2023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测数学试题含答案

福建省漳州市2023届高三上学期第一次教学质量检测

数学试题

一、单选题

1．已知集合，，全集，则集合中的元素个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若复数满足（为虚数单位），则（       ）

A． B．1 C． D．2

3．已知：，：，，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，，均为单位向量，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

5．已知，则（       ）

A． B． C． D．

6．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（       ）

A．90 B．10 C．10 D．90

7．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

8．已知，分别为轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（       ）

A．的最小正周期是

B．的图象关于点中心对称

C．在上有三个零点

D．的图象可以由的图象上的所有点向右平移个单位长度得到

10．已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（       ）

A．该椭圆的长轴长为

B．使为直角三角形的点共有6个

C．的面积的最大值为1

D．若点是异于､的点，则直线与的斜率的乘积等于-2

11．如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（       ）

A．该几何体的体积为 B．点在平面内的射影为的垂心

C．的最小值为 D．存在点，使得

12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（       ）

A． B．

C． D．数列的前项和为

三、填空题

13．树人中学举办以“喜迎二十大､永远跟党走､奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是___________.

14．已知直线是曲线的切线，则___________.

15．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若，且，则该双曲线的离心率为___________.

16．已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体积为，则该球的表面积的最小值为___________.

四、解答题

17．等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.

18．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，，.记平面与平面的交线为.

(1)证明：；

(2)求平面与平面所成的角的正弦值.

19．密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状､大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙､不重叠地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形（图2）中，，，.

(1)若，，求平面凹四边形的面积；

(2)若，求平面凹四边形的面积的最小值.

20．漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲､乙､丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲､乙､丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%，35%，40%，甲､乙､丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8，0.6，0.75（水仙花球茎的使用率）.

(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为，求随机变量的分布列及期望；

(2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，求它是由丙工作队所采摘的概率.

21．已知抛物线：，直线过点.

(1)若与有且只有一个公共点，求直线的方程；

(2)若与交于，两点，点在线段上，且，求点的轨迹方程.

22．已知函数.

(1)当时，，求的最大值；

(2)设，证明：.

参考答案：

1．C

2．A

3．B

4．C

5．D

6．A

7．D

8．C

9．AB

10．BCD

11．BD

12．BCD

13．94

14．

15．

16．

17．

（1）设数列{an}的公比为q,

由＝9a2a6得＝9,

所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.

故.

所以数列的前n项和为

18．

（1）

因为，平面，平面，所以平面.

又平面，平面平面，所以.

（2）

因为，所以，又，所以，

又，所以，所以，

又，，平面，平面，所以平面.

取，中点分别为，，连接，，，则，

所以平面，又平面，所以.

又因为，所以.

如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则，，，所以，.

设是平面的法向量，则，即，

取，得，，则.

又是平面的一个法向量，

所以，

即平面与平面所成的角的正弦值为.

19．(1)；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理可得，然后利用余弦定理，同角关系式及三角形面积公式即得；

（2）利用余弦定理及基本不等式可得，进而可得平面凹四边形面积的最小值.

（1）

如图，连接，

在中，，，，

由余弦定理，得，，

在中，，，，

，

∴，

∴，又，

∴；

（2）

由（1）知，，

中，，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，

∴，

∴，

∴当且仅当时，平面凹四边形面积取得最小值.

20．(1)分布列见解析，期望为

(2)

【分析】（1）根据题意得到的所有取值且，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解；

（2）用，，分别表示水仙花球茎由甲，乙，丙工作队采摘，表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使用，则，及，即可求解.

（1）

解：在采摘的水仙花球茎中，任取一颗是由甲工作队采摘的概率是.

依题意，的所有取值为0，1，2，3，且，

所以，，

即，，，，

所以的分布列为：

所以.

（2）

解：用，，分别表示水仙花球茎由甲，乙，丙工作队采摘，表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使用，

则，，，

且，

故

，

所以.

即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，它是由丙工作队所采摘的概率为.

21．(1)或或

(2)，（且）

【分析】（1）当直线斜率不存在时，符合题意，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到一个关于的一元二次方程，讨论二次项次数和即可求出答案.

（2）解法一：设，，，不妨令，由已知可得，由，得，求出由韦达定理代入，进而求出点的轨迹方程.

解法二：设，，，不妨令，由已知可得，设， 解得，由韦达定理代入，进而求出点的轨迹方程.

（1）

当直线斜率不存在时，其方程为，符合题意；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

由，得.

当时，直线符合题意；

当时，令，解得，

∴直线的方程为，即.

综上，直线的方程为，或，或.

（2）

解法一：设，，，不妨令，

∵直线与抛物线有两个交点，∴，

∴，且，，.

由，得，∴，

∴，∴.

∵，且，∴，且，

∴点的轨迹方程为（，且）.

解法二：设，，，不妨令，

∵直线与抛物线有两个交点，∴，

∴，且，，.

∵点在线段上，设，则，，

∴，∴，∴，∴.

∵，且，∴，且，

∴点的轨迹方程为（，且）.

22．(1)1

(2)证明见解析

【分析】（1）由导数法讨论函数最小值，分别讨论参数、时，题设条件是否成立即可；

（2）由（1）可知，当，时，可得，即可令，，可得，结合累加法可得，最后对题设不等式变形即可证明

（1）

的定义域为，，

因为在上单调递增，，

①当时，对于任意的，有，所以在上单调递增，

则对于任意的，，所以符合题意；

②当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，这与当时，矛盾，所以舍去；

综上，，所以的最大值为1.

（2）

由（1）可知，当时，有，即，

令，，则，

所以，，…，，

将以上不等式左右两边分别相加，得，

所以

.

【点睛】1.求函数不等式恒成立时参数的最值，可用导数法对参数分类讨论函数最值，取符合条件的参数的最值即可.

2.用导数证明不等式，本题方法是利用已有结论构造出形式相关的不等式，即可利用累加法结合适当变形可得结论