2023-2024学年四川省成都市蓉城名校高一上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市蓉城名校高一上学期期中联考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】应用集合的交运算求即可.
【详解】由题设.
故选：A
2．设命题，则为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据全称量词的否定即可得到答案.
【详解】因为命题为全称量词命题，故，
故选：B．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件
C．充要条件D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由可得或，不一定是；
当时，必有成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：D
4．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质求值域即可.
【详解】由，故，
又，，所以函数在的值域为.
故选：C
5．如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合.
【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于，但属于，
所以阴影部分所表示的集合是.
故选：A
6．命题，若为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由全称命题为真，结合一元二次不等式恒成立有，即可求范围.
【详解】由为真命题，根据一元二次不等式恒成立知：.
故选：D
7．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【分析】根据，的奇偶性得到，然后求函数值即可.
【详解】由①得，
因为为奇函数，为偶函数，所以，，
所以②，
①-②得：，所以，则.
故选：B.
8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不动点的定义列出方程，然后根据二次函数零点的分布列不等式求解即可.
【详解】函数在区间上恰有两个不同的不动点，
即在区间上恰有两个解，
即在区间上恰有两个零点，
所以或者，
解得：或，
故选：C
二、多选题
9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】由不等式性质判断A；特殊值法判断B，作差法判断C、D.
【详解】由，则，A错；
当时，B错；
，即，C对；
，即，D对.
故选：CD
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】根据解析式确定函数定义域和值域，利用定义判断函数的区间单调性和奇偶性即可得答案.
【详解】由解析式知：定义域为，且，，所以，
又，即为偶函数，
令，则，
所以，即在区间上单调递减，
综上，A、C对，B、D错.
故选：AC
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为16B．的最小值为4
C．的最小值为12D．的最小值为17
【答案】AD
【分析】对已知式子中的使用基本不等式，再利用换元法，从而转化为一元二次不等式，求解即可得到的最小值，从而判断AB项；
直接对已知的式子变形得，然后通过配凑，使用基本不等式即可求出的最小值，从而判断CD项.
【详解】由得（当且仅当时取等号），
令，则且，
所以，解得，所以，故A正确，B错误；
因为，所以，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为17，故C错误，D正确；
故选：AD.
12．已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：①，②当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数是偶函数
C．函数在上是增函数
D．不等式的解集为
【答案】AC
【分析】特殊值法、求得判断A；令即判断B；在上，若得到判断C；若，，进而得到，结合奇函数性质确定在各区间上的符号，最后求解集判断D.
【详解】令，则；令，则，A对；
令，则，即是奇函数，B错；
在上，若，则
当时，所以，
故，所以在上递增，C对；
若，，则，根据性质②知，
所以时，结合奇函数性质知：时，
同理，由时，则时，
由或，则解集为，D错.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对于D，利用性质②并设，判断符号，结合奇函数对称性确定其它区间的符号为关键.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根式、分式的性质求函数定义域即可.
【详解】由解析式知：且，
所以函数定义域为.
故答案为：
14．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，结合已知单调区间求参数范围即可.
【详解】由解析式知：的开口向上且对称轴为，
又函数在区间上单调递增，故.
故答案为：
15．已知幂函数在区间上单调递减，则 ．
【答案】
【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.
【详解】由幂函数的定义知，，即，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.
故答案为：
16．已知满足，，都有，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，都有，
所以在上为增函数，
当时，，易知函数在上为增函数；
当时，则，解得，
综上，，则a的取值范围为，
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，再由交运算求.
（2）根据包含关系，讨论、求参数范围即可.
【详解】（1）由题设，
所以.
（2）由，
当，则；
当，则；
综上，
五、未知
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式，并在坐标系内作出函数的图象；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，图象见解析
(2)
【分析】（1）设，则，根据题意得到，再由函数是上的奇函数，进而求得函数的解析式，并画出函数的图象；
（2）由（1）得到在上为单调递增函数，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，，
设，则，可得
因为函数是上的奇函数，所以，
所以函数的解析式为，
函数的图象，如图所示，
（2）由（1）中，函数的图象，可得函数在定义域上为单调递增函数，
又由函数为定义域上的奇函数，
则不等式，可得，解得，
即实数的取值范围为.
六、解答题
19．已知函数.
(1)若，求的最小值及此时的值；
(2)若，根据函数单调性的定义证明为增函数.
【答案】(1)时的最小值为5.
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题设，且，利用基本不等式求其最小值并确定取值条件；
（2）根据单调性定义，令，应用作差法比较大小，即可证.
【详解】（1）由题设，且，
所以，当且仅当时等号成立，
故时的最小值为5.
（2）由题设，
令，则，
所以，而，
所以，故为增函数，得证.
20．某公司生产某种产品的固定成本为200万元，年产量为万件，可变成本与年产量的关系满足（单位：万元），每件产品的售价为100元，当地政府对该产品征收税率为的税收（即销售100元要征收25元）.通过市场分析，该公司生产的产品能全部售完.
(1)求年利润（纳税后）的解析表达式及最大值（年利润总收入-固定成本-可变成本-税收）；
(2)若该公司目前年产量为35万件，政府为鼓励该公司改造升级，决定对该产品降低税率，该公司通过改造升级，年产量有所增加，为保证在年产量增加的同时，该公司的年利润也能不断增加，则政府对该产品的税率应控制在什么范围内（税率大于0）？
【答案】(1)且，最大年利润为万元.
(2).
【分析】（1）根据题设有，并确定定义域，应用二次函数性质求最大值；
（2）设税率为且，则，根据题意得到，即可求税率的范围.
【详解】（1）由题设，
由题设，当时最大年利润为万元，
所以且，最大年利润为万元.
（2）设税率为且，且改造升级后利润，
所以，且，
所以，即，
综上，.
21．已知函数.
(1)若的解集为，求的值；
(2)当时，解不等式.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设是方程的两根，结合根与系数关系求参数，注意验证；
（2）由题设可得，讨论、、求对应解集即可.
【详解】（1）由题设的解集为，则是方程的两根，
所以，经验证满足题设，
所以.
（2）由题设且，
所以，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为.
22．已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图像关于点对称，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为和
(2)
【分析】（1）去绝对值，确定的解析式，然后分段求单调区间；
（2）先确定解析式，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，进而得解.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，，
所以在上单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和.
（2）因为函数的图像关于点对称，
所以函数是奇函数，所以，
即，由的任意性得，
所以，
所以，
因为，所以恒成立，
所以只需，
令，则当取最大值时，，
此时，
由于当时，根据复合函数单调性知单调递增，
所以时，，即，
所以实数的取值范围为.