福建省龙岩市2022届高三第一次教学质量检测数学试题(含答案)

这是一份福建省龙岩市2022届高三第一次教学质量检测数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知复数z满足,则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、已知三条直线a,b,c若a和b是异面直线,b和c是异面直线,那么直线a和c的位置关系是( )
A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面
4、已知,则( )
A.B.C.或D.
5、在平面直角坐标系xOy中,双曲线的左、右焦点分别为,点M是双曲线右支上一点,且为等边三角形,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
6、国外新冠肺炎疫情形势严峻,国内疫情传播风险加大,为了更好地抗击疫情,国内进一步加大新冠疫苗的接种力度.某制药企业对某种新冠疫苗开展临床接种试验,若使用该疫苗后的抗体呈阳性,则认为该新冠疫苗有效.该企业对参与试验的1000名受试者的年龄和抗体情况进行统计,结果如下图表所示：
则下列结论正确的是( )
A.在受试者中,50岁以下的人数为700B.在受试者中,抗体呈阳性的人数为800
C.受试者的平均年龄为45岁D.受试者的疫苗有效率为80%
7、已知函数,记等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.-4044B.-2022C.2022D.4044
8、已知函数,若存在实数a,对任意的实数x都有,且在区间上有且仅有3个零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知二项式的展开式中各项系数之和是,则下列说法正确的有( )
A.展开式共有7项B.二项式系数最大的项是第4项
C.所有二项式系数和为128D.展开式的有理项共有4项
10、在中,已知,且,,则( )
A.B.
C.D.
11、已知点是直线上的一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,连接OA,OB,则( )
A.当四边形OAPB为正方形时,点P的坐标为
B.的取值范围为
C.当为等边三角形时,点P的坐标为
D.直线AB过定点
12、已知数列的前n项和为,,则下列选项正确的是( )
A.数列的奇数项构成的数列是等差数列
B.数列的偶数项构成的数列是等比数列
C.
D.
三、填空题
13、抛物线上一点到焦点的距离为________________.
14、函数在点处的切线l与两坐标轴围成的三角形面积为__________.
15、已知是等腰直角三角形,点P在平面ABC的同一侧运动,P到平面ABC的距离为6,三棱锥的体积为18且其外接球的半径为5,则满足上述条件的点P的轨迹长度为_________________.
16、已知函数,若方程有解,则实数m的取值范围是______________.
四、解答题
17、已知数列是等比数列,公比,且是,的等差中项,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
18、如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,,,E为AD的中点,且.
(1)求证：平面ABCD;
(2)记PE的中点为N,若M在线段BC上,且直线MN与平面PAB所成角的正弦值为,求线段BM的长.
19、近年来,我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势,各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业,以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人）,得到如下表格：
(1)已知与具有较强的线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.
（ⅰ）若该市E大学2021年毕业生人数为7千人,根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额;
（ⅱ）若A大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为p,,该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元,求p的取值范围.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
20、记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c是三个连续的正整数,且,.
(1)求a;
(2)将线段AB绕点A顺时针旋转到AD,求的面积.
21、已知椭圆经过点,左顶点为D,右焦点为F,已知点,且D,P,E三点共线.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知经过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,过点B作直线的垂线,垂足为G,求证：直线AG过定点.
22、已知函数,,.
(1)当时,判断函数的零点个数;
(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由,得,所以,
又,所以,
所以;
故选：C.
2、答案：D
解析：,
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限,
故选：D.
3、答案：D
解析：画图分析可知空间直线的三种位置关系均有可能.故D正确.
4、答案：B
解析：因为,
所以,
所以,
故选：B.
5、答案：A
解析：如图示,连结.
因为为等边三角形,所以.
所以.
因为,所以.
又,所以,所以.
在中,,所以.
由双曲线的定义可得：,即,
所以离心率.
故选：A.
6、答案：C
解析：岁以下人,A选项错误.
在受试者中,抗体呈阳性的人数为,B选项错误.
受试者的平均年龄为,C选项正确.
受试者的疫苗有效率为,D选项错误.
故选：C.
7、答案：A
解析：因为,是奇函数,
因为,,所以,
所以,所以,
所以.
故选：A.
8、答案：C
解析：因为,
所以的图象关于对称,
所以,
所以,
令,则,
即,
因为,
所以,
因为在区间上有且仅有3个零点,
所以,则,
所以,则,
所以,
即.
故选：C.
9、答案：CD
解析：因为二项式的展开式中各项系数之和是,
所以令可得：.
A：因为,所以展开式共有8项,因此本选项说法不正确;
B：因为,所以二项式系数最大的项是第4项和第5项,
因此本选项说法不正确;
C：因为,所以所有二项式系数和为,所以本选项说法正确;
D：由B可知：,当,2,4,6时,对应的项是有理项,
故本选项说法正确,
故选：CD.
10、答案：ACD
解析：因为,所以D,E是线段BC的三等分点,且B,D两点相邻,
由平面向量的加法的几何意义可知：,故选项A正确;
,化简得：
,故选项B不正确;
因此,
而,所以,化简得：
,因为,
所以由余弦定理可知：,
即,
所以,进而,因此选项CD都正确,
故选：ACD.
11、答案：BD
解析：对于A选项：当四边形OAPB为正方形时,则
则圆
又点是直线上的一点
设
,即
该方程,无解
故不存在点P使得OAPB为正方形,A错误;
对于B选项：由A知,
,则,即PA的取值范围是
故B正确;
对于选项C：若三角形为等边三角形为等边三角形,易知
又OP平分
在中,由于
又P点坐标为：
,即
,故C错误;
对于选项D：
记OP中点为
则以D为圆心,为半径的圆与圆O的公共弦为AB
圆D方程为
整理得
联立,化简得
即得直线方程为
将代入方程恒成立;故直线AB过定点,D正确.
故选：BD.
12、答案：BC
解析：因为,,
所以,,
,,
,,
,,
,,
,,
可以看出：偶数项为常数列,可看作是以1为公比的等比数列,
奇数项不是等差数列,
,
,
,
,
,
故选：BC.
13、答案：3
解析：因为,所以点在该抛物线上,
又抛物线的准线方程为：,
所以点到焦点的距离为：,
故答案为：3.
14、答案：
解析：的导数为,
所以,,
所以函数在点处的切线,即.
所以l与坐标轴的交点为和,
所以切线l与两坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：.
15、答案：
解析：如图所示,由是等腰直角三角形,可得,
又由P到平面ABC的距离为6,三棱锥的体积为18,
可得,解得,所以,
因为其外接球的半径,可得,解得,
即圆心O到平面ABC的距离为4,
又因为点P到平面ABC的距离为6,所以球心O到点P轨迹所在圆的距离为2,
设点P的轨迹所在圆的半径为,可得,
所以点P的轨迹长度为.
故答案为：.
16、答案：
解析：由题意得：有解
令,则
有解,即有解,显然无意义
,令
,当且仅当,即时取等,
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）依题意得：
,
,,又,
（2）由（1）知,
相减得：
整理得：.
18、答案：(1)证明见解析;
(2)2或
解析：（1）连接BE, ,, 且
四边形BCDE为平行四边形;.
且E为AD的中点, ,
所以,
, ,即,
又, 平面ABCD
（2）以E为原点,EA为x轴,EB为y轴,EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
所以,
设平面PAB的法向量为,
则,即,取
设,则,而,所以,
平面PAB的法向量为,设直线MN与平面PAB所成的角为,
则
化简得,解得：或,满足
故线段BM的长度为2或.
19、答案：(1)
(2)（ⅰ）万元（ⅱ）
解析：（1）由题意得,
,
所以
故得y关于x的线性回归方程为
（2）（ⅰ）将代入,
所以估计该市政府需要给E大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元）
（ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X,则X的所有可能值为0,1,2
,
,,故p的取值范围为.
20、答案：(1)
(2)或
解析：（1）且a,b,c是三个连续的正整数,
可得,
由正弦定理得,
,
又由余弦定理得
,解得,;
（2）由（1）知
,,,,
,
将线段AB绕点A顺时针旋转到AD时,分两种情况如下:
(i)如图1:
,
(ii)如图2
,,
,

综上所述,的面积为或.
21、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由题意,将点代入椭圆的方程,可得,
又由是y轴上一点,且P,D,E三点共线,
可得所以,解得,
代入,可得 ,所以椭圆C的方程为.
（2）当时,此时直线l的方程为,
联立方程组,解得或,可得,
此时,直线AG的方程为,
当时,同理可得,此时,
可得直线AG的方程为,
由,解得,即两直线的交点为,
下面证明直线AG经过y轴上定点.
设直线l的方程为,
联立方程组,整理得,
设,则,,
所以直线AG的方程：.
令,可得
.
因为,
所以.
所以直线AG过定点.
22、答案：(1)函数有2个零点;
(2).
解析：（1）当时,,
由得;由,得
在上是减函数,在上是增函数,
又,,,
在,上各有一个零点,
所以函数有2个零点;
（2）
,
令,
由得;由得.
时,,.
对恒成立,记
,,
在为增函数,
.
年龄
频率
0.20
0.30
0.10
0.20
0.10
0.10
A大学
B大学
C大学
D大学
当年毕业人数x（千人）
3
4
5
6
自主创业人数y（千人）
0.1
0.2
0.4
0.5