福建省龙岩市长汀县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份福建省龙岩市长汀县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟；满分150分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. －1
4. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
5. 将抛物线：向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
6. 对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A. 顶点坐标为B. 对称轴为直线
C. 当时，y有最大值2D. 当时，y随x增大而减小
7. 下列各图象中有可能是函数的图象的是（ ）
A. B. C. D.
8. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
第8题图
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点在边AC上（不与点A，C重合），则的度数为（ ）
第9题图
A. B. C. D.
10.【新定义】函数的“向心值”：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”.
【问题解决】抛物线与直线的“向心值”为（ ）
A. B. C. 3D. 4
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11. 若点关于原点的对称点，那么______.
12. 一元二次方程的根是______.
13. 已知，是方程的两根，则代数式的值为______.
14. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同.诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄.若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______.
15. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是______.
第15题图
16. 已知直线与函数的图象至少3个交点，则b取值范围是______.
第16题图
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17.（8分）解下列方程：
（1）（2）
18.（8分）若、是关于x的方程的两个根，且.求m的值.
19.（8分）先化简，再求值：，其中.
20.（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，.
第20题图
（1）将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，画出，并直接写出点的坐标；
（2）绕原点O逆时针方向旋转得到，按要求作出图形.
21.（8分）如图所示，在中，，，将绕点O沿逆时针方向旋转得到.
第21题图
（1）线段的长是______，的度数是______；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形.
22.（10分）2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，造型形象生动，深受大家的喜爱，某网店售卖“江南忆”玩偶，已知每套玩偶的进价为50元，售价为80元，每周可卖出200套.为拓展销量，该店决定调整价格，发现每降价1元，每周可多卖出10套.假设每套玩偶降价x元，每周的利润为y元，不能因降价而导致亏损.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每套玩偶的售价定为多少元时，每周获得的利润最大？并求此最大利润.
23.（10分）如图，和均为等边三角形，将绕点A旋转（在直线AC的右侧）.
（1）求证：；
（2）若点C，M，N在同一条直线上，
①求的度数；
②点M是CN的中点，求证：.
24.（12分）一副三角板如图1摆放，，，，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分，现将三角板DFE绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒.
图1 图2
（1）当______秒时，；当______秒时，；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值.
25.（14分）已知抛物线和直线，且.
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点，且，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当时，求线段PQ长的最大值.
2023-2024学年第一学期期中九年级数学
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分）
11. 1 12. ， 13. 14.
15. 16.
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17.（8分）解：（1）∵，
∴，…………1分
∴，…………3分
∴或…………4分
（2）∵，
∴，…………6分
∴或…………8分
（解法二公式法……略）
18.（8分）解：∵、是关于x的方程的两个根，
∴，，……………1分
∵，
∴，……………3分
，
解得：或1，……………5分
当时，方程为，
，此时方程无解；……………6分
当时，方程为，此题方程有解；……………7分
综上所述，m的值为1.……………8分
19. 解：原式…………2分
…………3分
………………………5分
当时，
原式………………………8分
20. 解：解：（1）如图，即为所求.……………3分
点的坐标为.……………4分
（2）如图，即为所求.…………8分
21. 解：（1）5；；………………4分
解：∵，∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴.
故答案为5，；
（2）证明：∵，
∴，………………6分
又∵，
∴四边形是平行四边形.………………8分
22. 解：（1）当每套玩偶降价x元时，每套玩偶的销售利润为元，每周可卖出套，
∴每周的利润，…………3分
∴.………………4分
又∵为拓展销量，该店决定调整价格，不能因降价而导致亏损，
∴，且，…………5分
∴，
∴y与x的函数关系式为；…………6分
（2）
，…………8分
∵，
∴当时，y取得最大值，最大值为6250，此时.…………9分
答：当每套玩偶的售价定为75元时，每周获得的利润最大，最大利润为6250元.…10分
23.（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，……………1分
∴，
即，……………2分
在和中，，
∴；……………3分
（2）①解：∵为等边三角形，
∴，……………4分
∵，
∴，……………5分
∴；……………6分
②证明：∵点M是CN的中点，
∴，…………7分
∵是等边三角形，
∴，…………8分
∵为等边三角形，
∴，……………9分
∴MB是AC的垂直平分线，
∴.…………10分
24. 解：（1）3；21
如图（1），当时，，
∵AF平分，，
∴，
又∵为的一个外角，
∴，
∴；
如图（2），当时，
，
∴，∵，
∴，
∴.
故答案为：3；21.
图（1） 图（2）
（2）①如图（3），当时，
∵，∴，
∴；………………7分
②如图（4），当时，
∵，，
∴，………………8分
∴；………………9分
图（3） 图（4）
③如图（5），当时，
，
∴，………………11分
综上所述：当t为6或15或24时，有两个内角相等………………12分
图（5）
25. 解：依题意得：
.
∴抛物线的顶点坐标为；…………………3分
（2）由抛物线两解析式和直线，
得，
即，
得，
即，
∵，∴，，
∴抛物线与直线有两个交点.…………………7分
（3）由（2）得直线与抛物线的交点为和，
由得，………………8分
当时，如下图示
.
此时PQ长的最大值为，又，
∴.…………………10分
当时，如下图示.
.…………………12分
∵，得当时，PQ有最大值，且最大值为2m，
又∵，
∴，即PQ的最大值为6.…………………13分
综上所述，PQ的最大值为6.…………………14分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
A
B
C
B
C
A