高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册8 数学探究活动(二) :探究函数性质课前预习ppt课件

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册8 数学探究活动(二) :探究函数性质课前预习ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，关键能力•攻重难，题型探究，①③④⑤，易错警示，课堂检测•固双基，7＋∞等内容，欢迎下载使用。

§8　数学探究活动(二)：探究函数性质
 1．能通过类比一次、二次函数图象与性质的探究，探究三次函数的图象与性质．2．能利用导数分析三次函数的图象与性质． 通过应用导数分析三次函数的图象与性质，培养直观想象、逻辑推理及数学运算素养．
设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是___________.(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
[解析]　方法一：令f(x)＝x3＋ax＋b，则f ′(x)＝3x2＋a.对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f ′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．方法二：根据题意，直线y＝－b和函数f(x)＝x3＋ax的图象有且仅有一个公共点．先考虑a＝－3的情形，此时f ′(x)＝3x2－3，于是f(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2，如图所示．
于是当b<－2或b>2时符合题意，故①③符合题意．再考虑a≥0的情形，此时f ′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)单调递增，且值域为R，必然符合题意，故④⑤符合题意．
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[解析]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1(t>0)．
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
[规律方法]　(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)0，f(x)单调递增；当x∈(1,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2,3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)9.∴实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)利用参变分离时忽视自变量的取值范围 　设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为_____.
[误区警示]　本题上述解法中有两处错误．(1)是在参数分离的过程中，要在不等式两边同时除以x3才能实现参数的分离，若x的取值范围在正数区间上，可以避免讨论；若x的取值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论．(2)是换元后未求新元t的范围，t的范围不再是[－1,1]．
3．给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]的解的个数．
[解析]　(1)函数的定义域为R，f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)＝0，解得x＝0.f ′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
所以，f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1.也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．
(3)截取函数f(x)在区间[－1,2]上的图象如图所示．