH=EF=1，CH//EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∵G关于AB的对称点是G′、G为边AD的中点，
∴AB垂直平分GG′，
∴GE=G′E、AG=AG′=12AD=1，
∴G′H=EG′+EH=EG+CF，
∵DC=4，AD=2，
∴DG′=AD+AG′=2+1=3，DH=DC−CH=4−1=3，
由勾股定理得：HG′= 32+32=3 2，
即GE+CF的最小值为3 2．
故选：C．
作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH=1，然后连接HG′交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
11.【答案】x≤32
【解析】解：根据题意得：3−2x≥0，
解得x≤32．
故x的取值范围是x≤32．
二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，列不等式求解．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.【答案】1
【解析】解：x2+2x=x2+2x+1−1
=(x+1)2−1，
=( 2−1+1)2−1，
=( 2)2−1，
=1，
故答案为：1．
二次根式的性质，代数式求值，利用完全平方公式可把原式转化为(x+1)2−1，把x= 2−1代入转化后的式子计算即可求解．
本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
13.【答案】 13
【解析】解：由勾股定理得，第三边长= 32+22= 13(cm)，
故答案为： 13．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
14.【答案】0
【解析】解：∵最简二次根式 2a−4 3a+b与 a−b是同类根式，
∴2a−4=2，3a+b=a−b
解得：a=3，b=−3．
∴a+b=0．
故答案为：0．
结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可．
此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
15.【答案】45
【解析】解：如图，作AG⊥BG交于点G，在图中小正方形的顶点取点D，连接AD，CD，过C作CH⊥DH交于点H，
由勾股定理得，AD2=22+12=5，CD2=22+12=5，AC2=32+12=10，
则AD2+DC2=AC2，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
又∵AG//CH，
∴∠1=∠ACH，
∵AG=DH=1，BG=DH=2，∠BGA=∠CHD=90°，
∴△ABG≌△DCH(AAS)，
∴∠DCH=∠2，
∴∠1+∠2=∠ACH+∠DCH=∠ACD=45°．
故答案为：45．
作AB关于竖直边的对称线段AD，连接CD，根据勾股定理分别求出AD2、DC2、AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ADC为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质得出∠DCH=∠2，结合图形计算即可．
本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16.【答案】67.5°
【解析】解：在▱ABCD中，∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
由作图知，AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE=12×90°=45°，
∴∠AED=45°，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=12×(180°−45°)=135°2=67.5°，
∴∠BEC=180°−∠AED−∠AEB=180°−45°−67.5°=67.5°，
故答案为：67.5°．
根据矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形，求得∠D=∠DAB=90°，由作图知，AE平分∠DAB，得到∠DAE=∠BAE=12×90°=45°，根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】6 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC=60°，CD=AB=12，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=12，
∵AE=2ED，
∴2ED=12，
∴ED=6，
如图，过点E作EF⊥CD于点F，
则∠EFC=∠EFD=90°，
∴∠FED=90°−∠D=90°−60°=30°，
∴DF=12ED=3，
∴EF= ED2−DF2= 62−32=3 3，CF=CD−DF=12−3=9，
∴CE= EF2+CF2= (3 3)2+92=6 3．
故答案为：6 3．
由平行四边形的性质得∠D=∠ABC=60°，CD=AB=12，AD//BC，再证∠ABE=∠AEB，则AE=AB=12，过点E作EF⊥CD于点F，则∠FED=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得DF=3，则EF=3 3，CF=9，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
18.【答案】14
【解析】解：如图所示，过点B作BE//AD，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴三角形为直角三角形，∴∠CBE=90°，
∴BE=AD，DE=AB，BE2+BC2=EC2，
又∵S2=S1+S3，即AB2=AD2+BC2，
∵AD=BE，
∴AB2=BE2+BC2=EC2，
∴EC=AB，又DE=AB，
∴DC=2AB．
∵AB的长度为7，
∴CD的长度为14．
故答案为：14．
在梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC+∠BCD=90°，过点B作BE//AD，得Rt△BEC，再运用直角三角形的三边关系勾股定理进行求解．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的性质及运用，会作辅助线辅助解题．
19.【答案】解：(1)原式=(20 3−18 3+ 15)÷ 3
=(2 3+ 15)÷ 3
=2+ 5；
(2)原式=3 2− 2− 2+1
= 2+1．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；
(2)先化简二次根式和分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案．
本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
20.【答案】解：(1)∵a= 2−1，b= 2+1．
∴ab=( 2−1)( 2+1)=2−1=1,a+b= 2−1+ 2+1=2 2，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=1×2 2
=2 2；
(2)由(1)可知：ab=1,a+b=2 2，
∴ba+ab
=b2ab+a2ab
=a2+b2ab
=(a+b)2−2abab
=(2 2)2−2×11
=8−2
=6．
【解析】(1)先根据条件求出ab和a+b的值，然后把所求代数式分解因式，再整体代入求值即可；
(2)把所求分式通分进行计算，然后利用完全平方公式把(1)中所求结果代入计算即可．
本题主要考查了二次根式和分式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和分式的通分．
21.【答案】解：(1)连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；
(2)如图所示，平行四边形MBCN即为所求．
【解析】(1)连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；
(2)根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可得，平行四边形的BC的对边到BC的距离等于A到BC的距离的一半，然后根据平行四边形的对边相等解答．
本题考查了平行四边形的判定，正确求得正方形的面积，进而确定边长是关键．
22.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
∴AC= AB2−BC2= 132−122=5(米)，
即线段AC的长为5米；
(2)∵32+42=52，CD=3米，AD=4米，AC=5米，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12AC⋅BC+12CD⋅AD=12×5×12+12×3×4=36(平方米)，
∴36×10=360(元)，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
【解析】(1)由勾股定理求出的长即可；
(2)由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，然后由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵ED，EF是中位线，
∴ED//FC，EF//DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵对角线CE和DF相交于点O，
∴OE=12EC；
(2)解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD=2，
∴DF=2OD=4，
∵ED，EF是△ABC的中位线，
∴点D，F分别是AC，BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=12AB，
∴AB=2DF=8．
【解析】(1)证明四边形EFCD是平行四边形即可得出结论；
(2)证明DF是△ABC的中位线即可求解．
本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA=BC，DA//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠DAC+∠EAD=180°，∠BCA+∠FCB=180°，
∴∠EAD=∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
AE=CF∠EAD=∠FCBAD=CB，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，∠E=∠F，
∴ED//BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
【解析】(1)由“SAS”可证△ADE≌△CBF；
(2)由全等三角形的性质可得DE=BF，∠E=∠F，可证ED//BF，可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】m2+5n2 2mn
【解析】解：(1)∵a+b 5=(m+n 5)2，
∴a+b 5=m2+2mn 5+5n2(a,b,m,n均为整数)，
∴a=m2+5n2，b=2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
(2)∵a+6 7=(m+n 7)2，
∴a+6 7=m2+2nm 7+7n2(a,b,m,n均为整数)，
∴a=m2+7n2，2mn=6，
∴mn=3，
①m=1，n=3，a=64，
②m=3，n=1，a=16，
综上所述：a=64或16；
(3)∵(1− 5)2=1−2×1× 5+5=6−2 5，
(1+ 5)2=1+2×1× 5+5=6+2 5，
∴ 6−2 5+ 6+2 5
=( 5−1)+( 5+1)
=2 5．
(1)仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出a、b；
(2)在(1)的基础上，求出a=m2+7n2，2mn=6，根据a，b，m，n均为整数，分两种情况求出m，n；
(3)在前面两问的基础上探究结果．
本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键．
26.【答案】MN=CN
【解析】解：(1)MN=CN；理由如下：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，
∴∠CMD=∠CMD′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CMD=∠MCN，
∴∠CMD′=∠MCN，
∴MN=CN．
故答案为：MN=CN；
(2)∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠，
∴∠D=∠D′=90°，DC=D′C=4，MD=MD′=8，
设MN=NC=x，
∴ND′=MD′−MN=8−x，
在Rt△ND′C中，∠D′=90°，
∴ND′2+D′C2=NC2，
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴MN=5，
同理可证明EN=MN=5，
∴EC=EN+CN=10；
(3)EM2+MC2=4MN2，理由如下：
由折叠的性质可得∠AME=∠EMN，∠DMC=∠CMN，
∵∠AME+∠EMN+∠DMC+∠CMN=180°，
∴∠EMN+∠CMN=90°，即∠EMC=90°，
∴EM2+MC2=CE2，
∵EN=MN=CN，
∴CE=2MN，
∴EM2+MC2=4MN2．
(1)由折叠的性质可得∠CMD=∠CMD′，再由矩形的性质结合平行线的性质得到∠CMD=∠MCN，则∠CMD′=∠MCN，进而可得MN=CN；
(2)由折叠的性质可得∠D=∠D′=90°，DC=D′C=4，MD=MD′=8，设MN=NC=x，则ND′=MD′−MN=8−x，由ND′2+D′C2=NC2，得到(8−x)2+42=x2，解得x=5，则MN=5，同理可证明EN=MN=5，则EC=EN+CN=10；
(3)由折叠的性质证明∠EMC=90°，由勾股定理得到EM2+MC2=CE2，再证明CE=2MN，即可得到EM2+MC2=4MN2．
本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
1.下列二次根式： 5, 13, 0.5a,−2 b2c, c2+b2是最简二次根式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.下列各组线段，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 6，8，10C. 3，2， 5D. 5，12，13
3.四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB=DC，∠ABC=∠ADCB. AD//BC，AB//DC
C. AB=DC，AD=BCD. OA=OC，OB=OD
4.数轴上表示6− 13的点A的位置应在( )
A. 1与2之间B. 2与3之间C. 3与4之间D. 4与5之间
5.如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为( )
A. 30米
B. 32米
C. 36米
D. 48米
6.如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为( )
A. 9B. 6C. 5D. 92
8.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是( )
A. 4
B. 125
C. 5
D. 245
9.在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为( )
A. 13或14B. 26或28C. 13D. 无法确定
10.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为( )
A. 4
B. 5
C. 3 2
D. 2+ 2
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.使代数式 3−2x有意义的x的取值范围是______．
12.若x= 2−1，则x2+2x的值为______．
13.一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和2cm，则第三边长______cm．
14.若最简二次根式2a−43a+b与 a−b是同类根式，则a+b= ______．
15.在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结AB、AC，则∠1+∠2= ______°.
16.如图，在▱ABCD中∠BAD=90°.以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径作弧.两弧交于点P，作射线AP交CD于E，连接BE，若AE=AB，则∠BEC的度数为______．
17.如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，∠ABC=60°.BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE=2ED，则CE的长为______．
18.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ADC+∠BCD=90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2=S1+S3，已知AB的长度为7，则CD的长度为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1)(5 48−6 27+ 15)÷ 3．
(2) 18−2 2− 82+( 5−1)0．
20.(本小题10分)
已知a= 2−1，b= 2+1．
求：(1)a2b+ab2的值；
(2)ba+ab的值．
21.(本小题8分)
用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法．
(1)如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．
(2)如图2，在8×6的正方形网格中，请用无刻度直尺画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上．
22.(本小题10分)
小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示.具体要求如下：在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB=90°，AB=13米，BC=12米，CD=3米，AD=4米．
(1)求线段AC的长；
(2)若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O．
(1)求证：OE=12EC；
(2)若OD=2，求AB的长．
24.(本小题12分)
已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE=CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接BE、DF，求证：四边形BFDE为平行四边形．
25.(本小题14分)
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如3+2 2=(1+ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b 2=(m+n 2)2=m2+2n2+2mn 2(其中，a，b，m，n均为整数)，则有a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找到一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法.请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若a+b 5=(m+n 5)2，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a= ______，b= ______．
(2)若a+6 7=(m+n 7)2，当a，m，n均为正整数时，求a的值..
(3)化简： 6−2 5+ 6+2 5．
26.(本小题14分)
折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点Dʹ处，MD′与BC交于点N．
【猜想】(1)请直接写出线段MN、CN的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD′上，点A落在点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．
(2)若CD=4，MD=8，求EC的长．
(3)猜想MN、EM、MC的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 5, 13, 0.5a,−2 b2c, c2+b2是最简二次根式的有 5， c2+b2．
故选：A．
利用最简二次根式的定义：(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵32+42=52，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵( 3)2+22≠( 5)2，∴该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵52+122=132，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】A
【解析】解：A、AB=DC，∠ABC=∠ADC不一定是平行四边形，故此选项符合题意；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据根据平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4.【答案】B
【解析】解：∵3< 13<4，
∴2<6− 13<3，
故选：B．
直接估算出3< 13<4，进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 13的取值范围是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B．
由三角形中位线定理得到DE=12AB，而DE=16米，即可求出AB=32米．
本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到DE=12AB．
6.【答案】B
【解析】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形AD边的高，
∴S△EAD+S△ECB
=12AD⋅h1+12CB⋅h2=12AD(h1+h2)
=12S四边形ABCD
=4．
故选B．
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影=12S四边形ABCD．
本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质(平行四边形的两组对边分别相等).要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．
7.【答案】B
【解析】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，
x+4y=6，
所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．
故选：B．
据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=18求出是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=CD=3，AD= AB2−BD2= 52−32=4，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BP，可得6×4=5×BP，解得BP=245；
即线段BP的最小值是245．
故选：D．
作AD⊥BC于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利用三角形的面积求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA=∠DAE，
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=EB，
当EB=5，EC=4时，如图1，
则AB=EB=5，BC=EB+EC=9，
∴2AB+2BC=2×5+2×9=28；
当EB=4，EC=5时，如图2，
则AB=EB=4，BC=EB+EC=9，
∴2AB+2BC=2×4+2×9=26，
∴平行四边形ABCD的周长为26或28，
故选：B．
设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB=EB，再分两种情况讨论，一是EB=5，EC=4，则AB=EB=5，BC=EB+EC=9；二是EB=4，EC=5时，则AB=EB=4，BC=EB+EC=9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH=1，然后连接HG′交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD、AD=BC=2、DC=AB=4，
∵CH=EF=1，CH//EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∵G关于AB的对称点是G′、G为边AD的中点，
∴AB垂直平分GG′，
∴GE=G′E、AG=AG′=12AD=1，
∴G′H=EG′+EH=EG+CF，
∵DC=4，AD=2，
∴DG′=AD+AG′=2+1=3，DH=DC−CH=4−1=3，
由勾股定理得：HG′= 32+32=3 2，
即GE+CF的最小值为3 2．
故选：C．
作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH=1，然后连接HG′交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
11.【答案】x≤32
【解析】解：根据题意得：3−2x≥0，
解得x≤32．
故x的取值范围是x≤32．
二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，列不等式求解．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.【答案】1
【解析】解：x2+2x=x2+2x+1−1
=(x+1)2−1，
=( 2−1+1)2−1，
=( 2)2−1，
=1，
故答案为：1．
二次根式的性质，代数式求值，利用完全平方公式可把原式转化为(x+1)2−1，把x= 2−1代入转化后的式子计算即可求解．
本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
13.【答案】 13
【解析】解：由勾股定理得，第三边长= 32+22= 13(cm)，
故答案为： 13．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
14.【答案】0
【解析】解：∵最简二次根式 2a−4 3a+b与 a−b是同类根式，
∴2a−4=2，3a+b=a−b
解得：a=3，b=−3．
∴a+b=0．
故答案为：0．
结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可．
此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
15.【答案】45
【解析】解：如图，作AG⊥BG交于点G，在图中小正方形的顶点取点D，连接AD，CD，过C作CH⊥DH交于点H，
由勾股定理得，AD2=22+12=5，CD2=22+12=5，AC2=32+12=10，
则AD2+DC2=AC2，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
又∵AG//CH，
∴∠1=∠ACH，
∵AG=DH=1，BG=DH=2，∠BGA=∠CHD=90°，
∴△ABG≌△DCH(AAS)，
∴∠DCH=∠2，
∴∠1+∠2=∠ACH+∠DCH=∠ACD=45°．
故答案为：45．
作AB关于竖直边的对称线段AD，连接CD，根据勾股定理分别求出AD2、DC2、AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ADC为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质得出∠DCH=∠2，结合图形计算即可．
本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16.【答案】67.5°
【解析】解：在▱ABCD中，∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
由作图知，AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE=12×90°=45°，
∴∠AED=45°，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=12×(180°−45°)=135°2=67.5°，
∴∠BEC=180°−∠AED−∠AEB=180°−45°−67.5°=67.5°，
故答案为：67.5°．
根据矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形，求得∠D=∠DAB=90°，由作图知，AE平分∠DAB，得到∠DAE=∠BAE=12×90°=45°，根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】6 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC=60°，CD=AB=12，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=12，
∵AE=2ED，
∴2ED=12，
∴ED=6，
如图，过点E作EF⊥CD于点F，
则∠EFC=∠EFD=90°，
∴∠FED=90°−∠D=90°−60°=30°，
∴DF=12ED=3，
∴EF= ED2−DF2= 62−32=3 3，CF=CD−DF=12−3=9，
∴CE= EF2+CF2= (3 3)2+92=6 3．
故答案为：6 3．
由平行四边形的性质得∠D=∠ABC=60°，CD=AB=12，AD//BC，再证∠ABE=∠AEB，则AE=AB=12，过点E作EF⊥CD于点F，则∠FED=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得DF=3，则EF=3 3，CF=9，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
18.【答案】14
【解析】解：如图所示，过点B作BE//AD，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴三角形为直角三角形，∴∠CBE=90°，
∴BE=AD，DE=AB，BE2+BC2=EC2，
又∵S2=S1+S3，即AB2=AD2+BC2，
∵AD=BE，
∴AB2=BE2+BC2=EC2，
∴EC=AB，又DE=AB，
∴DC=2AB．
∵AB的长度为7，
∴CD的长度为14．
故答案为：14．
在梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC+∠BCD=90°，过点B作BE//AD，得Rt△BEC，再运用直角三角形的三边关系勾股定理进行求解．
本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的性质及运用，会作辅助线辅助解题．
19.【答案】解：(1)原式=(20 3−18 3+ 15)÷ 3
=(2 3+ 15)÷ 3
=2+ 5；
(2)原式=3 2− 2− 2+1
= 2+1．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；
(2)先化简二次根式和分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案．
本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
20.【答案】解：(1)∵a= 2−1，b= 2+1．
∴ab=( 2−1)( 2+1)=2−1=1,a+b= 2−1+ 2+1=2 2，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=1×2 2
=2 2；
(2)由(1)可知：ab=1,a+b=2 2，
∴ba+ab
=b2ab+a2ab
=a2+b2ab
=(a+b)2−2abab
=(2 2)2−2×11
=8−2
=6．
【解析】(1)先根据条件求出ab和a+b的值，然后把所求代数式分解因式，再整体代入求值即可；
(2)把所求分式通分进行计算，然后利用完全平方公式把(1)中所求结果代入计算即可．
本题主要考查了二次根式和分式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和分式的通分．
21.【答案】解：(1)连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；
(2)如图所示，平行四边形MBCN即为所求．
【解析】(1)连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；
(2)根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可得，平行四边形的BC的对边到BC的距离等于A到BC的距离的一半，然后根据平行四边形的对边相等解答．
本题考查了平行四边形的判定，正确求得正方形的面积，进而确定边长是关键．
22.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，
∴AC= AB2−BC2= 132−122=5(米)，
即线段AC的长为5米；
(2)∵32+42=52，CD=3米，AD=4米，AC=5米，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12AC⋅BC+12CD⋅AD=12×5×12+12×3×4=36(平方米)，
∴36×10=360(元)，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
【解析】(1)由勾股定理求出的长即可；
(2)由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，然后由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵ED，EF是中位线，
∴ED//FC，EF//DC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵对角线CE和DF相交于点O，
∴OE=12EC；
(2)解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD=2，
∴DF=2OD=4，
∵ED，EF是△ABC的中位线，
∴点D，F分别是AC，BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=12AB，
∴AB=2DF=8．
【解析】(1)证明四边形EFCD是平行四边形即可得出结论；
(2)证明DF是△ABC的中位线即可求解．
本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA=BC，DA//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠DAC+∠EAD=180°，∠BCA+∠FCB=180°，
∴∠EAD=∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
AE=CF∠EAD=∠FCBAD=CB，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，∠E=∠F，
∴ED//BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
【解析】(1)由“SAS”可证△ADE≌△CBF；
(2)由全等三角形的性质可得DE=BF，∠E=∠F，可证ED//BF，可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】m2+5n2 2mn
【解析】解：(1)∵a+b 5=(m+n 5)2，
∴a+b 5=m2+2mn 5+5n2(a,b,m,n均为整数)，
∴a=m2+5n2，b=2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
(2)∵a+6 7=(m+n 7)2，
∴a+6 7=m2+2nm 7+7n2(a,b,m,n均为整数)，
∴a=m2+7n2，2mn=6，
∴mn=3，
①m=1，n=3，a=64，
②m=3，n=1，a=16，
综上所述：a=64或16；
(3)∵(1− 5)2=1−2×1× 5+5=6−2 5，
(1+ 5)2=1+2×1× 5+5=6+2 5，
∴ 6−2 5+ 6+2 5
=( 5−1)+( 5+1)
=2 5．
(1)仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出a、b；
(2)在(1)的基础上，求出a=m2+7n2，2mn=6，根据a，b，m，n均为整数，分两种情况求出m，n；
(3)在前面两问的基础上探究结果．
本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键．
26.【答案】MN=CN
【解析】解：(1)MN=CN；理由如下：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，
∴∠CMD=∠CMD′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CMD=∠MCN，
∴∠CMD′=∠MCN，
∴MN=CN．
故答案为：MN=CN；
(2)∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠，
∴∠D=∠D′=90°，DC=D′C=4，MD=MD′=8，
设MN=NC=x，
∴ND′=MD′−MN=8−x，
在Rt△ND′C中，∠D′=90°，
∴ND′2+D′C2=NC2，
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴MN=5，
同理可证明EN=MN=5，
∴EC=EN+CN=10；
(3)EM2+MC2=4MN2，理由如下：
由折叠的性质可得∠AME=∠EMN，∠DMC=∠CMN，
∵∠AME+∠EMN+∠DMC+∠CMN=180°，
∴∠EMN+∠CMN=90°，即∠EMC=90°，
∴EM2+MC2=CE2，
∵EN=MN=CN，
∴CE=2MN，
∴EM2+MC2=4MN2．
(1)由折叠的性质可得∠CMD=∠CMD′，再由矩形的性质结合平行线的性质得到∠CMD=∠MCN，则∠CMD′=∠MCN，进而可得MN=CN；
(2)由折叠的性质可得∠D=∠D′=90°，DC=D′C=4，MD=MD′=8，设MN=NC=x，则ND′=MD′−MN=8−x，由ND′2+D′C2=NC2，得到(8−x)2+42=x2，解得x=5，则MN=5，同理可证明EN=MN=5，则EC=EN+CN=10；
(3)由折叠的性质证明∠EMC=90°，由勾股定理得到EM2+MC2=CE2，再证明CE=2MN，即可得到EM2+MC2=4MN2．
本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
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