中考数学二轮培优复习几何专项练习：相似模型--旋转“手拉手”模型（2份打包，原卷版+含解析）

中考数学几何专项练习：相似模型--旋转“手拉手”模型（基础+培优）一、单选题1．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边分别向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （    ）  A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 2．如图， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于D，给出下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的结论有（    ）个  A．4 B．3 C．2 D．13．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，添加一个条件后，仍不能判定 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似的是（    ）  A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 4．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕着点A逆时针旋转45°，得矩形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 二、填空题5．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有公共顶点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  度．  6．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+ SKIPIF 1 < 0 AD的最小值为 ．7．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点O旋转，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．三、解答题8．若 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，与 SKIPIF 1 < 0 构成位似图形，则我们称 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．    (1)知识理解：如图①， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  ；②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  ；(2)知识运用：如图②，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”；(3)拓展提高：如图③， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 延长线上的一点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为“旋转位似图形”．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．9．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：  (1)问题发现：如图1，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作等边 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．(2)变式探究：如图2，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．判断 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点P是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，Q是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为12， SKIPIF 1 < 0 ，求正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长．10．如图1， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是点 SKIPIF 1 < 0 的对应点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；11．（1）问题发现，如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)①求 SKIPIF 1 < 0 的值；②求 SKIPIF 1 < 0 的度数．(2)拓展探究，如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一动点（不与点 SKIPIF 1 < 0 重合）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，请判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系以及 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．12．如图，点A在线段 SKIPIF 1 < 0 上，在 SKIPIF 1 < 0 的同侧作等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交于点P、M．求证：  (1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ．13．（1）如图①在 SKIPIF 1 < 0 内， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 内一点，将 SKIPIF 1 < 0 绕点B顺时针旋转，点C恰好与点A重合．D旋转到点E，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系，并说明理由．（2）在（1）的条件下，如图②，当 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．（3）如图③，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 填空：①线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______________；②当 SKIPIF 1 < 0 时，点E到 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 的长为2，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为__________．14．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是平面内不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合的任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)【猜想观察】如图①，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是______，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交所成的较小角的度数是______；(2)【类比探究】如图②，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值及 SKIPIF 1 < 0 的度数；(3)【解决问题】如图③，当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在同一直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．15．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．  (1)当 SKIPIF 1 < 0 时，①如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系：　 　；②如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 不在边 SKIPIF 1 < 0 上时，判断线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；(2)如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系：　 　；(3)在（1）的条件下，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．16．某校数学兴趣小组在一次学习活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：  (1)发现问题∶如图1，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点M是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．(2)类比探究：如图2，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，以 SKIPIF 1 < 0 为腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在点M运动过程中， SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．(3)拓展应用：如图3，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，M是正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为12， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．17．数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 边上取一点M使 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 度到 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为边作矩形 SKIPIF 1 < 0 （如图1所示）， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点N．  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ．请你按照他的思路完成证明过程．(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，当旋转角 SKIPIF 1 < 0 时（如图2），求 SKIPIF 1 < 0 的值．(3)连接 SKIPIF 1 < 0 （如图3），当 SKIPIF 1 < 0 时，小明发现 SKIPIF 1 < 0 是一个定值，请求出这个值．18．在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片 SKIPIF 1 < 0 进行如下操作：  【初步探究】如图1，折叠三角形纸片 SKIPIF 1 < 0 ，使点C与点A重合，得到折痕 SKIPIF 1 < 0 ，然后展开铺平，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 位置关系为_______， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为_______；【再次探究】如图2，将 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．19．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D在射线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点D逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)当点D落在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，①如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______， SKIPIF 1 < 0 ______°；②如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，请判断线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并给出证明；(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，过点A作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，若 SKIPIF 1 < 0 ，猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系并说明理由．20．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．21．问题背景：如图（1），已知 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；尝试应用：如图（2），在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；拓展创新：如图（3）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．  22．已知正方形 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 射线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)如图1，在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 延长线上，求证：  SKIPIF 1 < 0 ；(3)如图3，若把正方形 SKIPIF 1 < 0 改为矩形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其他条件不变，请猜想 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，直接写出结论，不必证明．23．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转到图 SKIPIF 1 < 0 位置，求证： SKIPIF 1 < 0 小百合很快就通过 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，论证了 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)请你帮助小百合写出证明过程；迁移应用：小百合想，把等边 SKIPIF 1 < 0 和等边 SKIPIF 1 < 0 都换成等腰直角三角形，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转到图 SKIPIF 1 < 0 位置，其中 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有什么数量关系呢？(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；(3)如图 SKIPIF 1 < 0 ，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．24．问题情境：如图①，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在对角线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．  数学思考：(1)试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．(2)将图一中的四边形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转一定的角度得到图②连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．25．综合与实践问题情境：如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0   (1)特例分析：在图1中， SKIPIF 1 < 0 的长为 ， SKIPIF 1 < 0 的值为 ．(2)拓展探究：将图1中的 SKIPIF 1 < 0 绕点C顺时针方向旋转．①当点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时， SKIPIF 1 < 0 的值为 ；②当点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 旋转到 SKIPIF 1 < 0 的外部时，得到图2，判断此时 SKIPIF 1 < 0 的值是否变化，请说明理由；(3)问题解决：当 SKIPIF 1 < 0 旋转到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在同一直线时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．26．已知：四边形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是正方形．    (1)如图1，若点C在对角线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ；（直接写结果）(2)将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ．①如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的值及理由；②当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．27．如图①，正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．  　　  　　  (1)发现：当正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转，如图②，①线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是________；②直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 之间的位置关系是________．(2)探究：如图③，若四边形 SKIPIF 1 < 0 与四边形 SKIPIF 1 < 0 都为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 ．(3)应用：在（2）情况下，连接 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上方），若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 是多少？（直接写出结论）28．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．29．如图，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．    (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ．(2)若点H、G分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．(3)若在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点H、G分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．30．【问题提出】某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系．【问题探究】探究一：若四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形（1）如图1，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的值为______；（2）如图2，将图1中的 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 的值；探究二：若四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形如图3，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（3）将图3中的 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，请在图4中补全图形，并探究此时 SKIPIF 1 < 0 的值；【联系拓广】（4）如图3，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，其它条件都不变，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．  31．【初步感知】如图①， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．易知： SKIPIF 1 < 0 （不用证朋）；  【深入探究】如图②， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______°；(3)【拓展提升】如图③， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）32．如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E是 SKIPIF 1 < 0 边上一点，连结 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为对角线作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，边 SKIPIF 1 < 0 与正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 相交于点H，连结 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)写出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并证明．(2)求证： SKIPIF 1 < 0 (3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为6，求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值．33．矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为边在矩形在 SKIPIF 1 < 0 内部构造矩形 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)特例发现如图 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0  ；(2)类比探究如图 SKIPIF 1 < 0 ，如图，将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 度 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(3)拓展运用如图 SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 在旋转的过程中， SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 边上时，若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．34．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．35．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在斜边 SKIPIF 1 < 0 上取一点D，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点E．现将 SKIPIF 1 < 0 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在 SKIPIF 1 < 0 的内部），使得 SKIPIF 1 < 0 ．（1）①求证： SKIPIF 1 < 0 ； ②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；（2）如图3，将原题中的条件“ SKIPIF 1 < 0 ”去掉，其它条件不变， SKIPIF 1 < 0 设，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求k的值；（3）如图4，将原题中的条件“ SKIPIF 1 < 0 ”去掉，其它条件不变，若 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试探究 SKIPIF 1 < 0 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）36．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：（1）如图1，当α＝60°时， SKIPIF 1 < 0 的值为　　，直线CD与 AP所成的较小角的度数为　　°；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出 SKIPIF 1 < 0 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ SKIPIF 1 < 0 ，求BD的长．37．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点D到CP的距离．38．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．39．已知，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，并在垂线上矩形外侧截取点F,使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转，记旋转角为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．  (1)如图（1），当 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．(2)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求m关于n的数量关系．(3)若 SKIPIF 1 < 0 旋转至A，E，F三点共线，求m的值．40．综合与实践问题情境在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点G，A，B在一条直线上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图1）．  　  　  　  操作发现（1）图1中线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．类比探究（3）如图3，若将图2中的正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中都变为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请仅就图3的情况探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系．拓展探索（4）在（3）的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．41．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．如图1，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．请解答下面的问题：  (1)基础巩固如图1，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是__________；(2)拓展探究如图2，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ．①求证： SKIPIF 1 < 0 ；②用等式表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一直线上时 SKIPIF 1 < 0 的长．42．综合与实践综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．【操作判断】  如图①，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点M，P分别在边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上（均不与端点重合）且 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0  和 SKIPIF 1 < 0  为邻边作矩形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（1）如图②，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为 ．【迁移探究】（2）如图③，当 SKIPIF 1 < 0 时，天天先将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕点A 顺时针旋转，再连接 SKIPIF 1 < 0 ，则CN与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是 ．【拓展应用】（3）在（2）的条件下，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当矩形 SKIPIF 1 < 0 旋转至C，N，M三点共线时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．43．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是平面内不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合的任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)当 SKIPIF 1 < 0 时， ①如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上时，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是_______________；②如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部时，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，①中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，①如图3，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ．试判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；②若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在一条直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到线段 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．44．【问题呈现】（1）如图1， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形，连接 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．  【类比探究】（2）如图2， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．    【拓展提升】（3）如图3， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ．    ①求 SKIPIF 1 < 0 的值；②延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的值．45．【感受与猜想】  (1)如图 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 正好落在对角线 SKIPIF 1 < 0 上．试猜想 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系： SKIPIF 1 < 0 __．【探究与证明】(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 均为正方形，正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 角( SKIPIF 1 < 0 )，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．( SKIPIF 1 < 0 )中的结论是否还成立，若成立，请给出证明．【拓展与延伸】(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，以 SKIPIF 1 < 0 为底边向下作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ．①若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．②若点 SKIPIF 1 < 0 落在边 SKIPIF 1 < 0 的中点处， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．46．如图1所示，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点E，F分别为边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点P．（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是______，数量关系是______．（2）若 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 旋转至 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．47．如图1，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为5，点E、F分别是边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上一点，且四边形 SKIPIF 1 < 0 为边长为2的正方形，连接 SKIPIF 1 < 0 ．（1）在图1中，求 SKIPIF 1 < 0 的值；（2）将图1中的正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点B旋转一周，探究 SKIPIF 1 < 0 的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；（3）当正方形 SKIPIF 1 < 0 旋转至D，G，E三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．48．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接AD．(1)如图1，点E恰好落在线段AB上．①求证： SKIPIF 1 < 0 ；②猜想 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系，并说明理由；(2)如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求CF的长．49．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD SKIPIF 1 < 0 BC，将线段DB绕点D顺时针旋转α至DE，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；(2)当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当BC＝10，且点B，E，F三点共线时，求线段AF的长．50．如图，四边形ABCD和四边形AEFG是矩形且 SKIPIF 1 < 0 ，点E线段BD上．(1)连接DG，求证：∠BDG＝90°；(2)连接DF，当AB＝AE时，求证：DF＝FG；(3)在（2）的条件下，连接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的长．51．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点G为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，过点G作 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(3)当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．52．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为等腰直角三角形，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ． (1)观察猜想小华将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图（2），当 SKIPIF 1 < 0 的延长线恰好经过点 SKIPIF 1 < 0 时：① SKIPIF 1 < 0 的值为________；② SKIPIF 1 < 0 的度数为________度；(2)类比探究如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，（1）中的两个结论是否仍然成立?请说明理由．(3)拓展延伸若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 所在的直线垂直于 SKIPIF 1 < 0 时，请你直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．53．如图1，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，点E、F分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ＝　 　；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ＝　 　；(2)拓展探究：将 SKIPIF 1 < 0 绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时 SKIPIF 1 < 0 的值；(3)问题解决：当 SKIPIF 1 < 0 旋转至A、F、E三点共线时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长（写出必要的解题过程）．54．如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D，E分别是 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．在同一平面内，将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转，射线 SKIPIF 1 < 0 相交于点P．(1)如图2，在旋转过程中， SKIPIF 1 < 0 的角度是否不变？若不变，请求出 SKIPIF 1 < 0 的度数．(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．(3)连接 SKIPIF 1 < 0 ，当线段 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的值．