2023-2024学年山东省青岛平度市第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省青岛平度市第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，，，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先观察图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解
【详解】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合中，但不在集合中．
又，0，2，4，7，，，，1，3，4，，
则右图中阴影部分表示的集合是：，1，．
故选：C．
2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.
【详解】解：对于A，因为，所以，即，故错误；
对于B，取，则，故错误；
对于C，由，得，所以，故错误；
对于D，由，得，所以，故正确.
故选：D.
3．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有
A．2B．3C．4D．8
【答案】D
【分析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.
【详解】,
因为，所以，
因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.
【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.
4．已知，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围.
【详解】设，
得，解得：，
所以，
因为，，所以，，
所有的范围是.
故选：C
5．已知：不等式的解集为，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先计算出不等式的解集为时的取值范围，再根据范围大小即可得出结论.
【详解】若不等式的解集为，当时，符合题意；
当时，需满足且，解得
综合可得而所以p能推出q，q不能推出p，
即是的充分不必要条件.
故选：A
6．负实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为负实数、满足，则，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：A.
7．已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程解的情况、含有存在量词的命题的否定、充分条件和必要条件的定义分析运算即可得解.
【详解】解：∵“，使”是假命题，
即“，”是真命题，
即方程没有实数根，
∴
∴，即命题：“，使”是假命题
等价于，
设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：，
则命题，而不能，
∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求，
∴选项B正确.
故选：B.
8．已知，则使得都成立的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可求得，
【详解】由，得：，
即，解之得，
因为，使得都成立，
所以；
故选：B.
二、多选题
9．已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】AC
【解析】根据集合元素的互异性必有或，解出后根据元素的互异性进行验证即可．
【详解】解：由题意得，或，
若，即，
或，
检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；
当时，，与元素互异性矛盾，舍去．
若，即，
或，
经验证或为满足条件的实数．
故选：AC．
【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．
10．不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据二次函数图像与性质，以及二次不等式关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为不等式的解集是，
可得，且，所以，所以，
所以A、C正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，
所以当时，，所以B正确．
故选：ABC．
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则函数的最小值为2
B．若，，，则的最小值为2
C．函数的最小值为2
D．若，，，则的最小值为2
【答案】BC
【分析】根据各选项的描述，结合基本不等式求各目标式的最值，注意等号成立的条件，即可判断各选项的真假.
【详解】A：由题意，则，当且仅当时等号成立，为假命题；
B：由题意，，且，可得，当且仅当时等号成立，为真命题；
C：，当且仅当时等号成立，为真命题；
D：由题设，当且仅当时等号成立，为假命题.
故选：BC
12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
【答案】CD
【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，∵，∴，，
∴
（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；
对于C，∵，∴，，又，
（当且仅当，即时取等号），C正确；
对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．
故选：CD
三、填空题
13．命题“或”的否定是 ．
【答案】
【分析】求出给定命题的等价命题，再由全称量词命题的否定直接写出结论即可.
【详解】命题“或”的等价命题为：，
所以所求命题的否定是：.
故答案为：
14．若，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】化简，然后利用基本不等式求解即可
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为6，
故答案为：6
15．设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.
【详解】由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
16．已知非负实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将变形为，再借助“1”的妙用求解作答.
【详解】非负实数，满足，有，
则
，当且仅当，即时取“=”，
由，得，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．（1）已知，求证：>．
（2）已知，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由条件可得，，然后可得，然后可证明；
（2）由条件可得，，，然后利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）∵，∴
∵，∴，又∵，∴，
∴，又，∴>
（2）因为
所以，同理
所以
(当且仅当时等号成立)
18．若正数x，y满足x+3y=5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．
【答案】（1）3x+4y的最小值为5．（2）xy的最小值为．
【详解】试题分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．
（2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出．
解：（1）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．
∴
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．
∴3x+4y的最小值为1．
当且仅当x=1，y=时取等号．
∴3x+4y的最小值为5．
（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴5xy≥，
解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．
∴xy的最小值为．
【解析】基本不等式．
19．已知集合，，，全集为实数集R.
(1)求，；
(2)若“，”是真命题，求a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解分式不等式化简集合A，求出集合A的补集，然后利用集合运算求解即可；
（2）根据特称量词命题为真得，列不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以 或，
又，所以，；
（2）因为“，”是真命题，所以，
又，，所以，即a的取值范围为.
20．设集合，非空集合.
(1)若，求实数的值；
(2)若“”是“”充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解一元二次方程化简集合A，根据交集的结果知，代入计算并检验即可求解；
（2）根据充分条件的概念得，然后对集合分类讨论列式求解即可.
【详解】（1）由题意得,
因为，所以，所以即，
化简得，即，解得，，
检验：当，，满足，
当，，满足，
所以，；
（2）因为“”是“”充分条件，所以，
①当为单元素集，则，即，得，，
当，不是集合的子集，舍去；当，符合.
②当为双元素集，则，则有，无解.
综上：实数的取值范围为.
21．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
【答案】(1)，从第年起开始盈利
(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析
【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；
（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.
【详解】（1）由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
22．已知函数．
(1)当，时，若“，”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若，，解关于x的不等式．
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）将，代入函数，并结合题意可转化成方程在上有解，分和两种情况进行讨论即可得到答案；
（2）将，代入函数，分，，，，五种情况进行讨论，即可得到对应解集.
【详解】（1）当，时，，
因为“，使得”为真命题，即方程在上有解，
当时，，即，符合题意；
当时，解得，符合题意，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）当，时，
原不等式即为，
①当时，则，解得，
故不等式的解集为；
②当时，，解原不等式可得，
此时原不等式的解集为；
③当时，，解原不等式可得或，
此时，原不等式的解集为或；
④当时，原不等式即为，解得，
此时，原不等式的解集为；
⑤当时，，解原不等式可得或，
此时，原不等式的解集为或；
综上所述，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【点睛】方法点睛：对含参一元二次不等式进行求解时，要对参数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照二次函数的开口，根的大小进行分类求解的