2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的并集运算求解.
【详解】因为，
所以，
故选：D
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若，则成立，即必要性成立，反之若，则不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式被开方数为非负实数，分母不为零进行求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为．
故选：C.
4．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．
【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于B，，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：
对于D，，定义域不同，故不为同函数．
故选：C．
5．已知集合满足，则所有满足条件的集合的个数是（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】D
【分析】根据已知，只需考虑元素3，4，5，6的情况即可.
【详解】由已知可得，1和2一定是集合的元素，所以只需要考虑剩余元素3，4，5，6的情况即可.
又集合的子集个数为，所以所有满足条件的集合的个数是16.
故选：D.
6．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，结合选项即可判定，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，排除B、C；
又由当时，可得，所以只有选项A适合.
故选：A.
7．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.
【详解】若“”是真命题，
即判别式，解得：，
所以命题“”是假命题时，
则实数的取值范围为：.
故选：B.
8．设，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．9B．18C．20D．27
【答案】B
【分析】根据变形后，利用均值不等式求出的最小值即可求解.
【详解】,,
,
当且仅当，即时等号成立.
所以，即实数k的最大值为18，
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．0∈∅B．∅⊆{0}C．若a∈N，则-a∉ND．π∉Q
【答案】BD
【解析】利用集合与集合和元素与集合的关系，逐一判断四个选项的正误.
【详解】空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a＝0，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确.
故选：BD
10．下列命题中，真命题是（ ）
A．若、且，则、至少有一个大于
B．，
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【分析】由反证法即可判断A，举出反例即可判断BC，由一元二次方程根的情况即可判断D.
【详解】假设都不大于，即，则，因此不成立，所以假设不成立，故A正确；
因为时，，故B错误；
因为，但是，则不一定能推出，
且，但是，所以不一定能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
关于方程有一正一负根，
所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D正确；
故选：AD
11．关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（ ）
A．不等式们解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
【答案】BD
【分析】运用特例法，结合一元二次不等式的解集性质、一元一次不等式的解集性质逐一判断即可.
【详解】对于A， 当时，，所以不等式的解集不能为，选项A错误；
对于B，取，，得，不等式的解集是R，所以选项B正确；
对于C，如果结论成立则，且，解得，此时不等式为，解得，
所以不等式的解集可以是与题矛盾，选项C错误；
对于D，，时，不等式可化为，
即，解得，其解集是，选项D正确；
故选：BD
12．已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为B．
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】因为、为正实数，，
对于A选项，因为，则，
故，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故A对；
对于B选项，，当且仅当时，等号成立，
所以也正确，故B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故C对.
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故D错；
故选：ABC.
三、填空题
13．命题：的否定是 ．
【答案】
【分析】根据特称命题的否定形式直接写出即可.
【详解】特称命题的否定形式为修改量词为全称量词，并否定结论即可，
故命题：的否定是.
故答案为：.
14．已知实数满足，，则的取值集合是 .（用区间表示）
【答案】
【分析】根据不等式的性质直接求解即可.
【详解】，，又，，
即的取值集合为.
故答案为：.
15．若函数的定义域为，则实数的取值集合是 .（用区间表示）
【答案】
【分析】由题意知对任意实数恒成立，最高次项系数含参问题，考虑参数是否为零，分情况讨论.
【详解】若函数的定义域为，则对任意实数恒成立，
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，若，
则需满足，解得：；
综上所述：.即.
故答案为：
16．如图，矩形，，，分别是矩形边上的点，其中，以为邻边的矩形的面积记为，则的最小值是 .
【答案】
【分析】设，利用三角关系可表示出，进而得到，结合基本不等式可求得最小值.
【详解】，，
，，
设，则，
，又，
，
（当且仅当，即时取等号），
（当且仅当时取等号）.
故答案为：.
四、解答题
17．设全集.求，，，
【答案】或，或，，或.
【分析】根据交集，并集和补集的概念进行求解.
【详解】或，
或或，
，
或.
五、问答题
18．设，，已知，求的值.
【答案】，或
【分析】确定，考虑，和三种情况，计算得到答案.
【详解】，故，，故，
当时，，解得，；
当时，，解得，；
当时，，解得，；
综上所述：，或.
六、解答题
19．已知函数.，用表示中的最大者，记为.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列出不等式并求解，再按定义求出的解析式.
（2）由（1）的结论，分段解不等式即得.
【详解】（1）函数，由，得，
解得，此时
由，得，解得或，此时，
所以的解析式为.
（2）由（1）知，当时，不等式化为，解得，因此，
当或时，不等式化为，解得，因此，
所以不等式的解集是.
20．（1）已知是一次函数，若，求的解析式.
（2）已知函数，求的解析式.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）利用待定系数法计算即可；
（2）利用配凑法计算即可.
【详解】（1）设，
所以，
则或，
故或；
（2）由已知可得，
所以，
又，所以.
21．解关于的不等式
【答案】答案见解析
【分析】分和，再结合根的判别式，分类讨论求出不等式的解集.
【详解】当时，，解得；
当时，若，即时，恒成立，
此时不等式的解集为R；
若，即时，，即，故解集为；
若，解得，
当时，的两根为，
且，故，
此时的解集为；
当时，的两根为，
且，故，
此时的解集为或；
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为R.
22．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米800元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两侧墙长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求的取值范围.
【答案】(1)4米；
(2).
【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可.
（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.
【详解】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，
则屋子的前面墙的长度为米，设甲工程队报价为元，
因此（元），
显然，
当且仅当，即时取等号，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.
（2）依题意，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，则对任意的恒成立，
显然，
当且仅当，即时取等号，于是，又，则，
所以当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.