山西省临汾市尧都区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山西省临汾市尧都区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了一元二次方程的根的情况是，如图，，若，，则的长为，下列运算正确的是，一元二次方程配方后可化为，如图，是的边上一点，，，，如图，中，，，等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，新生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．如图，，若，，则的长为（ ）
A．2.5B．1C．1.5D．2
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际高峰论坛在北京召开，回顾了10年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．据欧洲统计局公布的数据显示，2020年中欧贸易总额为5860亿欧元，2022年中欧贸易总额为8563亿欧元．设这两年中欧贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，是的边上一点，，，．如果的面积为15，那么的面积为（ ）
A．15B．10C．D．5
10．如图，中，，，．若，，则的长为（ ）
A．19B．18C．17D．10
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．________．
12．若，则________．
13．某学校修建了一个面积为的矩形劳动实践基地，它的长比宽多20 m，设该劳动实践基地的长为，则可列方程为________．
14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．以坐标原点为位似中心，在第三象限内，将的边长放大为原来的2倍得到，则点的对应点的坐标为________．
15．如图，□ABCD中，点为的中点，点在上，的延长线与相交于点，与的延长线交于点．若，，则的长为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（每小题5分，共10分）计算．
（1）．
（2）．
17．（每小题5分，共10分）解下列方程．
（1）．
（2）．
18．（本题8分）如图，在中，点是边上一点，且，．
（1）尺规作图：过点作射线使得，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，若，求的长．
19．（本题8分）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）向下平移3个单位长度得到，点的对应点的坐标是________．
（2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为，点的对应点的坐标是________．
（3）的面积为________．
20．（本题7分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．亚运会期间，某专营店直接从工厂购进某种纪念品，进价为25元／件，售价为37元/件．亚运会结束后，该店计划降价销售，根据经验，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，每降价1元，平均每天可多售出2件，则将该纪念品售价定为多少元/件时，才能使平均每天销售利润为90元？
21．（本题9分）阅读与思考
下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
（1）已知，是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是________．
（2）因式分解：的结果是________．
（3）请用阅读内容中的方法，因式分解：．
（4）通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的结论．
22．（本题10分）综合与探究
问题情境
如图1，在矩形中，，，点，分别在边，上，，垂足为．
实践操作
（1）若是的中点，请直接写出的长以及的值．
（2）如图2，隐去，作，分别与，交于点，．若，求的长．
拓展延伸
（3）如图3，在图2的基础上，连接，，，请直接写出图中阴影部分的面积．

图1 图2 图3
23．（本题13分）综合与实践
如图1，已知纸片中，，为斜边上的高（于点）．
观察发现
（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）

图1 图2
实践操作
第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿折叠（点为上一点），使点落在边上的点处；
第二步：与交于点连接，然后将纸片展平．
猜想探究
（2）猜想四边形是哪种特殊的四边形，并证明猜想．
（3）探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
山西省2023—2024学年九年级第一学期阶段性质量检测
数学（华师版）参考答案及评分标准
一、选择题
1—5 DBAAC 6—10 BAADB
二、填空题
11．3 12． 13． 14． 15．4
三、解答题
16．解：（1）原式 ………………2分
………………4分
． ………………5分
（2）原式 ………………9分
． ………………10分
17．解：（1）． ………………1分
， ………………2分
或． ………………4分
所以，． ………………5分
（2）， ………………6分
，
， ………………7分
或． ………………9分
所以，． ………………10分
18．解：如图所示，即为所求．
………………3分
（2）∵，．∴．………………4分
由作图可知，又∵，∴∽．………………5分
∴，即．………………6分
解得．………………7分
∴．………………8分
19．解：（1） ………………2分
（2）如图所示．
………………4分
………………6分
（3）10 ………………8分
20．解：设将该纪念品售价定为元/件． ………………1分
根据题意得． ………………4分
整理得，解得，． ………………6分
答：将该纪念品售价定为30元/件或34元/件时，平均每天销售利润为90元． ………………7分
21．解：（1） ………………2分
（2） ………………4分
（3）解方程，得，． ………………6分
∴． ………………7分
（4）答案不唯一．例如：有些二次三项式（在实数范围内）不能分解因式；
一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是；
一元二次方程（）的两个实数根为，，则；
一元二次方程（）的两个实数根为，，则等等． …………9分
22．解：（1），． ………………2分
（2）如图．过点作于点． ………………3分
∴．
∵四边形是矩形，∴，．
∴，∴四边形是矩形． ………………4分
∴．
∵在中，，，∴． ………………5分
∵，∴．
∵在中，，
∴． ………………6分
又∵，∴∽． ………………7分
∴，∴．∴． ………………8分
（3）． ………………10分
23．解：（1）答案不唯一．∽∽中的任意两个． ………………2分
（2）四边形是菱形． ………………3分
证明：由折叠可知，，． ………………4分
∵，，∴，．
∴． ………………5分
又∵，∴．
∴． ………………6分
∴．∴四边形是菱形． ………………7分
（3）． ………………8分
理由如下：如图，过点作于点．
∴．
∵由（1）得，四边形为菱形，∴． ………………9分
∴，． ………………10分
∴∽． ………………11分
∴，即． ………………12分
∴． ………………13分
通过解一元二次方程分解某些二次三项式
我们把形如（，，是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，
设一元二次方程（）的两个实数根为
，，直接计算：．
下面是代数推理过程：
解：

．
即．
这就是说，在因式分解二次三项式（）时，可先求一元二次方程（）的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式．